5微积分基本公式

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1、第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式 问题的提出问题的提出积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式fundamental formula of calculus 第五章第五章 定积分定积分1例例变速直线运动的路程：变速直线运动的路程：这段路程还可以表示为：这段路程还可以表示为：设某设某物体作变速直线运动物体作变速直线运动, 已知速度已知速度求物体在时间间隔求物体在时间间隔 所经过的路程所经过的路程.微积分基本公式微积分基本公式一、问题的提出一、问题的提出其中其中2定积分定积分积分上限函数积分上限函数 注注被积函数被积函数设设f (x)在在a,b中可中可积

2、积,与与自变量自变量 x积分变量积分变量 t.微积分基本公式微积分基本公式二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数几何意义：几何意义：红色部分红色部分的面积的面积.3证证定理定理1 1微积分基本公式微积分基本公式(原函数存在定理原函数存在定理)定积分对区间可加性定积分对区间可加性积分中值定理积分中值定理4推论推论微积分基本公式微积分基本公式5微积分基本公式微积分基本公式解解6例例 解解微积分基本公式微积分基本公式7例例 解解微积分基本公式微积分基本公式8例例解解应用洛必达法则应用洛必达法则.微积分基本公式微积分基本公式9证证 令令微积分基本公式微积分基本公式单调增加单调增加.证明证明:

3、只有一个解只有一个解.例例所以原方程所以原方程只有一个解只有一个解.10定理定理2 2证证牛顿牛顿( (英英)16421727)16421727 莱布尼茨莱布尼茨( (德德)16461716)16461716都是都是 f (x) 在在a, b上的原函数上的原函数,C是是待定常数待定常数,微积分基本公式微积分基本公式三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式11NL公式：公式：微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式12微积分基本公式表明微积分基本公式表明注注求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.连续函数在区间连续函数在区间a, b上的定积分等于上的定积

4、分等于它任意一个原函数在区间它任意一个原函数在区间a, b上的增量上的增量.仍仍成立成立.微积分基本公式微积分基本公式13例例 原式原式解解 面积面积例例 解解平面图形的面积平面图形的面积.所围成的所围成的微积分基本公式微积分基本公式14例例 解解微积分基本公式微积分基本公式15例例 解解注注分段函数分段应用分段函数分段应用牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式求定积分。求定积分。微积分基本公式微积分基本公式16例例微积分基本公式微积分基本公式18已知函数已知函数求积分上限的函数求积分上限的函数解解分段函数分段函数微积分基本公式微积分基本公式20证证微积分基本公式微积分基本公式证明函数证明函数单调增加单调增加.21解解积分和的极限积分和的极限.微积分基本公式微积分基本公式23微积分基本公式微积分基本公式解解 原式原式24解解 原式原式=微积分基本公式微积分基本公式25微积分基本公式微积分基本公式思考题思考题1对吗对吗? ?错！正确解答：错！正确解答：27微积分基本公式微积分基本公式思考题思考题2已知两曲线已知两曲线在在处切线相同处切线相同,写出此切线方程写出此切线方程, 并求并求解解所求切线方程：所求切线方程：28