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1、第十一章第十一章动量定理量定理主要内容主要内容11.2 11.2 力的力的冲量冲量 11.311.3 动量定理动量定理11.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 11.1 11.1 质点质点及质点系的动量及质点系的动量动量定理动量定理对对质点质点动力学问题：动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。建立质点运动微分方程求解。对对质点系质点系动力学问题：动力学问题： 理论上讲，理论上讲，n n个质点列出个质点列出3n3n个微分方个微分方 程，程， 联立求解它们即可。联立求解它们即可。实际上的问题是：实际上的问题是：2、大量的问题中，不需要了解每一个质点、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运的运
2、 动动,仅需要研究质点系整体的运动情况。仅需要研究质点系整体的运动情况。1、联立求解微分方程、联立求解微分方程(尤其是积分问题尤其是积分问题）非常困难。非常困难。从本章起从本章起, , 将要讲述解答动力学问题的其它方法将要讲述解答动力学问题的其它方法, , 而首先要而首先要讨论的是讨论的是动力学普遍定理动力学普遍定理( (包括动量定理、动量矩定理、动包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理能定理及由此推导出来的其它一些定理) )。它们和牛顿定律它们和牛顿定律一样，只适用于惯性坐标系。一样，只适用于惯性坐标系。 动量定理动量定理 它们它们都可以从动力学基本方程都可以从动力学
3、基本方程 推导出来。具有推导出来。具有简简明的数学形式，明确的物理意义，明的数学形式，明确的物理意义， 表明两种量表明两种量 一种是一种是运动特征量运动特征量( (动量动量、动量矩动量矩、动能动能等等) )，一种是力的作用量，一种是力的作用量( (冲冲量量、力矩力矩、功功等等) ) 之间的关系，从不同侧面对物体的机之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷动力学问题非常方便简捷 。 本章研究本章研究质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理，建立了，建立了动量的改变动量的改变与
4、力的冲量之间的关系与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要，并研究质点系动量定理的另一重要形式形式质心运动定理质心运动定理。11.1 11.1 质点及质点及质点系的动量质点系的动量 1、质点的动量、质点的动量 质点的质量与速度的乘积，称为该质点的动量质点的质量与速度的乘积，称为该质点的动量1）质点的动量是矢量，它的方向与质点速度）质点的动量是矢量，它的方向与质点速度 的方向一致的方向一致 2 2）动量的国际单位是）动量的国际单位是 质点动量的矢量形式质点动量的矢量形式动量在空间直角坐标系中的投影形式动量在空间直角坐标系中的投影形式 2 2、质点系的动量、质点系的动量 质点系中各质点
5、动量的矢量和称为质点系的动量。质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。 令令 为质点系的总质量，定义质点系质量为质点系的总质量，定义质点系质量中心（质心）中心（质心）C C的矢径为的矢径为则则质点系的动量等于其全部质量与质心速度的乘积，动量的质点系的动量等于其全部质量与质心速度的乘积，动量的方向与质心速度的方向相同。方向与质心速度的方向相同。 11.1 11.1 质点及质点及质点系的动量质点系的动量 质点系动量在直角坐标系质点系动量在直角坐标系oxyzoxyz下的投影表达式为下的投影表达式为：例例1 1长为长为 ，质量为，质量为 的匀质细杆，在平面内绕的匀质细杆，在平面内绕 点点转动，角速
6、度为转动，角速度为 ，求细杆动量。，求细杆动量。O O解：细杆质心的速度解：细杆质心的速度则细杆的动量为则细杆的动量为方向与方向与 相同相同11.1 11.1 质点及质点及质点系的动量质点系的动量 例例2 2如图匀质滚轮，质量为如图匀质滚轮，质量为 ，轮心速度为，轮心速度为 ，则动量为则动量为例例3 3如图绕中心转动的匀质如图绕中心转动的匀质轮，无论有多大的速度轮，无论有多大的速度和质量，由于质心不动，和质量，由于质心不动，其动量总是零。其动量总是零。11.1 11.1 质点及质点及质点系的动量质点系的动量 11.2 11.2 力的冲量力的冲量 作用在物体上的作用力与其作用时间的乘积，称为作用
7、在物体上的作用力与其作用时间的乘积，称为力的冲量力的冲量。 1 1）力是常矢量：）力是常矢量：2 2）力是变矢量：）力是变矢量：力的力的元冲量元冲量 力力 在有限时间间隔内的在有限时间间隔内的冲量冲量为为冲量的国际单位是冲量的国际单位是1、力的冲量、力的冲量设力设力 在直角坐标系下的解析投影式在直角坐标系下的解析投影式 则冲量在则冲量在x,y,zx,y,z三个轴上的投影式分别为三个轴上的投影式分别为2、合力的冲量、合力的冲量11.2 11.2 力的冲量力的冲量 共点力系的合力的冲量等于力系中各分力的冲量的矢量和。共点力系的合力的冲量等于力系中各分力的冲量的矢量和。 如果有如果有 这这n n个力
8、组成的共点力系作用在物体上，个力组成的共点力系作用在物体上，合力为合力为 ，则共点力系的合力在时间间隔则共点力系的合力在时间间隔 内的冲内的冲量为量为 11.2 11.2 力的冲量力的冲量 11.3 11.3 动量定理动量定理 1 1、质点的动量定理、质点的动量定理 微分形式微分形式：质点动量的微分等于作用于质点上所有力的元冲量的矢量和质点动量的微分等于作用于质点上所有力的元冲量的矢量和 。或或积分形式积分形式：质点动量在有限时间间隔内的改变等于作用在质点上的所有质点动量在有限时间间隔内的改变等于作用在质点上的所有力在这段时间间隔内的冲量的矢量和力在这段时间间隔内的冲量的矢量和 2、质点系的动
9、量定理、质点系的动量定理设质点系有设质点系有n n个质点，第个质点，第i i个质点的质量为个质点的质量为 ，速度为，速度为 ，外界物体对质点的作用力为外界物体对质点的作用力为 ，称为外力，质点系内其他质，称为外力，质点系内其他质点对该质点的作用力为点对该质点的作用力为 ，称为内力。，称为内力。根据质点的动量定理有根据质点的动量定理有这样的方程共有这样的方程共有n个，将这个，将这n个方程两端分别相加，得个方程两端分别相加，得因为质点系内质点相互作用的内力总是因为质点系内质点相互作用的内力总是大小相等，方向相反大小相等，方向相反 ，且成对地出现，相互抵消，因此内力冲量的矢量和等于零。，且成对地出现
10、，相互抵消，因此内力冲量的矢量和等于零。1）微分形式）微分形式：11.3 11.3 动量定理动量定理 又因又因 ，于是质点系动量定理的微分形式为，于是质点系动量定理的微分形式为即即质点系动量定理的微分形式：质点系的动量对时间的一阶导质点系动量定理的微分形式：质点系的动量对时间的一阶导数等于作用在该质点系上的所有外力的矢量和。数等于作用在该质点系上的所有外力的矢量和。 向直角坐标系向直角坐标系oxyzoxyz投影可得投影可得： 质点系的动量在某坐标轴上的投影对时间的一阶导数，等于质点系的动量在某坐标轴上的投影对时间的一阶导数，等于作用在该质点系上的所有外力在该轴上的投影的代数和。作用在该质点系上
11、的所有外力在该轴上的投影的代数和。 11.3 11.3 动量定理动量定理 2)2)积分形式积分形式: :质点系动量定理的积分形式：在某一段时间间隔内，质点系质点系动量定理的积分形式：在某一段时间间隔内，质点系动量的改变，等于在这段时间间隔内作用于质点系上的所有动量的改变，等于在这段时间间隔内作用于质点系上的所有外力的冲量的矢量和。外力的冲量的矢量和。 投影到直角坐标轴上得：投影到直角坐标轴上得： 在某一段时间间隔内质点系的动量在某一轴上的投影的增量在某一段时间间隔内质点系的动量在某一轴上的投影的增量等于作用于质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量在等于作用于质点系上的所有外力在同一时间间隔内
12、的冲量在同一坐标轴上投影的代数和。同一坐标轴上投影的代数和。 11.3 11.3 动量定理动量定理 电电动动机机的的外外壳壳用用螺螺栓栓固固定定在在水水平平基基础础上上，定定子子的的质质量量是是m m1 1，转转子子的的质质量量是是m m2 2，转转子子的的轴轴线线通通过过定定子子的的质质心心O O1 1。制制造造和和安安装装的的误误差差，使使转转子子的的质质心心O O2 2对对它它的的轴轴线线有有一一个个很很小小的的偏偏心心距距b b（图图中中有有意意夸夸张张）。试试求求电电动动机机转转子子以以匀匀角角速速度度 转转动动时时，电电动动机所受的总水平力和铅直力。机所受的总水平力和铅直力。b b
13、tW1W2O1O2xyFxFy例例例例 题题题题 11-111-111.3 11.3 动量定理动量定理 运运运运 动动动动 演演演演 示示示示例例例例 题题题题 11-111-111.3 11.3 动量定理动量定理 解解解解: : : :取整个电动机（包括定子和转子）作为研取整个电动机（包括定子和转子）作为研取整个电动机（包括定子和转子）作为研取整个电动机（包括定子和转子）作为研究对象。选坐标系如图所示。究对象。选坐标系如图所示。究对象。选坐标系如图所示。究对象。选坐标系如图所示。质心质心质心质心 C C 的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为b btW1W2O1O2xyFxFy质心质心质心质心 C
14、 C 的运动微分方程为的运动微分方程为的运动微分方程为的运动微分方程为例例例例 题题题题 11-111-111.3 11.3 动量定理动量定理 从而求得质心加速度在坐标系上的投影从而求得质心加速度在坐标系上的投影从而求得质心加速度在坐标系上的投影从而求得质心加速度在坐标系上的投影把上式代入式把上式代入式把上式代入式把上式代入式(1)(1)和和和和(2)(2)，即可求得，即可求得，即可求得，即可求得F Fx x = = m m2 2b b 2 2cos cos t tF Fy y = ( = (m m1 1 + + m m2 2) )g g m m2 2b b 2 2sinsin t tb bt
15、W1W2O1O2xyFxFy例例例例 题题题题 11-111-111.3 11.3 动量定理动量定理 物物物物块块块块A A A A可可可可沿沿沿沿光光光光滑滑滑滑水水水水平平平平面面面面自自自自由由由由滑滑滑滑动动动动，其其其其质质质质量量量量为为为为m m m mA A A A；小小小小球球球球B B B B的的的的质质质质量量量量为为为为m m m mB B B B ，以以以以细细细细杆杆杆杆与与与与物物物物块块块块铰铰铰铰接接接接，如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设杆杆杆杆长长长长为为为为l l l l，质质质质量量量量不不不不计计计计，初初初初始始始始时时时时系系系系统统统统
16、静静静静止止止止，并并并并有有有有初初初初始始始始摆摆摆摆角角角角0 0 0 0； 释释释释 放放放放 后后后后 ， 细细细细 杆杆杆杆 近近近近 似似似似 以以以以 规规规规律律律律摆摆摆摆动动动动（k k k k为为为为已已已已知知知知常常常常数数数数），求求求求物块物块物块物块A A A A的最大速度。的最大速度。的最大速度。的最大速度。 A AB B 例例例例 题题题题 11-211-211.3 11.3 动量定理动量定理 运运运运 动动动动 演演演演 示示示示例例例例 题题题题 11-211-211.3 11.3 动量定理动量定理 取取取取物物物物块块块块和和和和小小小小球球球球为为
17、为为研研研研究究究究对对对对象象象象，其其其其上上上上的的的的重重重重力力力力以以以以及及及及水水水水平平平平面面面面的的的的约约约约束束束束力力力力均均均均为为为为铅铅铅铅垂垂垂垂方方方方向向向向。此此此此系系系系统统统统水水水水平平平平方方方方向向向向不不不不受受受受外外外外力力力力作作作作用用用用，则沿水平方向动量守恒。则沿水平方向动量守恒。则沿水平方向动量守恒。则沿水平方向动量守恒。 细杆角速为细杆角速为细杆角速为细杆角速为细杆角速为细杆角速为 ，当当当当当当 时，其绝对值最大，此时时，其绝对值最大，此时时，其绝对值最大，此时时，其绝对值最大，此时时，其绝对值最大，此时时，其绝对值最大
18、，此时应有应有应有应有应有应有 ，即，即，即，即，即，即 。v vv vr rA AB B 解：解：解：解： 由由由由此此此此，当当当当细细细细杆杆杆杆铅铅铅铅垂垂垂垂时时时时小小小小球球球球相相相相对对对对于于于于物物物物块块块块有最大的水平速度，其值为有最大的水平速度，其值为有最大的水平速度，其值为有最大的水平速度，其值为例例例例 题题题题 11-211-211.3 11.3 动量定理动量定理 当当当当此此此此速速速速度度度度v vr r向向向向左左左左时时时时，物物物物块块块块应应应应有有有有向向向向右右右右的的的的绝绝绝绝对对对对速速速速度度度度，设设设设为为为为v v，而而而而小小小
19、小球球球球向向向向左左左左的的的的绝绝绝绝对对对对速速速速度度度度值值值值为为为为v va a= =v vr rv v。根据动量守恒条件，有根据动量守恒条件，有根据动量守恒条件，有根据动量守恒条件，有 解出物块的速度为解出物块的速度为解出物块的速度为解出物块的速度为 当当当当当当 时时时时时时，也也也也也也有有有有有有 。此此此此此此时时时时时时小小小小小小球球球球球球相相相相相相对对对对对对于于于于于于物物物物物物块块块块块块有有有有有有向向向向向向右右右右右右的的的的的的最最最最最最大大大大大大速速速速速速度度度度度度 k k k 0 00l l l ，可可可可可可求得物块有向左的最大速度
20、求得物块有向左的最大速度求得物块有向左的最大速度求得物块有向左的最大速度求得物块有向左的最大速度求得物块有向左的最大速度A AB Bv vv vr r 例例例例 题题题题 11-211-211.3 11.3 动量定理动量定理 图图图图示示示示单单单单摆摆摆摆B B的的的的支支支支点点点点固固固固定定定定在在在在一一一一可可可可沿沿沿沿光光光光滑滑滑滑的的的的水水水水平平平平直直直直线线线线轨轨轨轨道道道道平平平平移移移移 的的的的 滑滑滑滑 块块块块 A A上上上上 ， 设设设设 A A，B B的的的的 质质质质 量量量量 分分分分 别别别别 为为为为 m mA A， m mB B，运运运运
21、动动动动 开开开开 始始始始 时时时时 ， 。试求单摆试求单摆试求单摆试求单摆B B的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。A AB Bx x y yx xO O例例例例 题题题题 11-311-311.3 11.3 动量定理动量定理 解解解解：以以以以系系系系统统统统为为为为对对对对象象象象，其其其其运运运运动动动动可可可可用用用用滑滑滑滑块块块块A A的的的的坐坐坐坐标标标标x x和和和和单单单单摆摆摆摆摆摆摆摆动动动动的的的的角角角角度度度度 两两两两个广义坐标确定。个广义坐标确定。个广义坐标确定。个广义坐标确定。解出解出解出解出单摆单摆单摆单摆B B的坐标为的坐标为的坐标为的坐
22、标为m mB B g gA AB Bx x y yx xO O则则则则 由由由由于于于于沿沿沿沿x x方方方方向向向向无无无无外外外外力力力力作作作作用用用用，且且且且初初初初始始始始静静静静止止止止，系系系系统统统统沿沿沿沿x x轴轴轴轴的的的的动动动动量量量量守守守守恒恒恒恒，质质质质心坐标心坐标心坐标心坐标x xC C应保持常值应保持常值应保持常值应保持常值x xC C0 0。m mA A g g例例例例 题题题题 11-311-311.3 11.3 动量定理动量定理 消去消去消去消去 ，即的到单摆即的到单摆即的到单摆即的到单摆B B的轨迹方程：的轨迹方程：的轨迹方程：的轨迹方程： 是是
23、是是以以以以 x x= = x xC C0 0 , , y y=0=0 为为为为中中中中心心心心的的的的椭椭椭椭圆圆圆圆方方方方程程程程，因因因因此此此此悬悬悬悬挂挂挂挂在在在在滑滑滑滑块块块块上上上上的的的的单单单单摆摆摆摆也称为椭圆摆。也称为椭圆摆。也称为椭圆摆。也称为椭圆摆。 A AB Bx xm mB B g g m mA A g gy yx xO O例例例例 题题题题 11-311-311.3 11.3 动量定理动量定理 轨轨轨轨 迹迹迹迹 演演演演 示示示示例例例例 题题题题 11-311-311.3 11.3 动量定理动量定理 3 3、质点系动量守恒定律、质点系动量守恒定律 如果
24、作用于质点系的外力的主矢恒为零时，质点系的动量保如果作用于质点系的外力的主矢恒为零时，质点系的动量保持不变，即持不变，即 若若 则则 从而从而 如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。即若有即若有 则则 以上结论称为以上结论称为质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 质点系的内力可以改变质点系中各质点的动量，但不能改变质点系的内力可以改变质点系中各质点的动量，但不能改变质点系的总动量，只有外力才能改变质点系的总动量。质点系的总动量，只有外力才
25、能改变质点系的总动量。 11.3 11.3 动量定理动量定理 11.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 1、质量中心、质量中心质心位置在直角坐标系的投影形式质心位置在直角坐标系的投影形式x xy yO OA AB B 曲曲曲曲柄柄柄柄滑滑滑滑块块块块机机机机构构构构如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设曲曲曲曲柄柄柄柄OAOA受受受受力力力力偶偶偶偶作作作作用用用用以以以以匀匀匀匀角角角角速速速速度度度度 转转转转动动动动，滑滑滑滑块块块块B B沿沿沿沿x x轴轴轴轴滑滑滑滑动动动动。若若若若OA=AB=lOA=AB=l，OAOA及及及及ABAB皆皆皆皆为为为为均均均均质质质质杆杆杆杆
26、，质质质质量量量量皆皆皆皆为为为为m m1 1，滑滑滑滑块块块块B B的的的的质质质质量量量量为为为为m m2 2 。试试试试求求求求支支支支座座座座O O处处处处的的的的水水水水平平平平约约约约束力。束力。束力。束力。 例例例例 题题题题 11-411-411.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 解：选取整个机构为研究对象解：选取整个机构为研究对象解：选取整个机构为研究对象解：选取整个机构为研究对象，其水平其水平其水平其水平方向只承受方向只承受方向只承受方向只承受O O处约束力的作用。处约束力的作用。处约束力的作用。处约束力的作用。此系统质心坐标为此系统质心坐标为此系统质心坐标为此系统质
27、心坐标为x xy yO OA AB B F Fx xF Fy yF FNN将将将将x xC C对时间取二阶导数对时间取二阶导数对时间取二阶导数对时间取二阶导数代入上式代入上式代入上式代入上式（a a），求得求得求得求得（a a）列出质心运动定理在列出质心运动定理在列出质心运动定理在列出质心运动定理在x x轴上的投影式轴上的投影式轴上的投影式轴上的投影式 例例例例 题题题题 11-411-411.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 整个系统在铅垂方向除有重力外，整个系统在铅垂方向除有重力外，整个系统在铅垂方向除有重力外，整个系统在铅垂方向除有重力外，O O，B B两处两处两处两处受有受有受有
28、受有y y方向约束力方向约束力方向约束力方向约束力F Fy y和和和和F FN N。列出质心运动定理在列出质心运动定理在列出质心运动定理在列出质心运动定理在y y轴上的投影式轴上的投影式轴上的投影式轴上的投影式 质心质心质心质心y yC C对时间取二阶导数，代入上式，对时间取二阶导数，代入上式，对时间取二阶导数，代入上式，对时间取二阶导数，代入上式，求得求得求得求得 以整个系统为研究对象，只能求出以整个系统为研究对象，只能求出以整个系统为研究对象，只能求出以整个系统为研究对象，只能求出O O，B B两处两处两处两处y y向约束向约束向约束向约束反之和，而不能分别求出各自的值。反之和，而不能分别
29、求出各自的值。反之和，而不能分别求出各自的值。反之和，而不能分别求出各自的值。 F Fx xx xy yO OA AB B F Fy yF FNN例例例例 题题题题 11-411-411.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 曲曲曲曲柄柄柄柄滑滑滑滑块块块块机机机机构构构构如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设曲曲曲曲柄柄柄柄OAOA受受受受力力力力偶偶偶偶作作作作用用用用以以以以匀匀匀匀角角角角速速速速度度度度 转转转转动动动动，滑滑滑滑块块块块B B沿沿沿沿x x轴轴轴轴滑滑滑滑动动动动。若若若若OA=AB=lOA=AB=l，OAOA及及及及ABAB皆皆皆皆为为为为均均均均质质质质杆
30、杆杆杆，质质质质量量量量皆皆皆皆为为为为m m1 1，滑滑滑滑块块块块B B的的的的质质质质量量量量为为为为m m2 2 。试试试试求求求求此此此此系系系系统统统统的的的的质质质质心心心心运动方程、轨迹以及此系统的动量。运动方程、轨迹以及此系统的动量。运动方程、轨迹以及此系统的动量。运动方程、轨迹以及此系统的动量。 x xy yO OA AB B 例例例例 题题题题 11-511-511.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 设设设设 t t=0 =0 时时时时OA OA 杆水平，则有杆水平，则有杆水平，则有杆水平，则有 =t =t 。由式由式由式由式质心质心质心质心C C的坐标为的坐标为的
31、坐标为的坐标为 解：解：解：解：x xy yO OA AB B F Fx xF Fy yF FNN例例例例 题题题题 11-511-511.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 上式也就是此系统质心上式也就是此系统质心上式也就是此系统质心上式也就是此系统质心C C的运动方的运动方的运动方的运动方程。由上二式消去时间程。由上二式消去时间程。由上二式消去时间程。由上二式消去时间t t，得得得得 即即即即质质质质心心心心C C的的的的运运运运动动动动轨轨轨轨迹迹迹迹为为为为一一一一椭椭椭椭圆圆圆圆，如如如如图图图图中中中中虚虚虚虚线线线线所所所所示示示示。应应应应该该该该指指指指出出出出，系系系系
32、统统统统的的的的质质质质心心心心一一一一般般般般不不不不在在在在其中某一物体上，而是空间的某一特定点。其中某一物体上，而是空间的某一特定点。其中某一物体上，而是空间的某一特定点。其中某一物体上，而是空间的某一特定点。 v vC Cx xy yO OA AB B F Fx xF Fy yF FNNC C例例例例 题题题题 11-511-511.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 为求系统的动量，由动量定理投影式，为求系统的动量，由动量定理投影式，为求系统的动量，由动量定理投影式，为求系统的动量，由动量定理投影式，得得得得 此例中此例中此例中此例中 由质心公式得由质心公式得由质心公式得由质心公
33、式得系统动量的大小为系统动量的大小为系统动量的大小为系统动量的大小为 则得系统动量沿则得系统动量沿则得系统动量沿则得系统动量沿x x，y y轴投影：轴投影：轴投影：轴投影： v vC Cx xy yO OA AB B F Fx xF Fy yF FNNC C例例例例 题题题题 11-511-511.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 2 2、质心运动定理、质心运动定理 由动量定理的微分形式由动量定理的微分形式对于质量不变的质点系对于质量不变的质点系或或质点系的质量和其质心加速度的乘积，等于作用于质点系的所质点系的质量和其质心加速度的乘积，等于作用于质点系的所有外力的矢量和。这就是有外力的矢
34、量和。这就是质心运动定理质心运动定理。 质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。运动。11.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 动画动画11.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 动画动画11.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 质心运动定理的直角坐标投影形式质心运动定理的直角坐标投影形式：质点系的质量和质心加速：质点系的质量和质心加速度在某一坐标轴上的投影的乘积等于作用在质点系上的所有外度在某一坐标轴上的投影的乘积等于作用在质点系上的所有外力在同一坐标轴上投影的代数和。力在同一坐标轴上投影的代数和。 3 3、质点
35、系质心运动守恒定律、质点系质心运动守恒定律 即：如果作用在质点系上的外力的矢量和恒等于零，则质心即：如果作用在质点系上的外力的矢量和恒等于零，则质心作惯性运动。作惯性运动。（1）若）若 ，则，则 常量常量11.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 即：如果作用在质点系上的外力在某一轴上投影的代数和即：如果作用在质点系上的外力在某一轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变（质心沿恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变（质心沿该轴作惯性运动）该轴作惯性运动）（2）若若 ，则，则 ，以上结论，称为以上结论，称为质点系质心运动守恒定律质点系质心运动守恒定律 。11.4 11.4
36、 质心质心运动定理运动定理 如如如如图图图图所所所所示示示示，设设设设电电电电动动动动机机机机没没没没用用用用螺螺螺螺栓栓栓栓固固固固定定定定，定定定定子子子子的的的的质质质质量量量量是是是是 m m1 1，转转转转子子子子的的的的质质质质量量量量是是是是 m m2 2，转转转转子子子子的的的的轴轴轴轴线线线线通通通通过过过过定定定定子子子子的的的的质质质质心心心心 O O1 1。制制制制造造造造和和和和安安安安装装装装的的的的误误误误差差差差，使使使使转转转转子子子子的的的的质质质质心心心心 O O2 2对对对对它它它它的的的的轴轴轴轴线线线线有有有有一一一一个个个个很很很很小小小小的的的的
37、偏偏偏偏心心心心距距距距 e e。各各各各处处处处摩摩摩摩擦擦擦擦不不不不计计计计，初初初初始始始始时时时时电电电电动动动动机机机机静静静静止止止止，求求求求转转转转子子子子以以以以匀匀匀匀角角角角速速速速度度度度 转转转转动动动动时电动机外壳的运动。时电动机外壳的运动。时电动机外壳的运动。时电动机外壳的运动。 e e x xy yO OO1O2例例例例 题题题题 11-611-611.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 电动机受到的作用力有外壳的重力，转电动机受到的作用力有外壳的重力，转电动机受到的作用力有外壳的重力，转电动机受到的作用力有外壳的重力，转子的重力和地面的法向力。子的重力和
38、地面的法向力。子的重力和地面的法向力。子的重力和地面的法向力。 因因因因为为为为电电电电动动动动机机机机在在在在水水水水平平平平方方方方向向向向没没没没有有有有受受受受到到到到外外外外力力力力，且且且且初初初初始始始始为为为为静静静静止止止止，因因因因此此此此系系系系统统统统质质质质心心心心的的的的坐坐坐坐标标标标x xC C保保保保持持持持不变。不变。不变。不变。 取取取取坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴如如如如图图图图所所所所示示示示。转转转转子子子子在在在在静静静静止止止止时时时时，设设设设 x xC C1 1= =a a。当当当当转转转转子子子子转转转转过过过过角角角角度度度度 时时时时，定定
39、定定子子子子应应应应向向向向左左左左移移移移动，设移动距离为动，设移动距离为动，设移动距离为动，设移动距离为s s。则质心坐标为则质心坐标为则质心坐标为则质心坐标为 解：解：解：解：e e x xy yO OO1O2m m1 1g gm m2 2g gF FNNs sa a例例例例 题题题题 11-611-611.4 11.4 质心质心运动定理运动定理 因为在水平方向质心守恒，所以有因为在水平方向质心守恒，所以有因为在水平方向质心守恒，所以有因为在水平方向质心守恒，所以有x xC C1 1= = x xC C2 2 ，解得解得解得解得 由由由由此此此此可可可可见见见见。当当当当转转转转子子子子
40、偏偏偏偏心心心心的的的的电电电电动动动动机机机机未未未未用用用用螺螺螺螺栓栓栓栓固固固固定时，将在水平面上作往复运动。定时，将在水平面上作往复运动。定时，将在水平面上作往复运动。定时，将在水平面上作往复运动。 顺顺顺顺便便便便指指指指出出出出，支支支支承承承承面面面面的的的的法法法法向向向向反反反反力力力力的的的的最最最最小小小小值值值值求求求求得得得得为为为为 当当当当 时时时时，有有有有 0 0，如如如如果果果果电电电电动机未用螺栓固定，将会离地跳起来。动机未用螺栓固定，将会离地跳起来。动机未用螺栓固定，将会离地跳起来。动机未用螺栓固定，将会离地跳起来。 F FNNm m1 1g ge e x xy yO Oa as sO1O2m m2 2g g例例例例 题题题题 11-611-611.4 11.4 质心质心运动定理运动定理
