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1、数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group第六章 多元函数的微分学多元函数的微分学 第一节 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 第二节 偏导数偏导数 第三节 全微分全微分第四节第四节 复合函数的微分法复合函数的微分法第五节第五节 二元函数微分学在几何上的应二元函数微分学在几何上的应用用第六节第六节 二元函数的极值二元函数的极值 22 七月 2024数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 21 1、多元函数的概念、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 三角形面积的海伦公式一、多元函数
2、的极限与连续性一、多元函数的极限与连续性数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 3定义定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数 是一个对应关系，使使在 D 上的每一个点，通过 都有 则称对应关系 为从D到R的多元函数，记为数集R内唯一一个点z与之相对应，数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 4例如, 二元函数定义域为圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (
3、x, y) D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 52 2区域区域2.1. 邻域邻域点集称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 6在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.数学与生物信息
4、学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 7D 若点集 E 的点都是内点(该点的某一领域含于E)，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;2.2. 区域数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 8例如，例如，在平面上开区域闭区域数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioi
5、nformatics Group 9 整个平面 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .o 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 103 3、二元函数的极限、二元函数的极限Remarks: 1、定义中的“任意方式”； 2、函数值无限地趋近于A；数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 11例例1. 设求证：证证:故数学与生物信息学
6、教研室Mathematics & Bioinformatics Group 12例例2. 设求证：证：证：故数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 13解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .例例3. 讨论函数数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 144、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上
7、各点处都连续, 则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续, 此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续, 数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 15例如例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 16定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理
8、) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 17解解: : 原式例例5. .求例例6. 求函数的连续域.解解:数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 18内容小结内容小结2. 区域 邻域 : 区域连通的开集1. 多元函数概念n 元函数常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 193. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
