两个角动量的耦合

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1、7-4 两个角动量的耦合两个角动量的耦合 一、两个角动量的相加一、两个角动量的相加（耦合耦合）二、角动量算符之间的对易关系二、角动量算符之间的对易关系三、耦合表象与无耦合表象的关系三、耦合表象与无耦合表象的关系7-4 两个角动量的耦合两个角动量的耦合 两两个个角角动动量量（磁磁矩矩）发发生生耦耦合合，体体系系便便出出现现附附加加能能量量，在在此此情情况况下下，可可以以证证明明角角动动量量为为守守恒恒量量。核核壳壳层层结结构构、原原子子光光谱谱的的精精细细结结构、复杂塞曼效应都必须由角动量耦合才能得到合理解释。构、复杂塞曼效应都必须由角动量耦合才能得到合理解释。 一、两个角动量的相加（耦合）一、

2、两个角动量的相加（耦合） 考考虑虑由由两两个个不不同同子子体体系系构构成成的的量量子子体体系系。设设两两个个子子体体系系的的角角动动量分别为量分别为 和和 ，它们满足，它们满足 由于由于 和和 属于不同子体系，所以相互对易，即属于不同子体系，所以相互对易，即 或或 定义：定义：体系的总角动量体系的总角动量 则则 或或 注意：注意： 不是角动量。不是角动量。 即即 满足角动量的一般定义。满足角动量的一般定义。 二、角动量算符之间的的对易关系二、角动量算符之间的的对易关系 （1 1） 1 1 、 、 、 彼此对易彼此对易 （2 2） （3 3） （4 4） 综综上上， 是是彼彼此此对对易易的的，它

3、它们们了了组组成成第第一一套套力力学学量量完全集，其共同本征矢完全集，其共同本征矢 组成了正交归一完备基矢组。组成了正交归一完备基矢组。 2 2 、 、 、 彼此对易彼此对易 组组成成了了第第二二套套力力学学量量完完全全集集，它它们们的的共共同同本本征征矢矢 组成了正交归一完备基矢组。组成了正交归一完备基矢组。 3 3耦合表象和无耦合表象耦合表象和无耦合表象 耦耦合合表表象象：以以 的的共共同同本本征征矢矢 为为基基矢矢的的表表象；象； 无无耦耦合合表表象象：以以 的的共共同同本本征征矢矢 为为基基矢的表象。矢的表象。三、耦合表象与无耦合表象的关系三、耦合表象与无耦合表象的关系 1 1表象变换

4、表象变换 耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来，即耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来，即 展展开开系系数数 称称为为矢矢量量耦耦合合系系数数或或克克来来布布希希- -高高登登系系数数（ClebschClebschGordenGorden）系数，简称）系数，简称C-GC-G系数系数。 因为因为 所以所以 、 有共同本征矢，因此有共同本征矢，因此 即即 的本征值为的本征值为 ，所以，所以 则则 2 2量子数量子数 和和 、 的关系的关系 （1 1） 取值：取值： 最大值最大值 取值：取值： 最大值最大值 取值：取值： 最大值最大值 因为因为 所以所以 于是于是 给定给定 、 ，则

5、，则 （2 2） 给给定定 、 ，则则 取取值值 个个， 取取值值 个个，所所以以无无耦耦合合表象基矢表象基矢 个数（即无耦合表象空间的维数）为个数（即无耦合表象空间的维数）为 另另一一方方面面，对对应应于于一一个个 值值， 有有 个个取取值值，所所以以耦耦合合表表象象基矢基矢 个数为个数为 由于幺正变换不改变空间的维数，所以由于幺正变换不改变空间的维数，所以 上式左边是公差为上式左边是公差为2 2的等差数列之和，其项数为的等差数列之和，其项数为 于是于是 （首项（首项+ +末项）末项） 项数项数 所以所以 （3 3） 的取值的取值 每一步的改变为每一步的改变为1 1。 给定给定 、 后，后， 的取值的取值