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1、侯人鸾 20101120061只有一个自由度的振动系统，简称只有一个自由度的振动系统，简称单自由度系统单自由度系统。mk0 x静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置mkLm(a)(b)(c)2所谓所谓无阻尼自由振动无阻尼自由振动，是指振动系统受到初始扰，是指振动系统受到初始扰动（激励）以后即不再受外力作用，也不受阻尼的动（激励）以后即不再受外力作用，也不受阻尼的影响所作的振动。影响所作的振动。单自由度线性振动系统可以用一个常系数的二阶单自由度线性振动系统可以用一个常系数的二阶线性常微分方程描述它的振动规律。线性常微分方程描述它的振动规律。3u直线振动直线振动mk0xxm如图，振动体的质量
2、为如图，振动体的质量为m，弹簧弹性系数（刚度）为，弹簧弹性系数（刚度）为k。取静平衡位置取静平衡位置0-0为坐标为坐标原点，原点，x为位移。为位移。当质量块离开平衡位置时，当质量块离开平衡位置时，（2-1）弹簧力弹簧力由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得即即4令令 并代入上式得并代入上式得（2-2）改写为改写为振动微分方程的通解振动微分方程的通解由欧拉公式由欧拉公式得得（2-3）5式中式中D1，D2 由初始条件确定由初始条件确定（2-3）式表明：单自由度系统无阻尼自由振动包式表明：单自由度系统无阻尼自由振动包含两个频率相同的简谐振动，从而合成一个简谐振动。含两个频率相同的简谐振动，从而合成一个简谐
3、振动。可用下式表示可用下式表示（2-4）A A 振幅（最大振动位移）；振幅（最大振动位移）； 0 0初相位初相位角，角，rad；n 振动系统的固有角频率（表示振振动系统的固有角频率（表示振动快慢），动快慢），rad/s 6n：系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以以及如何进行振动的方式都毫无关系及如何进行振动的方式都毫无关系 不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和开始时刻系统所处的状态有关受到过的激励和开始时刻系统所处的状态有关 将振动的零时刻初始条件将振动的零时刻初始条件代入代入（2-3）
4、中，得中，得7则得则得f 固有频率（系统每秒钟振动的次数），固有频率（系统每秒钟振动的次数），HzT 周期（振动一次所用的时间），周期（振动一次所用的时间），s周期周期T是频率是频率f的倒数的倒数8u扭转振动扭转振动如图，轴本身质量不计，如图，轴本身质量不计，圆盘转动惯量为圆盘转动惯量为I。其扭转刚度为其扭转刚度为k轴转轴转动一单位转角所需加的力矩。动一单位转角所需加的力矩。以静平衡位置为起始位置，以静平衡位置为起始位置，角位移坐标为角位移坐标为。当圆盘做扭转振动时当圆盘做扭转振动时（2-4）扭振微分方程式扭振微分方程式I其弹性恢复力矩其弹性恢复力矩9式式（2-4）与式与式（2-1）形式形式完
5、全一致，可解得完全一致，可解得扭振的固有角频率扭振的固有角频率（2-5）将振动的零时刻初始条件将振动的零时刻初始条件代入代入（2-5）中，得中，得10由此可看出，除了选择了坐标不同之外，由此可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动角振动与与直线振动直线振动的数学描述是完全相同的。的数学描述是完全相同的。单自由度无阻尼系统总包含着单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件惯性元件和和弹性元弹性元件件两种基本元件。两种基本元件。惯性元件惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量；质量或转动惯量；弹性元件弹性元件是产生使系统恢复原来是产生使系统恢复原来状态的恢复
6、力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。度的弹性体。11幻灯片放映12 例：例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长梁长 l，截面抗弯刚度，截面抗弯刚度 EI求：求： 梁的自由振动频率及振幅梁的自由振动频率及振幅mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置1213 例：复摆例：复摆刚体质量刚体质量 m对悬点的转动惯量对悬点的转动惯量 重心重心 G 求：求： 复摆在平衡位置附近做微振动时复摆在平衡位置附近做微振动时微分方程和固有频率微分方程和固有频率 aOGJ0J013Thank you!14这是一个齐次二阶常系数线性微分方程，这是一个齐次二阶常系数线性微分方程， 是方程的特解，是方程的特解，把及把及 代入（代入（2-2）式中得）式中得: ,由于由于 ，否则位移为零没有意义。故有，否则位移为零没有意义。故有（2-2）称为微分方程的特征方程，其特征根为称为微分方程的特征方程，其特征根为式中式中振动微分方程的通解振动微分方程的通解15
