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1、9.2-9.2-9.39.3 函数列和函数项级数函数列和函数项级数 的一致收敛性的一致收敛性一、函数一、函数序序列的一致收敛列的一致收敛(1) (1) 定义定义2.12.1(2)(2)例例1.1.只要取只要取研究下列序列的收敛性研究下列序列的收敛性. .解：解：因为因为例例2.2.研究下列序列的收敛性研究下列序列的收敛性. .解：解：因为因为(3) (3) 一致收敛一致收敛定义定义2.22.2xyo（4 4）几何解释）几何解释: :（5 5）证明：证明：反之，反之，定理定理2.2.1 1例例3.3.证明：证明：例例4.4.解：解：一致收敛一致收敛故在故在(0,1)(0,1)上不一致收敛上不一致
2、收敛. .判断判断定理定理2.2.2 2证明证明: :二、函数项级数的一致收敛二、函数项级数的一致收敛定义定义3.13.1定理定理3.13.1( (柯西收敛原理柯西收敛原理) )推论推论3.13.1逆否逆否: :例例5 5解解: :故级数在故级数在(0,+)(0,+)上不一致收敛上不一致收敛! !由于由于例例6 6证明：证明： (1)(1)因为因为(2)(2)由（由（1)1)即得即得. .利用例利用例6 6结论的结论的逆否可得，逆否可得，不一致收敛不一致收敛(由于它们在相应的闭区间是不由于它们在相应的闭区间是不一致收敛的一致收敛的)-)-由逆否命题可得到。由逆否命题可得到。三、一致收敛的判别三
3、、一致收敛的判别证明：证明：定理定理3.2(Weirstrass3.2(Weirstrass判别法判别法) )则由则由CauchyCauchy收敛定理，收敛定理，进一步由已知条件，进一步由已知条件，M-M-判别法或优判别法判别法或优判别法优级数优级数, ,强级数强级数, ,控制级数控制级数例例7 7解：解：例例8 8解：解：证明：证明：例例9 9由本节例由本节例5 5可知，可知，说明：说明： 使用使用M M判别法，要求判别法，要求：这种要求过强这种要求过强 存在一致收敛级数，但不绝对收敛；存在一致收敛级数，但不绝对收敛；存在级数绝对收敛，且一致收敛，但存在级数绝对收敛，且一致收敛，但反例见课后
4、习题！反例见课后习题！四四、定义定义3.23.2定义定义3.33.3例例10 10 讨论下面序列是否一致有界讨论下面序列是否一致有界. . 因此该序列因此该序列一致有界一致有界. .矛盾！矛盾！解：解：但不但不一致有界一致有界. .( (1)1)( (2)2)证明：证明：定理定理3.3(Dirichlet3.3(Dirichlet判别法判别法) )由柯西收敛原理，由柯西收敛原理，证毕证毕! !例例1 11 1证明：证明：即部分和序列即部分和序列一致有界一致有界，定理定理3.4(Abel3.4(Abel判别法判别法) )类似定理类似定理3.33.3可证，这里从略可证，这里从略. .例例1 12 2解：解：讨论讨论( (1)1)( (2)2)五、小结3. 一致收敛性一致收敛性M M判别法判别法, , DirichletDirichlet判别法判别法, , Abel Abel判别法判别法. .1. 函数列的一致收敛定义；函数列的一致收敛定义；2. 函数项级数的一致收敛定义函数项级数的一致收敛定义；作业习题10.21（1）（3），2习题10.31(1)(3)(5)(7),2,3,4,5,6
