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1、函数模型的应用实例1函数模型的应用实例主要包括三个方面(1)_；(2)_；(3)_自学导引利用给定的函数模型解决实际问题 建立确定性的函数模型解决实际问题 建立拟合函数模型解决实际问题 2面临实际问题，自己建立函数模型的步骤(1)_；(2)_；(3)_；(4)_；(5)_；(6)_收集数据描点选择函数模型求函数模型检验用函数模型解决实际问题1利用我们所得到的函数模型有什么用途？【答案】利用所得函数模型可解释有关现象，对某些发展趋势进行预测2数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？【答案】因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能
2、误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型自主探究1据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()Ay0.3x800(0x2 000)By0.3x1 600(0x2 000)Cy0.3x800(0x2 000)Dy0.3x1 600(0x2 000)预习测评【答案】D解析：由题意知，变速车存车数为(2 000x)辆次，则总收入y0.5x(2 000x)0.80.5x1 6000.8x0.3x1 600(0x2 000)2据你估计，一种
3、商品在销售收入不变的条件下，其销量y与价格x之间的关系图最可能是下图中的()【答案】C3现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)现有两个拟合模型，甲：yx21，乙：y3x1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用_作为拟合模型较好【答案】甲解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好1确定函数模型这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力求解时一般按以下几步进行：(1)阅读理解，认真审题，就是读懂题中的文字叙述，关键是找准题目中确定的相等关系，特别是隐含
4、的相等关系；要点阐释(2)引进数学符号，建立函数模型，一般地设自变量为x，函数为y(也可以用其他常用字母)，把第一步分析得出的相等关系翻译成含有x，y的等式，然后用x表示y，即所谓建立了函数模型，这个函数模型可能含有一些待定的系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定；(3)利用函数知识，如单调性、最值等，对函数模型予以解答，即所谓解答函数模型；(4)翻译成具体问题作答在这类函数模型中，二次函数模型占有重要地位，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最省等问题2拟合函数模型(近似函数模型)这类应用题提供的变量
5、关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值(是搜集或用实验方法测定的)为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法求解这种函数模型的一般步骤为：画散点图选择函数模型用待定系数法求函数模型检验，若符合实际，可用此函数模型解释实际问题，若不符合实际，则继续选择函数模型，重复操作过程以上过程可以利用计算器或计算机进行数据拟合用Excel工作表进行数据拟合在“添加趋势线”工具栏中，提供了线性、对数、指数、乘幂、多项式、移动平均等6种数学模型，可供择优选用根据函数自身的种类，常见函数模型可分为：(1)直线模型：即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时间和位移的关系，
6、弹簧的伸长与拉力的关系等，直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k1)，通过画图可以很直观地认识它(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a1)，常形象地称之为“指数爆炸”通过细胞分裂增长实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“爆炸”的威力(3)对数函数模型：能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a1)，函数值增大的速度越来越慢对数增长在现实生活中也有广泛的应用(4)幂函数模型：能用幂函数表达的函数模型叫幂函数模型，幂函数模型中最常见的是二次函数模型，它的应用最为
7、广泛在几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象交点、分析变量x的范围，同时还要与实际问题相结合，如取整等题型一利用已知函数模型解决问题【例1】 养鱼场中鱼群的最大养殖量为m t，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y t和实际养殖量x t与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围典例剖析思路点拨：本题关键是根据题意，列出函数解析式1某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1
8、.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型来模拟该产品的月产量y与月份x的关系，函数模型可以选择二次函数或函数yabxc(其中a，b，c为常数)已知4月份该产品的实际产量为1.37万件，试问：用以上哪个函数模型拟合效果较好？并说明理由题型二建立函数模型解决实际问题【例2】 某市原来民用电价为0.52元/kWh.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kWh，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kWh.对于一个平均每月用电量为200 kWh的家庭，要使节省的电费不大于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的
9、平均用电量至多为多少kWh?思路点拨：设峰时用电为x kWh，列出不等式求解即可解：原来电费y10.52200104(元)设峰时用电为x kWh，电费为y.则yx0.55(200x)0.35(110%)y1，即0.55x700.35x93.6，则0.2x23.6，x118.所以这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118 kWh.2甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图所示甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只甲 乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明：(1)第二年甲鱼池的个
10、数及全县出产甲鱼总数；(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由乙 题型三建立拟合函数解决实际问题【例3】 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额/万元123456获纯利润/万元0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额/万元123456获纯利润/万元0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可
11、获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)思路点拨：画散点图，调用相关函数的知识，猜测出函数模型，然后求出函数解析式来处理问题解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示方法点评：根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题，这是本节新的解题思路请同学们在用待定系数法求解析式时，选择其他数据点，观察结果的差异3某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反
12、映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？解：(1)第一步：作图，根据已经采集到的数据，画出散点图以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(如图所示)第二步：选择函数模型，根据图象特点，联想哪些函数具有这种性质
13、根据点的分布特征，可考虑以yabx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型第三步：求出函数模型，取点的坐标代入函数解析式，列方程组，求出待定系数，得到函数解析式第四步：检验，将已知的其他数据代入所得函数解析式进行验证也可以作出所求函数的图象将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象(如图所示)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系第五步：下结论并解决所求问题(2)将x175代入y21.02x，得y21.02175，由计算器可算得y63.98.由于7863.981.221.2，所以这个男生偏胖【例4】 如图所示
14、，圆弧形声波DFE从坐标原点O向外传播若D是DFE与x轴的交点，设ODx(0xa)，圆弧形声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数yf(x)的图象大致是()误区解密 因未理解题意而出错错解：观察图1可知，声波扫过的面积先增大后减小，故正确答案为B.错因分析：本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错正解：从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快当到达C点之后且离开A点之前，因为OABC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢，所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的故选A.答案：A纠错心得：函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢；下凹函数图象正好相反1解答应用题的基本步骤：(1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；(3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题，给出最终的答案课堂总结2在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：
