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1、选修 1-1第二章第二章 2.4 2.4 抛物线抛物线y2 2px(p 0)抛物线lyy2 2px(p 0)yx2 2py(p 0)yFOxlx2 2py(p 0)yOFlOxlxOFxF定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。M MF=点 M 到直线l的距离x 0, yRxR, y 0xR, y 0范围对称性焦点顶点离心率准线方程顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径焦半径x 0, yR关于x轴对称(关于y轴对称pp,0)(0,)22焦点在对称轴上p,0)2(0,p)2O(0,0)e=1x p2x p2y p2y p
2、2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。p2pA(x1, y1)AF x1p2AF x1p2AF y1p2AF y1p2宝剑锋从磨砺出梅花香自苦寒来选修 1-1焦焦 点弦点弦长长(x1 x2) p(x1 x2) p(y1 y2) p(y1 y2) pAB焦点弦y yo oAx1, y1x xBx2, y2F FAB的几条性质A(x1, y1)B(x2, y2)以以AB为直径的圆必与准线为直径的圆必与准线l相切相切2p假设假设AB的倾斜角为的倾斜角为， 则则AB 2sin假设假设AB的倾斜角为的倾斜角为，则，则2pAB 2cosp2x1x2y1y2 p2411AF BFAB2AFBFAF B
3、FAF BFp切线y0y p(x x0)y0y p(x x0)方程1. 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，x0x p(y y0)x0x p(y y0)，消 y 得：1当 k=0 时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；2当 k0 时，0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线l与抛物线相切，一个切点；0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）假设直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?不一定宝剑锋从磨砺出梅花香自苦寒来选修 1-12.2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：y kx b抛物线
4、联立方程法：联立方程法：，(p 0)y kxbk2x22(kb p)xb2 02y 2px设交点坐标为A(x1, y1),B(x2, y2)，则有 0,以及x1 x2,x1x2，还可进一步求出y1 y2 kx1bkx2b k(x1 x2)2b，y1y2 (kx1b)(kx2b) k2x1x2kb(x1 x2)b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方a.a. 相交弦相交弦 ABAB 的弦长的弦长AB 1 k2x1 x21 k2(x1 x2)24x1x2 1k2a或AB 11122y y 1(y y ) 4y y 1k121212k2k2ax1 x2y y2，y0122b. 中点中
5、点M(x0, y0),x0点差法：点差法：设交点坐标为A(x1, y1)，B(x2, y2)，代入抛物线方程，得y1 2px1y2 2px2将两式相减，可得(y1 y2)(y1 y2) 2p(x1 x2)22y1 y22px1 x2y1 y22py1 y2a. 在涉及斜率问题时，在涉及斜率问题时，kABb. 在在 涉涉 及及 中中 点点 轨轨 迹迹 问问 题题 时时 ， 设 线 段AB的 中 点 为M(x0, y0)，y1 y22p2pp，x1 x2y1 y22y0y0即kABp，y0宝剑锋从磨砺出梅花香自苦寒来选修 1-1同理，对于抛物线x2 2py(p 0)，假设直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0, y0)是弦AB的中点，则有kABx1 x22x0x02p2pp注意能用这个公式的条件：1直线与抛物线有两个不同的交点，2直线的斜率存在，且不等于零宝剑锋从磨砺出梅花香自苦寒来
