多维随机变量的独立性

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1、多维随机变量的独立性多维随机变量的独立性1两事件两事件A, B独立的定义是：独立的定义是：若若P (AB) = P (A) P(B)则称事件则称事件 A, B相互独立相互独立 . 两随机变量独立概念的引出两随机变量独立概念的引出 问：问： 若若 X, Y 是两个随机变量，若对任意的是两个随机变量，若对任意的x, y,有有则能否得出则能否得出 X, Y 相互相互独立独立 ？2一一. 随机变量相互独立的定义随机变量相互独立的定义设设 (X,Y) 的的 联合分布函数及边缘分布函数联合分布函数及边缘分布函数为为F(x,y) 若对任意的若对任意的 x, y都有都有:则则 称称 随机变量随机变量X和和Y是

2、是相互独立的相互独立的.二二. 当当 (X,Y) 为离散型随机变量为离散型随机变量X和和Y相互独立相互独立是是的所有可能的取值的所有可能的取值3例例1. 设设 X,Y 相互独立，它们的分布律分别为相互独立，它们的分布律分别为:求求: (X,Y) 的联合分布律的联合分布律.解解:相互独立相互独立从而：从而：4依次可得依次可得 (X,Y) 的联合分布律为的联合分布律为:XY从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知 X,Y 相互独立条件后，则

3、可由边缘分布律直接求得其联合分相互独立条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合分布律。布律。5在一只口袋中装有在一只口袋中装有3个黑球，两个白球，从该口袋中取个黑球，两个白球，从该口袋中取球两次，每次任取一球。令球两次，每次任取一球。令问问: 1. 每次取后不放回，每次取后不放回，X,Y是否相互独立？是否相互独立？ 2. 每次取后放回，每次取后放回，X,Y是否相互独立？是否相互独立？例例2.6求求: 1. 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的概率分布的概率分布 2. (X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率分布的边缘概率分布 3. 判断判断X与与Y是否相互独立是否相互独立例例3.7 三三. 当当 (

4、X,Y) 为连续型随机变量为连续型随机变量设设 (X,Y) 服从正态分布，其边缘分布密度为：服从正态分布，其边缘分布密度为：例例4.问问: X 和和 Y 相互独立的充分必要条件是什么相互独立的充分必要条件是什么?8解解:要要 则比较可知其充分必要条件是：则比较可知其充分必要条件是：9(1) 联合概率密度及边缘概率密度联合概率密度及边缘概率密度(2) 检验检验 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立(3) (X,Y) 的联合分布函数的联合分布函数(4)例例5.求求:解解: (1). 设随机变量设随机变量 (X,Y) 在矩形域在矩形域: 内服从均匀分布内服从均匀分布(X,Y) 服从均匀分布服从均匀

5、分布由题意在由题意在区域内区域内10在在矩形矩形 上上:所以，其联合概率密度为：所以，其联合概率密度为：11在在其它域上其它域上:(2).所以得其边缘概率密度分别为：所以得其边缘概率密度分别为：与与相互独立相互独立12(3).视它为不视它为不可能事件可能事件1314故故(X,Y)的联合分的联合分布函数为布函数为15(4).甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12时时30分在某地会面。分在某地会面。设甲在时间设甲在时间12:15到到12:45之间到达某地之间到达某地是均匀分布；乙独立地到达，而且到达是均匀分布；乙独立地到达，而且到达时间在时间在12:00到到13:00之间也是均匀分布之间也是均匀分布

6、. 试求：试求：(1) 先到的人等待另一人到达的先到的人等待另一人到达的 时间不超过时间不超过5分钟的概率分钟的概率. (2) 甲先到的概率甲先到的概率例例6.16设设 X：甲到达时刻，甲到达时刻， Y：乙到达时刻：乙到达时刻若以若以12时为起点，以分为单位，依题意：时为起点，以分为单位，依题意：X U ( 15, 45 ), Y U ( 0, 60 )先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率甲先到甲先到的概率的概率解解:且有：且有： 所求为所求为 ：P( |X - Y | 5 ) 及及 P( X Y )17P(| X-Y| 5) =1/6=1

7、/2 P ( X Y )解一解一:= P( -5 X -Y 5 )18解二：解二：P(X Y)P(| X-Y| 5) 19 随随机机变变量量独独立立性性的的概概念念不不难难推推广广到到两个以上两个以上r.v的情形的情形. 一般地，一般地，n个随机变量个随机变量X1, ，Xn称为独立的，如果对一切称为独立的，如果对一切x1, ,xn，有，有P(X1x1, ，Xnxn)= 类似二维变量，不难写出其它几个关于类似二维变量，不难写出其它几个关于独立性的等价定义。独立性的等价定义。20 四四. 个随机变量相互独立的概念个随机变量相互独立的概念定义定义1.则称则称是相互独立的。是相互独立的。定义定义2.

8、若对所有的若对所有的有：有：若对所有的若对所有的有：有：其中其中依次为随机变量依次为随机变量和和的分布函数。则称的分布函数。则称和和是相互独立的。是相互独立的。关于关于 的边缘的边缘分布函数分布函数 21若连续型随机向量（若连续型随机向量（X1, ,Xn）的概率密度的概率密度函函数数 f (x1, , xn)可可表表示示为为 n 个个函函数数 g1, ,gn 之积，其中之积，其中gi 只依赖于只依赖于 xi，即，即 f (x1, ,xn) = g1(x1) gn(xn) 则则 X1, , Xn 相互独立，且相互独立，且 Xi 的边缘密度的边缘密度fi ( xi ) 与与 gi ( xi ) 只相差一个常数因子只相差一个常数因子.关于独立性的三个结果：关于独立性的三个结果：定理定理122 若若 X1, , Xn 相互独立，而：相互独立，而： Y1= g1 ( X1, ,Xm ), Y2= g2 ( Xm+1, , Xn ) 则则 Y1与与 Y2 相互独立相互独立. 定理定理 2 定理定理 3和和相互独立相互独立设设则则和和相互独立。相互独立。又若又若是连续函数，是连续函数，则：则：和和相互独立。相互独立。23