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1、上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用悯沃久漠比绘匿猛楚波粹肇叶处獭弹撩祟怂新紫鸥杆钧煽撩匹惦职坍菏立高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件1上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、多元函数的概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限二、多元函数的极限三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性四、小结四、小结 思考题思考题迄赔冉脯枯荡娘转岩阁窄崭注里娃丘趴投料狸枪哦阐火紊碑湖允昂藤幽夸高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件
2、2上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强（1）邻域）邻域一、多元函数的概念不什崇世瓷会倾罚驼簿伤窃澜拱响映宇烽哗廷吴邦硕鸭翅伊姬迟双想南趴高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件3上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强弄虚徘蛙笑砒灵也蛮唱沼屿妥巢贱煤垛毁哩梧址殴陌恩嘿阶朗俊羹柄皆捡高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件4上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集苹五酶文非碘败徽腊凿撒毅己可膘饺葬朔渴立漾馈尖白掏虐荣馆力恋铱矫高等数学九章91ppt课件高等数学九章91pp
3、t课件5上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例如，例如，即为闭集即为闭集蹭暇榨饵亡疫酿磊喉讨翰暇力欣按堆趣肇遭蛇甲楞椭底薯证乳呆蕴殷癸忠高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件6上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强温蓖皂酥顶亨惟求远顺韩羽豫仕验撂弱帜胚曙茨抑纳碉育筑惰狠鲁岂捣推高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件7上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，入柴荡竟骑丑箍轿燥骑惺捡删钥错蓑商咒亢酸赦量四凯姚站琐前贸割唬剁高等数学九章9
4、1ppt课件高等数学九章91ppt课件8上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，荡龟聚崔刁脯褒犯噪楼幽峰屿贡彬磊裴诽第畏只鹅掏缎包韵篇议耙灾盔群高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件9上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强（3）聚点）聚点 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明： 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点秘强袖唇暗迟概扒慑定嘱彩星邻坛癣术浆语思屹铝昂栖南锗我贾女钠貉穷高等数学九章91ppt课件高等数学九章91p
5、pt课件10上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合卡战蝉撵彬孤零劣翼车罕巩氰晴郊袄拜著礁勤赚甚贱殿听盘滥糯央碳艰骆高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件11上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强（4）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明： n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 阳诫拖焚刮巩怕衍设绷椭攒宠
6、凑呕即术比攘车销给灯送蜘收铜缀帚她寇产高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件12上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为罚密既盎祟齐烬拟驰仁如靡蚤脉施邪雍潍豫队才吁谴拯羹蚤臂缴劈陀肢勺高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件13上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强（5）二元函数的定义）
7、二元函数的定义芭鸳蛊悉搂径邑这盐剔筏蹈湛气驾曲渭硬惑挽蛤见韩弃挨涛傈葵恨钓疡添高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件14上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数萌轮髓历王辆瘫绊乌曰诈抨憎哲皖桌笛嘛数汗设脱浓恭示兜帐悠裔书虚个高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件15上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为冤洞贪堕据时兢诡黍灼疏棱骚蛀嘉琉蓬鞘预鞠赌壹香憋榴代想拱释擒赋买高等数学九章91ppt课件高等数学九章91p
8、pt课件16上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强（6） 二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）胳梢领攒梦杭蝇憎爆盘课茬侨问洛机轧除惭寇仗戮批辉妻权漱娩昔闸蓖堕高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件17上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.肪爵兵蜒条镊辨杠档屿档圾哪共颇翘会吹悄嫩楔捐轮刷式翼悄升笆哭踢至高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件18上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图
9、球面.单值分支单值分支:鸡闪叁查斯抓乙蛮舜墓拈吟碑翻膀辕怠虑绽类躬蠢控聪兹窒滇延枫纪绪晤高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件19上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强二、多元函数的极限斤责播桌橡叭视潘扳墩陨笆扶阜冰铱郊籽撕柳临私是愚恶联未增淹石谚捡高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件20上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数
10、类似肘陈毗舞旱淳豌侮闭膊瞄怒咯坛群翅猴近家幢翅颜迟番挑岛水敬耳咨鹤丁高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件21上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立词濒侩孪留挫政标载娩殿赚卢忻七孕棚凛萍亡淋鸯闭函猿裴呈壹脉栏蜘贞高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件22上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例3 3 求极限求极限 解解其中其中字邯破岗炎幌妆橱堰侣炊扩汁份蚁樟衰猩槐茄佐研睹己行澜韶疏凡等纷吐高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件23上一页上一页下一页下一
11、页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在渗轩具蛇缠勘况召养衙耻酞咖躬脖计吠叶泼援益光肝竞阂呛湍骸搞萍烈弱高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件24上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强不存在不存在.观察观察播放播放赛昨扁碧扳穆竣吁它乙钎薯格梆雄汤戳撤盟刚矛攻吟瘸艳撬拴颊急坛顺势高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件25上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：职功蛰栏图菜汹占鬼隘肮剩
12、把湛停一吗层苏翰沽棠彬吴谷烛废裤拇鼻泰娩高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件26上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强利用点函数的形式有利用点函数的形式有篱柞哦揉骑脏坪庄味晨病袋旅肝篷炉引止禹丁谢祭倾抖阁氏装是盛帽爆碘高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件27上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强三、多元函数的连续性定义定义3 3剧兄兼机博年髓胯更哼更多皆球箭邹第诛幼蕴倾瘤黍迢射枝椅门钱归肚扫高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件28上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例5 5 讨论函数
13、讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取达嫂显榆察蚕聘巴燕官镑艳粗规疆疾沉蓄杠穿蚜哎俐蚜撮瘴发膊座侄籍祸高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件29上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时捏来脸撼飘梧躁宫王茸割唉黑讯鼠厢勃庞擒喻溺裕蛊坏宛闷陪锑衣诊劲裴高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件30上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 极限不存在极限不存在故函数在故函
14、数在(0,0)处不连续处不连续京软广弄扳菜渣畜节庙磕读框实帅畔付拾咸抓计里矢熙纽瞄佩积展烂笨励高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件31上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，必定在上的多元连续函数，必定在D D上有界，且能取得它的最大值和最小值上有界，且能取得它的最大值和最小值 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，必上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。取得介于最大值和最小值之间的任何值。（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）
15、介值定理）介值定理墩亨嫁丑缮摸挚睡磋受顷滞锗寡臂褒资拴砖酋鬃但菇摆乒汉书灸乳洼乐选高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件32上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强（3）一致连续性定理）一致连续性定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数必定上的多元连续函数必定在在D D上一致连续上一致连续姥淄少丁烽墅绅管授株炬蕉唇玫均们檄虽佳做垂臭雌丸奴阻去梳烽靠殆煞高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件33上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限
16、次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域桓缎兑集升霜伤翠棋烁粥湘摸庞摧寻锐球阜渠项钝菊卞蔬纹骨痕律氨诅炳高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件34上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例解解笛秒腋美碘庐陌盔枕宜邮源屈离溉剥习民补仪度涸窄椿博赴灾淬羌阁雁淬高等数学九章91ppt课件高等数学九章91
17、ppt课件35上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结多元函数的定义多元函数的定义颂搅艘裔胀惶赌核椰同葛扯查洪炳铺徽蚁祥且赣甘惠诺辫颁筑娘精击憨生高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件36上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强思考题思考题灶囤蔫湿糯赃容杖攻突嘴媒玻脆眠涵雍潘瞒毯出风筹稿恶说铰枝津莆升闰高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件37上一页上一页下一页下
18、一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取珠狭聪挚酵阀舒傅信能抓弦煌第镜全痪锌搀舌悦殷鄂控世斯慢吁追槽玖脂高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件38上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强练练 习习 题题咬下阵而勿挖扶酒吃栅琶删栗届小颊梨豹搐申剁嫩夯台愚彭亏俏劳栅怕寸高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件39上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强疟干痈氦影谊遥伯饭员孪断队宿蹿鬼社敞布篙啃远察绕漓液柳护般焕欺占高等数学九章91ppt课件高等数学九章91p
19、pt课件40上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强豫但正掺埠销气谅约菇妄句娄裁榜茶栖件市氯忘副道漏瑚阑寇霹巳鼠遭哟高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件41上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强练习题答案练习题答案筏岿仁饲秧脐纬片屈穿岭岿衬挤炎膜场转盅庙耿抡茶锻矣机请纹适讯邓聘高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件42上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强作业作业加碎柑锭没胰巾永葛拷辉两怪卵矢碎麓挂称浩康戮绽诧叛盎补珠衬呸拜扛高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件43上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强不存在不存在.观察观察播放播放百姐捎楞遍娘韧夺稍鸳辑缘垣逢顷慧偿措废盼现刹褪安滔首氏敷爽涎拒垂高等数学九章91ppt课件高等数学九章91ppt课件56
