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1、单调性与最大（小）值（第一课时）单调性与最大（小）值（第一课时）2006全国优质课比赛教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章第一章1一、对一、对“函数的单调性函数的单调性”的设计构思的设计构思n1.教学内容的分析教学内容的分析n函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法、依据。供了方法、依据。22.教学目标的确定教
2、学目标的确定n根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标。重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；不同的方面确定了教学目标。重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。3n对于函数单调性，学生的认知困难主要存在两个方面：（对于函数单调
3、性，学生的认知困难主要存在两个方面：（1）用准确的数学符号语言刻）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的画图象的上升与下降，这种由形到数的“翻译翻译”，从直观到抽象的转变对高一的学生，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。根据以上的分析和教学大纲的要求，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点。确定了本节课的重点和难点。43.教学方法
4、和教学手段的选择教学方法和教学手段的选择n本节课是函数单调性的起始课本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导、学生探究学习的教学方法，通过创采用教师启发引导、学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法。本节课使用了多媒体和计设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法。本节课使用了多媒体和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。54.教学过程的设计教学过程的设计n为达到本节课的教学目标为达到本节课的教学目标,突出重点突出重点,突破难点突破难点
5、,教学上采取了以下的措施教学上采取了以下的措施: （1）在探索概念阶段）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认识过程，完成对函数单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入。识过程，完成对函数单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入。6n（2）在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性）在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤。的方法和步骤。n（3）考虑到本校（北京景山学校）学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断）考虑
6、到本校（北京景山学校）学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。7函数单调性函数单调性教材教材分析分析教学教学目标目标重点重点难点难点教学教学过程过程教法教法学法学法二、二、“函数单调性函数单调性”的教学设计的教学设计81.11.1教材的地位和作用教材的地位和作用教材的地位和作用教材的地位和作用函数的函数的单调性单调性函数概念的延续和拓展函数概念的延续和拓展培养学生逻辑推理能力和培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要渗透数形结合思想的重
7、要素材素材对研究其他函数性质起启发对研究其他函数性质起启发和示范作用，和示范作用，是学习研究其它数学知识的是学习研究其它数学知识的重要基础重要基础1.教材分析91.21.2学情分析学情分析学情分析学情分析学生的认知困难学生的认知困难由形到数的翻译由形到数的翻译,从直观从直观到抽象的转变到抽象的转变.在函数学习中首次接触在函数学习中首次接触到代数论证到代数论证.1.教材分析101.31.3教学的重点和难点教学的重点和难点教学的重点和难点教学的重点和难点 理解函数单调性的概念理解函数单调性的概念; 初步掌握判断、证明函数单调性的步骤初步掌握判断、证明函数单调性的步骤重点重点 函数单调性概念的理解函
8、数单调性概念的理解; 难点难点1.教材分析112.教学目标1 1、理解函数单调性的概、理解函数单调性的概念念2 2、初步掌握判断、证明、初步掌握判断、证明函数单调性的步骤函数单调性的步骤3 3、了解函数单调区间的、了解函数单调区间的概念概念通过知识的探究过程培养学通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、勇生细心观察、认真分析、勇于探索、严谨论证的良好思于探索、严谨论证的良好思维习惯维习惯1 1、通过对函数单调性定义的、通过对函数单调性定义的探究，让学生经历从具体到抽探究，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程理性的认知过程2 2、通过对函数
9、单调性的证明，、通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力提高学生的推理论证能力3 3、渗透数形结合的思想方法，、渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力能力和语言表达能力知识与技能知识与技能知识与技能知识与技能过程与方法过程与方法过程与方法过程与方法情感态度与价值观情感态度与价值观情感态度与价值观情感态度与价值观123.教法学法3.13.1教学方法教学方法教学方法教学方法多媒体教学多媒体教学3.23.2教学手段教学手段教学手段教学手段讲练结合讲练结合探究式教学探究式教学自主探究自主探究合作交流合作交流3.33.3学习方法学习方法学习方
10、法学习方法13函数的单调性函数的单调性创设情境，引入课题创设情境，引入课题探究新知，构建概念探究新知，构建概念例题分析，巩固练习例题分析，巩固练习归纳小结，布置作业归纳小结，布置作业板书设计板书设计4.教学设计14（一）创设情境、引入课题（一）创设情境、引入课题（一）创设情境、引入课题（一）创设情境、引入课题(3min)(3min)(3min)(3min)设计意图设计意图设计意图设计意图 1、下图是气象台预测北京市今年下图是气象台预测北京市今年8 8月月8 8日日一天一天2424小时内气温随时间变化的曲线图小时内气温随时间变化的曲线图, ,观察观察图形图形, ,你能得到什么信息你能得到什么信息
11、? ?教学过程教学过程15（一）创设情境、引入课题（一）创设情境、引入课题（一）创设情境、引入课题（一）创设情境、引入课题(5min)(5min)(5min)(5min)设计意图设计意图设计意图设计意图引导学生识图，捕捉信息，启发引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考学生思考由生活情境引入新课，从而拉近由生活情境引入新课，从而拉近数学与现实的距离，激发学生的数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动学生主体参与的积求知欲，调动学生主体参与的积极性。极性。教学过程教学过程2 2近十几年来，南极上空臭氧层空洞的面积从近十几年来，南极上空臭氧层空洞的面积从1979200119792001年的变化。年的变
12、化。 16（二）探究新知，构建概念（二）探究新知，构建概念（二）探究新知，构建概念（二）探究新知，构建概念(23min)(23min)(23min)(23min)借助图象借助图象直观感知直观感知抽象思维抽象思维形成概念形成概念教学过程教学过程171 1 1 1、借助图象，直观感知、借助图象，直观感知、借助图象，直观感知、借助图象，直观感知设计意图设计意图设计意图设计意图教学过程教学过程181 1 1 1、借助图象，直观感知、借助图象，直观感知、借助图象，直观感知、借助图象，直观感知教学过程教学过程xyO 112-1-2234xyO 112-1-2234xyO 112-1-2234xyO 112
13、-1-223-1 -2设计意图设计意图设计意图设计意图从学生熟悉的函数图象出发，从学生熟悉的函数图象出发，渗透数形结合思想，引导学生渗透数形结合思想，引导学生直观感知函数的单调性直观感知函数的单调性激发学生学习兴趣和热情激发学生学习兴趣和热情培养学生观察，猜想，归纳的培养学生观察，猜想，归纳的能力能力形成自主探究，独立思考的思形成自主探究，独立思考的思维品质维品质19设计意图设计意图设计意图设计意图引导学生进行分类描述引导学生进行分类描述 (增函数、减增函数、减函数函数),同时明确函数的单调性是对定同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的义域内某个区间而言的,是函数的局部是函数的局部性质
14、性质.从从图图象象的的角角度度对对函函数数单单调调性性的的直直观观、描描述述性性的的认认识识完完成成对对函函数数单单调调性性的的第一次认识。第一次认识。问题问题2 2：能否根据自己的：能否根据自己的理解说说什么是增函数、理解说说什么是增函数、减函数减函数? ?教学过程教学过程1 1 1 1、借助图象，直观感知、借助图象，直观感知、借助图象，直观感知、借助图象，直观感知202、抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念设计意图设计意图设计意图设计意图学生难以确定分界点的确切位学生难以确定分界点的确切位置。置。通过讨论，使学生感受到用图通过讨论，使学生感受到用图象判断
15、函数单调性比较直观，象判断函数单调性比较直观，但有时不够精确，需要结合解但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研析式进行严密化、精确化的研究。使学生体会到用数量大小究。使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必关系严格表述函数单调性的必要性。要性。问题问题3 3：下图是函数：下图是函数的图象，能说出这个函数分别在哪个的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数或减函数吗？区间为增函数或减函数吗？教学过程教学过程21设计意图设计意图设计意图设计意图 对于学生错误的回答，引对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学文字语言进行辨析，使
16、学生认识到问题的根源在于生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间而引导学生在给定的区间内任取两个自变量。内任取两个自变量。把对单调性的认识由感性把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度，上升到理性认识的高度，完成对概念的第二次认识。完成对概念的第二次认识。事实上也给出了证明单调事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫学习做好铺垫教学过程教学过程2、抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念预案：（预案：（1）在给定区间内取两个数，例如）在给定区间内取两个数，例如2和和3，因为，
17、因为2232，所以，所以 在在 上为增函数。上为增函数。（2）取多组数值验证均满足，所以）取多组数值验证均满足，所以 在在 上为增函数。（上为增函数。（3）任取）任取 则则 在在 上为增函数。上为增函数。222、抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念设计意图设计意图设计意图设计意图引导学生归纳、抽象出引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义函数单调性的定义使学生经历从具体到抽使学生经历从具体到抽象象,从特殊到一般的认知从特殊到一般的认知过程过程培养学生归纳概括能培养学生归纳概括能 力力问题问题5 5：你能用准确的数学符号语言：你能用准确的数学符号语言 表述出增函数
18、的定义吗表述出增函数的定义吗? ?,教学过程教学过程23 2、抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念设计意图设计意图设计意图设计意图强调关键强调关键教学过程教学过程如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变上的任意两个自变量量x1 、x2 ；当；当x1 x2 时都有时都有f(x1 ) f(x2 )，那么就说函数那么就说函数f (x)在区间在区间D上是增函数。上是增函数。Oxy24 2、抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念设计意图设计意图设计意图设计意图强调关键强调关键,教学过程教学过程如果对于定义域
19、如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变上的任意两个自变量量x1 、x2 ；当；当x1 x2时，都有时，都有f(x1 ) f(x2 ) ，那么就说函数，那么就说函数f (x)在区间在区间D上是减函数。上是减函数。Oxy25教学过程教学过程判断判断题：强调单调性是函数的局部性质，加深对单调区强调单调性是函数的局部性质，加深对单调区间的认识：单调性是对定义域内某个区间而言间的认识：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。函数在定义域内的两个区间函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（或上都是增（或减）函数，一般
20、不能认为函数在减）函数，一般不能认为函数在 A B上是上是增（或减）函数。增（或减）函数。设计意图设计意图设计意图设计意图 2 2 2 2、抽象思维、形成概念、抽象思维、形成概念、抽象思维、形成概念、抽象思维、形成概念26教学过程教学过程判断判断题：2）4）3） 2 2 2 2、抽象思维、形成概念、抽象思维、形成概念、抽象思维、形成概念、抽象思维、形成概念1）27 （三）例题分析、深化概念（三）例题分析、深化概念（三）例题分析、深化概念（三）例题分析、深化概念（12min12min12min12min）设计意图设计意图设计意图设计意图强化学生应用数形结合的思强化学生应用数形结合的思想解题的意识
21、，进一步加深想解题的意识，进一步加深对概念的理解对概念的理解明确单调性是函数的局部性明确单调性是函数的局部性质质加深对单调区间的认识加深对单调区间的认识例例1 、下图是定义在区间、下图是定义在区间-5，5上的函数，根据图上的函数，根据图像写出函数的单调区间，以及在每个单调区间上，像写出函数的单调区间，以及在每个单调区间上，它是增函数还是减函数？它是增函数还是减函数？教学过程教学过程-21 2 345-23-3-4-5-1-112O28 （三）例题分析、深化概念（三）例题分析、深化概念（三）例题分析、深化概念（三）例题分析、深化概念(15min)(15min)(15min)(15min)设计意图
22、设计意图设计意图设计意图 初步掌握运用定义进行初步掌握运用定义进行简单论证的基本方法，简单论证的基本方法，强化证题的规范性训练，强化证题的规范性训练，引导学生归纳证明函数引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定作差、变形、断号、定论论例例2、证明函数、证明函数 在在上是增函数。上是增函数。教学过程教学过程29 （三）例题分析、深化概念（三）例题分析、深化概念（三）例题分析、深化概念（三）例题分析、深化概念(15min)(15min)(15min)(15min)设计意图设计意图设计意图设计意图 再次运用函数单调性定再次运用函数单调性定义进行论证，解决实际义
23、进行论证，解决实际应用问题，并强化证题应用问题，并强化证题的规范性训练。的规范性训练。例例3、物理学中的玻意耳定理、物理学中的玻意耳定理P=K/V（K为正常数）告为正常数）告诉我们对于一定量的气体，当其体积诉我们对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强减小时，压强P将增大，试用函数的单调性证明之。将增大，试用函数的单调性证明之。教学过程教学过程30教学过程教学过程 （四）归纳小结、布置作业（四）归纳小结、布置作业（四）归纳小结、布置作业（四）归纳小结、布置作业(5min)(5min)(5min)(5min)设计意图设计意图设计意图设计意图小结：小结：1.定义：2.注意点：3.证明步骤： 通过小
24、结突出重点，让学生通过小结突出重点，让学生对所学知识结构有一个清晰对所学知识结构有一个清晰的认识的认识31教学过程教学过程 通过两方面的作业，满足学生通过两方面的作业，满足学生多样化的学习需要多样化的学习需要 （四）归纳小结、布置作业（四）归纳小结、布置作业（四）归纳小结、布置作业（四）归纳小结、布置作业(5min)(5min)(5min)(5min)作业：作业：必做题：必做题：P43习题1.3 A组 1，2选做题：选做题：P43习题1.3 A组 3数学日记：数学日记：谈谈你本节课中的收获或者困惑，整理你认为本节课中的最重要的知识和方法设计意图设计意图设计意图设计意图32教学过程教学过程 （五）板书设计（五）板书设计（五）板书设计（五）板书设计投投影影区区 1.3.1单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值1、增函数：、增函数： 减函数：减函数：2、注意：、注意：3、证明步骤：、证明步骤：问题（例）问题（例）问题（例）问题（例）3334
