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1、 返回首页返回总目录第二篇第二篇 运动学运动学第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动1 返回首页第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 7-1 7-1刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程 7-2 7-2求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 7-3 7-3求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 7-4 7-4平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度平面图形内各点的
2、加速度目录目录 2 返回首页第七章第七章 刚体的刚体的平面运动平面运动刚体平面运动的运动特征刚体平面运动的运动特征 在运动过程中，刚体内任一点始终保持在运动过程中，刚体内任一点始终保持在与某一固定平面平行的平面内运动。在与某一固定平面平行的平面内运动。 3 返回首页第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动刚体平面运动的运动特征刚体平面运动的运动特征 在运动过程中，刚体内任一点始终保持在运动过程中，刚体内任一点始终保持在与某一固定平面平行的平面内运动。在与某一固定平面平行的平面内运动。 4 返回首页第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动刚体平面运动的运动特征刚体平面运动的运动特征 在运动过
3、程中，刚体内任一点始终保持在运动过程中，刚体内任一点始终保持在与某一固定平面平行的平面内运动。在与某一固定平面平行的平面内运动。 5 返回首页第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动刚体平面运动的运动特征刚体平面运动的运动特征 在运动过程中，刚体内任一点始终保持在运动过程中，刚体内任一点始终保持在与某一固定平面平行的平面内运动。在与某一固定平面平行的平面内运动。 6 返回首页7.1 刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程 过M点作 平面与平面平行，与此刚体相交截出一个平面图形S ,平面图形S始终保持在平面内运动 A1MA2：做平动，垂直于平面，M点可代表直线A1MA2上各点的运动 7
4、返回首页结论：结论：刚体的平面运动，可以简化为平面图刚体的平面运动，可以简化为平面图形形S在其自身所在的固定平面在其自身所在的固定平面内的运动内的运动 可以用平面图形 S 的其它点的运动来表示刚体内对应点的运动 7.1 刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程 8 返回首页设平面图形在静坐标系 Oxy 内运动。为了确定图形在任意瞬时的位置，只须确定图形内任一条直线OM的位置即可。 平面运动刚体平面运动刚体的运动方程：的运动方程：当平面图形当平面图形S运动时运动时，基点基点 的坐标的坐标 和角坐标和角坐标 都都是时间是时间t 的单值连续函数。的单值连续函数。 7.1 刚体平面运动的运动方程刚
5、体平面运动的运动方程 9 返回首页刚体的平面运动可分解为平动和转动刚体的平面运动可分解为平动和转动结论：刚体的平面运动可以分解为随同结论：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点的转动。基点的平动和绕基点的转动。 都随时间变化时，平面图形作平面运动。都随时间变化时，平面图形作平面运动。若若为为常常量量，平平面面图图形形S作作平平动动；若若 为为常常量量，即即基基点点O 的的位位置置不不动动，平平面面图图形形S将将绕绕通通过过基基点点O且且与与图图形形S的平面垂直的轴转动。的平面垂直的轴转动。7.1 刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程 10 返回首页v随同基点平移的特点随同基点平
6、移的特点 基点不同位移不同基点不同位移不同结论：选择不同基点，平面图形随同基点结论：选择不同基点，平面图形随同基点平移的速度和加速度不相同。平移的速度和加速度不相同。7.1 刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程 11 返回首页基点不同转角相同基点不同转角相同结论：任意瞬时，平面图形绕其平面内任意基结论：任意瞬时，平面图形绕其平面内任意基点转动的角速度与角加速度都相同。点转动的角速度与角加速度都相同。v绕基点转动的特点绕基点转动的特点 8.1 刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程 12 返回首页v选选择择不不同同的的基基点点，平平面面图图形形随随同同基基点点平平移移的的速速度度和
7、和加速度不相同。加速度不相同。v相对基点转动的角速度、角加速度与基点的选择无相对基点转动的角速度、角加速度与基点的选择无关。于是可以直接称为平面运动的角速度和角加速度关。于是可以直接称为平面运动的角速度和角加速度v今后标注平面图形的角速度和角加速度时，只需注今后标注平面图形的角速度和角加速度时，只需注明它是哪个刚体的，不必注明它是相对于哪个基点。明它是哪个刚体的，不必注明它是相对于哪个基点。 讨讨 论论7.1 刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程 13 返回首页8.2.1 基点法基点法图形上各点图形上各点随基点平移的速度随基点平移的速度是它的是它的牵连速度；牵连速度；相对基点相对基点作
8、圆周运动的速度即为它的作圆周运动的速度即为它的相对速度。相对速度。 取点取点O 为基点，该点的速度为为基点，该点的速度为vO 、图形的角速度为、图形的角速度为 。牵连。牵连运动是平移运动是平移,相对运动是转动。相对运动是转动。 点M的牵连速度 M点对于O点的相对速度方向与半径OM垂直，指向与角速度的转向一致 7.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法14 返回首页平面图形内任一点的速平面图形内任一点的速度等于基点的速度与绕度等于基点的速度与绕基点转动速度的矢量和基点转动速度的矢量和 通常把平面图形中速度为已知的点选为基点通常把平面图形中速度为已知的点选为基点 根据点的速度
9、合成定理，根据点的速度合成定理，M点点的绝对速度的矢量表达式为的绝对速度的矢量表达式为 8.2.1 基点法基点法7.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法15 返回首页8.2.2 速度投影定理速度投影定理上式向O点和M点的连线上投影7.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法16 返回首页当已知平面图形内某点的速度大小、方向和另一点的速度方向，要求其大小时，应用速度投影定理就很方便。速度投影定理是针对刚体任何运动的，而不仅仅限于平面运动。 速度投影定理：平面图形内任意两点速度投影定理：平面图形内任意两点的速度在此两点连线上的投影相等的速度在此两点连线上
10、的投影相等8.2.2 速度投影定理速度投影定理7.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法17例例1 椭椭圆圆规规机机构构如如图图。已已知知连连杆杆AB的的长长度度l = 20 cm，滑滑块块A的的速速度度vA=10 cm/s ，求求连连杆杆与与水水平平夹角为夹角为30时，滑块时，滑块B和连杆中点和连杆中点M的速度。的速度。 解解: AB作作平平面面运运动动，以以A为为基点，分析点基点，分析点B的速度。的速度。由图中几何关系得：由图中几何关系得：方向如图所示。方向如图所示。AvAvAvBvBABAB30M30以以A为基点，则为基点，则M点的速度为点的速度为将各矢量投影到坐标
11、轴上得：将各矢量投影到坐标轴上得：解之得解之得AvAvAvMABAB30MvMxy 例例2 行行星星轮轮系系机机构构如如图图。大大齿齿轮轮I固固定定, 半半径径为为r1，行行星星齿齿轮轮II沿沿轮轮I只只滚滚而而不不滑滑动动, 半半径径为为r2。系系杆杆OA角角速速度度为为 0。求求轮轮II的的角角速速度度 II及及其其上上B、C两点的速度。两点的速度。解解: :vA0ODACBvAvDAIIIII由由于于齿齿轮轮I固固定定不不动动, 接接触触点点D不不滑滑动动, 显显然然vD0, vDA与与vA应应大大小小相相等等、方方向向相相反反, 而而vDA IIr2。所以所以vA0ODACBvAvCA
12、vCvBvBAvAIIIII以以A为基点为基点, 分析点分析点B的速度。的速度。vBA与与vA垂直且相等垂直且相等, 点点B的速度的速度以以A为基点为基点, 分析点分析点C的速度的速度vCA与与vA方向一致且相等，方向一致且相等， 点点C的速度的速度 返回首页例例 题题例7-1 在图所示的曲柄连杆机构中，曲柄OA长r，连杆AB长l，曲柄以匀角速度转动，当OA与铅垂线的夹角 = 45时，OA正好与AB垂直，试求此瞬时AB杆的角速度、AB杆中点C的速度及滑块B的速度。 7.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法22 返回首页选速度已知的点A为基点 vA=r x： y： x y
13、vAvBAvB例例 题题7.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法23 返回首页vAvCA再求连杆再求连杆AB中点中点C的速度的速度vC 仍选A为基点 B点的速度方向已知，求点的速度方向已知，求B点的速度大小还可用速度投影定理点的速度大小还可用速度投影定理 vC例例 题题7.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法24 返回首页7.3.1 速度瞬心速度瞬心问题的提出问题的提出由基点法知：平面图形上任一点的速度等于基点由基点法知：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与绕基点转动速度的矢量和。的速度与绕基点转动速度的矢量和。基点是任意选择的，那么在每一瞬时
14、，能不能在基点是任意选择的，那么在每一瞬时，能不能在平面图形上找到一个速度等于零的点？平面图形上找到一个速度等于零的点？如果能找到这样的点，并以此点为基点，求平面如果能找到这样的点，并以此点为基点，求平面图形上各点的速度就更简便了图形上各点的速度就更简便了 7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法25 返回首页在平面图形上寻找牵连速度和相对速度是共线、反向的点 取O 点为基点，速度点为基点，速度 平面图形的角速度为平面图形的角速度为 找速度等于零的点 在平面图形上，瞬时速度等于零的点称为瞬时速度中心，简称瞬心，一般用I表示 7.3.1 速度瞬心速度瞬心7.3 求平面图形
15、内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法26 返回首页速度瞬心法 ：以速度瞬心为基点，求平面图形上各点速度的方法.方向如图示在平面图形运动的某瞬时，以速度瞬心I为基点，图形上各点的速度等于相对瞬心转动的速度。在此瞬时，平面图形的运动就简化成为绕瞬心的转动 。7.3.2 速度瞬心法速度瞬心法7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法27 返回首页几点讨论几点讨论v每每瞬瞬时时平平面面图图形形上上都都存存在在唯唯一一的的速速度度瞬瞬心心。它它可可位于平面图形之内，也可位于图形的延伸部分。位于平面图形之内，也可位于图形的延伸部分。v瞬瞬心心只只是是瞬瞬时时不不动动。在在不
16、不同同的的瞬瞬时时，图图形形具具有有不不同同的的速速度度瞬瞬心心。即即速速度度瞬瞬心心的的速速度度等等于于零零，加加速速度度并不等于零。并不等于零。v平平面面图图形形在在其其自自身身平平面面内内的的运运动动，也也可可以以看看成成是是绕一系列的速度瞬心的转动。绕一系列的速度瞬心的转动。7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法7.3.2 速度瞬心法速度瞬心法28 返回首页如果平面图形沿某固定面只滚动而不滑动（纯滚动），如图。则图形与固定面的接触点就是瞬心I。 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法 7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法7.3
17、.2 速度瞬心法速度瞬心法29 返回首页 已知某瞬时平面图形上已知某瞬时平面图形上A、B 两点的速度两点的速度vA、vB的方向，的方向，且且 vA不平行于不平行于 vB 。此时，过此时，过A、B两点分别作两点分别作 vA与与vB 的垂线，的垂线，这两条垂直线的交点即为瞬心这两条垂直线的交点即为瞬心 I。 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法 7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法7.3.2 速度瞬心法速度瞬心法30 返回首页如果如果vAvB，且，且 AB vA，则按比例在图，则按比例在图中标示中标示 vA、 vB 的大的大小，用直线连接小，用直线连接vA、vB
18、矢量的末段，此直矢量的末段，此直线与线与AB线的交点即线的交点即为瞬心为瞬心I。即vA、vB同向时，I外分AB线段；vA、vB反向时，I则内分AB线段。 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法 7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法7.3.2 速度瞬心法速度瞬心法31 返回首页某瞬时，如果某瞬时，如果 vA = vB ，如图，如图(e)；或；或 vA vB ，但，但AB不垂直于不垂直于vA、vB，如图，如图(f)。在这两种情况下，。在这两种情况下，瞬瞬心在无穷远处。心在无穷远处。表明平面图形在此瞬时的角速度等于表明平面图形在此瞬时的角速度等于零。零。图形上各点的
19、速度相等，这种图形上各点的速度相等，这种情况称为情况称为瞬时平移瞬时平移。平面图形。平面图形为瞬时平移时，此瞬时平面图为瞬时平移时，此瞬时平面图形的角速度等于零，但加速度形的角速度等于零，但加速度不等于零，平面图形上各点的不等于零，平面图形上各点的速度相等，但加速度并不相等。速度相等，但加速度并不相等。 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法 7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法7.3.2 速度瞬心法速度瞬心法32 返回首页例7-2 椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度 ，滑块A的速度 ，求连杆与水平方向夹角为 时，滑块B和连杆中点M的速度。解：（1）基点法AB
20、作平面运动，以A为基点，则B点的速度为7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例例 题题 返回首页33 返回首页B点的速度合成矢量图如图所示。建立如图的投影坐标，由速度合成矢量式，将各矢量投影到轴上得于是方向如图所示。7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例例 题题34 返回首页以A为基点，则M点的速度为将各矢量投影到轴上得解之得（2）速度投影法 由速度投影定理 得解得方向如图。7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例例 题题35 返回首页（3）瞬心法 AB作平面运动，瞬心在 I 点。方向如图。7.3 求平面图形内各点
21、速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例例 题题36 返回首页例例7-3 在图所示的曲柄连杆机构在图所示的曲柄连杆机构中，曲柄中，曲柄OA长长r，连杆，连杆AB长长l，曲柄以匀角速度曲柄以匀角速度 转动，当转动，当OA与与水平线的夹角水平线的夹角 = 45 时，时，OA正正好与好与AB垂直，试用瞬心法求此垂直，试用瞬心法求此瞬时瞬时AB杆和滑块的角速度杆和滑块的角速度解：连杆AB在图示瞬时的速度瞬心为I 连杆在这瞬时的角速度为 AB7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例例 题题 返回首页37 返回首页vA = r vB的方向和AB的转向如图7.3 求平面图形内各点
22、速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例例 题题38 返回首页例7-4 四连杆机构中曲柄OA长r，连杆AB长2r，摇杆O1B长 。在图示瞬时，四连杆机构中的点O、B和O1位于同一水平线上，而曲柄OA与水平线垂直。如曲柄的角速度为O，求点B的速度。7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例例 题题39 返回首页A、B两点速度方向已知两点速度方向已知 从A、B两点分别作vA、vB的垂线，其交点O即为AB杆在该瞬时的瞬心 7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例例 题题40 返回首页例7-5 图示机构中，已知各杆长OA=20 cm，AB=80 cm
23、，BD=60 cm，O1D=40 cm，角速度O=10 rad/s 。求机构在图示位置时，杆BD的角速度、杆O1D的角速度及杆BD的中点M的速度 解：研究AB杆，求vB由速度投影定理知 7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例例 题题41 返回首页由于由于 BD杆上的杆上的D点和瞬心重合，则点和瞬心重合，则 取取BD杆研究杆研究 BD杆的速度瞬心为杆的速度瞬心为D7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例例 题题42 返回首页7.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度在图示瞬时，已知在图示瞬时，已知O 点的点的加速度为加速度为aO ，
24、图形的角速，图形的角速度为度为 、角加速度为、角加速度为 。取。取O 点为基点，则图形上任点为基点，则图形上任一点一点M的牵连加速度为的牵连加速度为 M点的相对加速度是平面图点的相对加速度是平面图形绕形绕O 转动时的加速度转动时的加速度 43 返回首页根据牵连运动为平移的加速度合成定理，平面图形内任一点的加速度平面图形内任一点的加速度，等于基点的加速度与平面图形内任一点的加速度，等于基点的加速度与绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 7.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度244 返回首页例例 题题例例7-6 在在图图所所示示的的曲曲
25、柄柄连连杆杆机机构构中中，曲曲柄柄OA长长r，连连杆杆AB长长l，曲曲柄柄以以匀匀角角速速度度 转转动动，当当OA与与水水平平线线的的夹夹角角 = 45 时时，OA正正好好与与AB垂垂直直，试试求求此此瞬瞬时时连连杆杆AB的的角角加加速速度度和和滑滑块块B的加速度的加速度 解：解：以以A为基点，为基点，B点的加速度点的加速度 大小不知7.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 返回首页45 返回首页y 轴投影AB方向投影例例 题题方向如图7.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度46 返回首页例7-7 四连杆机构中曲柄OA长r，连杆AB长2r，摇杆O1B长 。在图示瞬时，四
26、连杆机构中的点O、B和O1位于同一水平线上，而曲柄OA与水平线垂直。如曲柄的角速度为O，求点B的加速度。例例 题题7.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度47 返回首页以A点为基点 轴:例例 题题7.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度48 返回首页负号表示 的实际指向与假设相反 B点加速度的大小 aB与O1B杆的夹角为 是负值，表明B点的加速度aB应沿BO1杆的右上方，与BO1的夹角B=83.41例例 题题7.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度49 返回首页例7-8 曲柄OA = r，以角速度绕定轴O转动。连杆AB = 2r，轮B半径为r，在地面上滚动而
27、不滑动如图。求曲柄在图示铅直位置时杆AB及轮B的角加速度。 例例 题题7.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度50 返回首页 速度部分速度部分 连连杆杆AB作作平平面面运运动动，此此瞬瞬时时，vAvB，而而AB不不垂垂直直于于vA。连杆连杆AB作瞬时平移，其瞬心在无穷远处，作瞬时平移，其瞬心在无穷远处， AB=0轮B作平面运动，轮与地面间无相对滑动，则接触点C为轮B的速度瞬心 例例 题题7.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度51 返回首页 求加速度求加速度 选选A为基点，为基点，B点的加速度点的加速度 AB： ： AB杆在图示位置作瞬时平移，其角速度等于零，但其角加速度并不等于零 例例 题题7.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度52 返回首页B点是轮心，距地面的距离始终为r 轮轮B与地面的接触点与地面的接触点C是速度瞬心，那么，是速度瞬心，那么，此点有没有加速度呢？此点有没有加速度呢？ 以B为基点 x:y:速度瞬心速度瞬心C C不一定是加速度瞬心不一定是加速度瞬心 例例 题题7.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 返回首页53
