高数(高等数学)上册内容总结

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1、1 定义： 2 运算法则：1 定义： 2 运算法则： （1）四则运算（2）复合函数 （1）四则运算（2）复合函数 3 性质：3 性质： （1）有界性 （2）唯一性 （3）保号性 （4）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 （5）（1）有界性 （2）唯一性 （3）保号性 （4）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 （5）)()()(limxAxfAxf+ += = =， 其中， 其中0)(lim= =x。 。 4 无穷小量的阶： 4 无穷小量的阶： 第一章主要内容第一章主要内容机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束一 、极限一 、极限15 求极限的方法： 求极限的方

2、法： (1) 定义，运算法则及性质; (2) 夹逼定理； (3) 单调有界原理（求数列极限） ； (4) 单侧极限与极限的关系； (5) 两个重要极限： (1) 定义，运算法则及性质; (2) 夹逼定理； (3) 单调有界原理（求数列极限） ； (4) 单侧极限与极限的关系； (5) 两个重要极限： 1sinlim0= =xxxexxx=+=+)11(limexxx=+=+10)1(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束ennn=+=+)11(lim2常用的等价无穷小量：常用的等价无穷小量： 当 当0x时 , 时 , xx sin， xx tan， xx )

3、1ln( + + xx arcsin， xx arctan， xex1 , 221cos1xx , xxaxln1 xx 1)1( + + , 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束(6) 利用等价无穷小代换；利用等价无穷小代换； (7) 罗必达法则（注意应用条件）; （罗必达法则（注意应用条件）; （8） 利用泰勒公式。） 利用泰勒公式。 31 定义： 定义：)()(lim00xfxfxx= =；0lim0= = yx。 2 性质： 性质： （1）初等函数在其定义域内是连续的。 （2）连续等价与左右连续且相等。 （1）初等函数在其定义域内是连续的。 （2）连续等

4、价与左右连续且相等。 3 间断点的类型： 间断点的类型： （1）第一类间断点； （2）第二类间断点。 （1）第一类间断点； （2）第二类间断点。 二 、连续性二 、连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束4 闭区间上连续函数的性质： 闭区间上连续函数的性质： （1） 零点存在定理；（1） 零点存在定理； （2） 介值定理；（2） 介值定理； （3） 最大值，最小值定理；（3） 最大值，最小值定理； 41、导数的定义1、导数的定义.)()(limlim00000xxfxxfxyyxxxx +=+= =机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回

5、 结束;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx + += =;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx + += =+函数函数)(xf在点在点0x处可导处可导左导数左导数)(0xf 和右 导数和右 导数)(0xf+ + 都存在且相等.都存在且相等. 第二章主要内容第二章主要内容52、基本导数公式2、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx+ += （常数和基本初等函数的导数

6、公式）（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx+ += arc机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束63、求导法则3、求导法则设 设 )(),(xvvxuu= = = 可导，则 （1） 可导，则 （1）vuvu = = )(, （2）, （2）uccu = = )( ( (c是常数), （3）是常数), （3）vuvuuv + + = = )(, （4）, （4）)0()(2 = =vvvuvuvu. . (1) 函数的和

7、、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则(1) 函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则.)(1)(, )()(yxfxfyyx = = =则有的反函数为如果函数则有的反函数为如果函数机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束7(3) 复合函数的求导法则(3) 复合函数的求导法则).()()()()(, )(xufxydxdududydxdyxfyxuufy = = =或导数为的则复合函数而设=或导数为的则复合函数而设(4) 对数求导法(4) 对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方

8、法求出导数.适用范围:适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束8(5) 隐函数求导法则(5) 隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系与确定若参数方程间的函数关系与确定若参数方程xytytx= = ;)()(ttdtdxdtdydxdy=.)()()()()(322tttttdxyd = =(6) 参变量函数的求导法则(6) 参变量函数的求导法则机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束

9、注意：注意：1、熟记求导公式； 2、复合函数求导要熟练掌握； 3、求分段函数在分段点处得到是要用定义。1、熟记求导公式； 2、复合函数求导要熟练掌握； 3、求分段函数在分段点处得到是要用定义。94、高阶导数4、高阶导数,)()(lim)(0xxfxxfxfx + + = = 二阶导数二阶导数记作阶导数的阶导数的导数称为函数的函数一般地记作阶导数的阶导数的导数称为函数的函数一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下

10、页 返回 结束莱布尼兹公式.莱布尼兹公式.)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu= =+ =+ +=+=?10常用的 高阶导数公式常用的 高阶导数公式nnxnx + + = = )1()1()()4()(?nnnxnx)!1()1()(ln1)( = = )2sin()(sin)2()( +=+=nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( +=+=nkxkkxnn)0(ln)()1()( = =aaaanxnxxnxee= =)()(1)(!)1()1()5(+ += =nnnx

11、nx机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束!)()(nxnn= =1)()1(!)1()11(+ +=nnnxnx1)()1(!)11(+ +=nnxnx11.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx=+=+=+=+= + += =即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有

12、定义设函数5、微分的定义、微分的定义定义定义.的线性主部叫做函数增量微分的线性主部叫做函数增量微分ydy (微分的实质)(微分的实质)机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束126、导数与微分的关系6、导数与微分的关系. )(,)()(000xfAxxfxxf=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理定理7、 微分的求法7、 微分的求法dxxfdy)( = =求法：求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分.计算函数的导数，乘以自变量的微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束13函数和、差、

13、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud=+=+= = =8、 微分的基本法则8、 微分的基本法则微分形式的不变性微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyx= =dxxfdy)( = =机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束14基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cots

14、ec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221= dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(+ += =+ +=arc机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束159、导数和微分的求法9、导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则1. 正确使用导数及微分公式和法则2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注意讨论2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注

15、意讨论分界点分界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法对数微分法(3) 参数方程求导法极坐标方程求导(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)对数微分法(3) 参数方程求导法极坐标方程求导(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)转化转化(5) 高阶导数的求法(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳 ;间接求导法; 利用莱布尼兹公式.逐次求导归纳 ;间接求导法; 利用莱布尼兹公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束16第三章内容小结：第三章内容小结：机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下

16、页 返回 结束罗尔罗尔(Rolle)中值定理：中值定理： 若若)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内可导，内可导，且且)()(bfaf= =，则在，则在),(ba内至少存在一点内至少存在一点)(ba ，使得：，使得：0)(= = f 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理：中值定理： 若若)(xf在在,ba上连续， 在上连续， 在),(ba内可导， 则在内可导， 则在),(ba内至少存在一点内至少存在一点)(ba ，使得：，使得：abafbff =)()()( 一、微分中值定理： 一、微分中值定理： 17柯西柯西(Cauchy)中值定理： 中值定理： 设 设)(xf和和)(x

17、g在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内可导，内可导，且且)(xg 在在),(ba内每一点处均不为零，则在内每一点处均不为零，则在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使得：，使得：)()()()()()( gfagbgafbf = 。 。 二、洛比达法则：二、洛比达法则：注意应用的条件注意应用的条件18机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(!)()(!2)()()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+ +=+=?)()()!1()()(010)1(之间与在其中之间与在其中xxxxnfxRnnn+ + +=+=

18、)()(0nnxxoxR = =或或三、泰勒公式：三、泰勒公式：19)0()(!)0(! 2)0()0()0()()(2+ +=+=xxoxnfxfxffxfnnn?) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2+ +=+=+nnnnxnxfxnfxfxffxf?麦克劳林(Maclaurin)公式麦克劳林(Maclaurin)公式带拉格朗日余项的麦克劳林公式带拉格朗日余项的麦克劳林公式带佩亚诺余项的麦克劳林公式带佩亚诺余项的麦克劳林公式机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束20常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)(!1! 211

19、2nnxxoxnxxe+=+=? )()!12()1(! 5! 3sin212153nnnxonxxxxx+=+= ? )()!2()1(! 6! 4! 21cos122642+ +=+=nnnxonxxxxx? )()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx+=+=+ ? )(1112nnxoxxxx+=+= ? )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx+ +=+=+? 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束时当时当0x21.)(0)()(0)(单调减少，则若单调增加；，则若单调减少，则若单调增加；，则若xfyxfxfyx

20、f=1 函数单调性的判定法：四、导数的应用1 函数单调性的判定法：四、导数的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束(1) 若若),(00xxx 时，时，0)( xf；),(00 + + xxx时, 时, 0)( xf，则，则)(xf在在0x处取得极大值. (2) 若处取得极大值. (2) 若),(00xxx 时，时，0)( xf；则；则)(xf在在0x处取得极小值. (3) 若当处取得极小值. (3) 若当),(00xxx 及及),(00 + + xxx时, 时, )(xf 的符号相同，则的符号相同，则)(xf在在0x处无极值. 处无极值. 定理1 (第一充分

21、条件)：2 函数极值的判定法定理1 (第一充分条件)：2 函数极值的判定法22设设)(xf在在0x处具有二阶导数,且处具有二阶导数,且0)(0= = xf, ,0)(0 xf, 则 (1) 当, 则 (1) 当0)(0 xf时, 函数时, 函数)(xf在在0x处取得极小值。处取得极小值。定理2(第二充分条件)定理2(第二充分条件)机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束3 求极值的步骤:3 求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数及不可导点。的根求驻点，即方程及不可导点。的根求驻点，即方程;0)()2(= = xf;,)()()3(判断极值点在该点的符号或的正负

22、号在驻点及不可导点左右检查判断极值点在该点的符号或的正负号在驻点及不可导点左右检查xfxf .)4(求极值求极值23求最值的步骤:求最值的步骤:（1）求驻点和不可导点;（1）求驻点和不可导点;（2）求区间端点及驻点和不可导点的函数值， 比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。（2）求区间端点及驻点和不可导点的函数值， 比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。4 最大值、最小值问题4 最大值、最小值问题机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束实际问题求最值:实际问题求最值:（1）建立目标函数;（2）求最值;（1）建立目标函数;（2）求最值;最小值）即为所求

23、的最大值（或点，则该点的数值若目标函数只有唯一驻最小值）即为所求的最大值（或点，则该点的数值若目标函数只有唯一驻注意:注意:24;,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在内具有二阶导数在上连续在设上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在内具有二阶导数在上连续在设baxfxfbaxfxfbababaxf 5 曲线的凹凸与拐点5 曲线的凹凸与拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束（1）凹凸性的定义、拐点的定义：（1）凹凸性的定义、拐点的定义：（2）凹凸性的判别：（2）凹凸性的判别：（3）求拐点的步骤

24、：（3）求拐点的步骤：（1）求出（1）求出0)(= = xf的所有零点； （2）求出的所有零点； （2）求出)(xf 不存在的点（但不存在的点（但)(xf在此点有定义） ；（3）考查在此点有定义） ；（3）考查)(xf在这些点左右的凹凸性。在这些点左右的凹凸性。 25.)1(232yyk+ = =6 曲率：6 曲率：曲率曲率机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束7 渐近线：7 渐近线：(1)水平渐近线：(1)水平渐近线：.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线就是那么为常数或如果的一条水平渐近线就是那么为常数或如果xfybybbxfbxfxx= = =+（2

25、）斜渐近线（2）斜渐近线,)(limaxxfx= =.)(limbaxxfx= = .)(的一条斜渐近线就是曲线那么的一条斜渐近线就是曲线那么xfybaxy= =+ += =曲率半径曲率半径,1k= = 26确定函数确定函数)(xfy = =的定义域，间断点。对函数进的定义域，间断点。对函数进行行奇偶性、周期性等性态的讨论； 奇偶性、周期性等性态的讨论； 8、函数作图的步骤8、函数作图的步骤第一步第一步第二步第二步求出求出0)(= = xf的点和的点和)(xf 不存在的点，即求出不存在的点，即求出)(xf的所有可能的极值点； 的所有可能的极值点； 第三步第三步求出求出0)(= = xf的点和的

26、点和)(xf 不存在的点，即求出不存在的点，即求出)(xf的所有可能的拐点； 的所有可能的拐点； 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束第四步第四步列表， 判断单调区间， 凹凸区间， 极值点， 拐点等；列表， 判断单调区间， 凹凸区间， 极值点， 拐点等；第五步第五步求曲线的渐近线；求曲线的渐近线；第七步第七步第六步第六步必要时，定出曲线的某些特殊点，如截距等；必要时，定出曲线的某些特殊点，如截距等； 作图。作图。27机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束1 利用单调性、极值、最值；利用单调性、极值、最值； 2 利用拉格朗日中值定理；

27、利用拉格朗日中值定理； 3 利用泰勒公式（带拉格朗日余项） ；利用泰勒公式（带拉格朗日余项） ；4 利用函数凹凸性的定义。利用函数凹凸性的定义。 9 证明不等式常用的方法：证明不等式常用的方法：28机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束第四章内容小结第四章内容小结1、不定积分的概念：1、不定积分的概念：;)()(CxFdxxf+=+= 2、不定积分的计算：2、不定积分的计算：第一换元法（凑微分法）；第二换元法（变量替换法）；分部积分法。第一换元法（凑微分法）；第二换元法（变量替换法）；分部积分法。29;11;)(11+ + +=+=+=nndxndxxbaxdad

28、x常用的凑微分公式：常用的凑微分公式：xdxdxxdxdxcossin;sincos = = =)1(1;21);(ln12xddxxxddxxxddxx=;tansec2xdxdx = =xdxdxcotcsc2 = =xddxxxddxxarcsin11;arctan1122= = = =+ +xxdedxe= =);1(112xxddxx= +30)()1(是常数是常数 +=+=kCkxkdx);1(1)2(1+=+=+ + Cxdxx,12 +=+=Cxxdx,2 +=+=Cxxdx特别地特别地机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束基本积分表基本积分表;|

29、ln)3( +=+=Cxxdx = =xdxcos)4(;sinCx + + = =xdxsin)5(;cosCx + + 31= dxx211)7(;arcsinCx + +=+=+ dxx211)6(;arctanCx + += = xdx2cos)8( = =xdx2sec;tanCx + += = xdx2sin)9( = =xdx2csc;cotCx + + 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束= = dxex)10(;Cex+ += = dxax)11(;lnCaax+ + = =dxshx)12(;Cxch+ + = =chxdx)13(;Cshx

30、 + +32;|tansec|lnsec)14( +=+=Cxxxdx;|cotcsc|lncsc)15( +=+=Cxxxdx机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束.|ln1)16(2222Caxxdxax+=+= 33第五章内容小结第五章内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束1、定积分的概念：1、定积分的概念：,max,)(lim)(1110iiiininiiibaxxxxfdxxf= = 2、定积分的几何意义：2、定积分的几何意义：曲边梯形的面积。曲边梯形的面积。3、性质：3、性质： 线性性质；区间可加性；不等式的性质；

31、估值定理；积分中值定理线性性质；区间可加性；不等式的性质；估值定理；积分中值定理344、 Newton-Leibniz 公式：4、 Newton-Leibniz 公式：的原函数，则是的原函数，则是)()(xfxF5、 变上限积分：5、 变上限积分：,)()( =xadttfx)()()()(aFbFxFdxxfbaba= )()(xfx = = 则若则若,)()()()( =xgxhdttfx推广：推广：).()()()()(xhxhfxgxgfx = =356、定积分计算法：6、定积分计算法：换元法与分部积分法；换元法与分部积分法；注意：一些特殊积分：注意：一些特殊积分：;)()()()(0

32、0 =+=+TnTdxxfndxxfxfTxf被积函数带绝对值或被积函数是分段函数时 定积分的计算积分。；奇函数偶函数=被积函数带绝对值或被积函数是分段函数时 定积分的计算积分。；奇函数偶函数= )(, 0)(,)(2)(0xfxfdxxfdxxfaaa36(1) 平面图形的面积(1) 平面图形的面积(2) 体积： 旋转体的体积(切片法和柱壳法)； 已知平行截面的面积求立体的体积。(3) 平面曲线的弧长(4) 变力所作的功(5) 水的侧压力(6) 引力(2) 体积： 旋转体的体积(切片法和柱壳法)； 已知平行截面的面积求立体的体积。(3) 平面曲线的弧长(4) 变力所作的功(5) 水的侧压力(

33、6) 引力7、定积分应用7、定积分应用机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束37定积分应用的常用公式定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积(1) 平面图形的面积xyo)(xfy = = = =badxxfA)(xyo)(1xfy = =)(2xfy = = =badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束 结束38如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程= =)()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 =21)()(ttdtttA（其中（其中1t和和2t对应曲线起点与

34、终点的参数值） 对应曲线起点与终点的参数值） 在在1t, ,2t（或（或2t, ,1t）上）上)(tx = =具有连续导数，具有连续导数，)(ty = =连续. 连续. 参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束39 = =dA2)(21xo d )( = =r xo)(2 = =r)(1 = =r =dA)()(212122极坐标情形极坐标情形机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束40(2) 旋转体的体积(2) 旋转体的体积xdxx + +xyodxxfVba2)( = = dyyVdc2)( =

35、 =xyo)(yx = =cd机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束41xo = =badxxAV)(xdxx + +ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束42aby =f (x)yx0求旋转体体积 求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕y 轴旋转轴旋转xdx机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2=2=baxxxfVd)(43(3) 平面曲线的弧长(3) 平面曲线的

36、弧长xoyabxdxx + + dy弧长弧长dxysba +=+=21A曲线弧为A曲线弧为= =)()(tytx )( t其中其中)(),(tt在在, 上具有连续导数 上具有连续导数 弧长弧长dttts +=+= )()(22)(xfy = =B曲线弧为B曲线弧为机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束C曲线弧为C曲线弧为)( )( rr = =弧长弧长 drrs +=+=)()(2244dxxfdyyg)()(= =形如形如(1) 可分离变量的微分方程(1) 可分离变量的微分方程解法解法 = =dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法1、一阶微分方程的解法1、

37、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy=形如=形如(2) 齐次方程(2) 齐次方程解法解法xyu = =作变量代换作变量代换机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束第六章内容小结第六章内容小结4511111, )(bbaacybxacbyaxfdxdy+ + +=其中形如=其中形如为齐次方程为齐次方程,01时当= 时当= = cc，令，令00,yYyxXx= = =否则为非齐次方程(3) 可化为齐次的方程否则为非齐次方程(3) 可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程的根。是方程其中的根。是方程其中 =+=+= =+ + +001110,0cybxacbyax

38、yx机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束(4) 形如 形如 )(cbyaxfdxdy+= += cba,是常数。是常数。 解法 解法 令令cbyaxu+ + += =46非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 + + = = dxxPdxxPeCdxexQy)()()()()(xQyxPdxdy=+形如=+形如(5) 一阶线性微分方程(5) 一阶线性微分方程, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为非齐次的.上方程称为齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( = = dxxPCey解法解法机动 目录 上页 下

39、页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束47解法解法,1 = = yz令令. )1)()()1()()1(1 +=+= CdxexQezydxxPdxxP (6) 伯努利(6) 伯努利(Bernoulli)方程方程 yxQyxPdxdy)()(=+形如=+形如方程为线性微分方程.方程为线性微分方程.时，当时，当1 , 0= = 方程为非线性微分方程.方程为非线性微分方程.时，当时，当1 , 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束482、可降阶的高阶微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法),(xPy= = 令令特点特点. y不显含未知函数不

40、显含未知函数),()2(yxfy = = 型型)()1()(xfyn= =接连积分接连积分n次，得通解型次，得通解型解法解法代入原方程, 得代入原方程, 得).(,(xPxfP= = ,Py = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束),(yPy= = 令令特点特点. x不显含自变量不显含自变量),()3(yyfy = = 型型解法解法代入原方程, 得代入原方程, 得).,(PyfdydpP= =,dydpPy = = 493、二阶常系数齐次线性方程解法3、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn= =+ + + + ?形如形如n

41、 阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0= =+ + qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy= =+ + 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束500= =+ + + + qyypy 特征根的情况 特征根的情况 通解的表达式 通解的表达式 实根 实根 21rr 实根 实根 21rr = = 复根复根 ir = =2, 1xrxreCeCy

42、2121+=+= xrexCCy2)(21+=+= )sincos(21xCxCeyx +=+= 特征方程为特征方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束02= =+ + +qprr5101)1(1)(= =+ + + + + + yPyPyPynnnn?特征方程为特征方程为0111= =+ + + + + nnnnPrPrPr?特征方程的根通解中的对应项特征方程的根通解中的对应项rk重根若是 重根若是rxkkexCxCC)(1110 + + + +?ik复根重共轭若是复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110 +?

43、推广推广：n 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束524、二阶常系数非齐次线性微分方程解法4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy= =+ 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xPexfmx = =解法 解法 待定系数法.待定系数法., )(xQexymxk =设=设=是重根是单根不是根=是重根是单根不是根 2,10k机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束53型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx +=+=,sin)(co

44、s)()2()1(xxRxxRexymmxk + +=设=设次多项式，是其中次多项式，是其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max= = = =.1;0是特征方程的单根时不是特征方程的根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时 iik机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束54形如 形如 )(222xfqydxdypxdxydx=+ 的方程称为欧拉方程，其中=+ 的方程称为欧拉方程，其中qp,是常数。是常数。 作变量变换作变量变换,ln xtext= = =或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy=,122222 =dtdydtydxdxyd则则5、欧

45、拉方程5、欧拉方程机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束代入原方程得代入原方程得)()1(22tefqydtdypdtyd=+=+6、一阶线性微分方程组：6、一阶线性微分方程组：消元法；消元法；55(1)(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1) 根据几何关系列方程；2) 根据物理规律列方程；3) 利用微元法列方程；找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1) 根据几何关系列方程；2) 根据物理规律列方程；3) 利用微元法列方程；7、解微分方程应用题的方法和步骤、解微分方程应用题的方法和步骤机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束（1） 比例关系；（2）牛顿第二定律；（1） 比例关系；（2）牛顿第二定律；56确定定解条件 ( 个性 )确定定解条件 ( 个性 )初始条件边界条件可能还要衔接条件初始条件边界条件可能还要衔接条件(4) 分析解所包含的实际意义(4) 分析解所包含的实际意义机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 57