初三寒假收心手册-代数几何知识点

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1、代数代数2. 实数比较大小实数比较大小（1）数轴法：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大（2）做差法：设a、b是两实数（3）做商法：设a、b(b 0)是两正实数a b 0 a b 0 a b 1 a ba 1 a b 0 a bb1 a b（4）绝对值法：设a、b是两负实数a b a b（5）平方法：设a、b是两负实数a2b2ab3. 不等式与不等式组不等式与不等式组（1）含参不等式的参数与整数解的个数：（2）含参不等式组的解集与参数取值解不等式求x取值范围将参数视为常数求出不等式解集依据整数解个数求得参数范围根据数轴或不等式解集确定参数取值范围；检验端点处能否取“=”口诀： “同大取大

2、，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”中招君4. 幂的运算（幂的运算（m、n 均为整数）均为整数）（1）amanamn（2）(am)namn（3）(ab)mambm（4）amanamn(a0 )（5）a01(a0)（6）ap1(a0)ap5. 整式乘法公式（字母可表示数、单项式、多项式）整式乘法公式（字母可表示数、单项式、多项式）（1）完全平方公式：a22abb2(ab)2公式变式：a2b2(ab)2m2ab2ab(ab)2(a2b2)a2b2(ab)24ab(ab)2(ab)2(2x3y)24x212xy9y2(abc)2a2b2c22ab2bc2ac（2）平方差公式：a2b2(ab)(

3、ab)公式变式：(ba)(ba)a2b2(ab)(ab)a2b2(2x3y)(2x3y)4x29y2(m3n2)(m3n2)m6n4(abc)(abc)a2(bc)26. 因式分解因式分解（1）提取公因式法：ab ac a(b c)（2）运用公式法：a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a2b2(ab)(ab)（3）十字相乘法：x2(pq)xpq(xp)(xq)（4）分组分解法：acadbcbd a(c d ) b(c d ) (a b)(c d )7. 分式运算及方程分式运算及方程（1）分式的运算法则acacbdbdacadadbdbcbc(a)na（n 为整数）nbbnaba b

4、cccabadbccdcd（2）分式方程的增根定义：使分式方程化为整式方程后的等式成立但原分式方程最简分母为 0 的未知数的值应用：含参分式方程的参数常通过增根的值予以确定注意：所得分式方程的根需检验是否为增根中招君10. 一次函数的图象与变换一次函数的图象与变换（1）一次函数的图象（2）一次函数的图象的变换（ m 0,n 0 ）8. 二次根式二次根式（1）性质a2 a(a 0)a2 a a(a 0)a(a 0)abab(a0，b0)abba(a 0，b 0)（2）a双重非负性a 0 a 0，应用：a33a有意义：a30,3a0,即：a3a13b(2c)20a1,b 3, c2y kx b向左

5、平移m个单位y k(x m) b向右平移m个单位y k(x m) b向上平移n个单位y kx b n向下平移n个单位y kx b n关于x轴对称y kx b关于 y 轴对称y kx b关于原点对称y kx b9. 一元一次方程与一次函数一元一次方程与一次函数（1）一元一次方程与一次函数的关系：一元一次方程kxb（0 k0），解为：x bk一次函数y kx（b k 0），其图象与x轴的交点的横坐标为一元一次方程的根（2）二元一次方程组与一次函数图象交点的关系：二元一次方程组 y kx b(k 0,m 0)，解为：x py mx ny q一次函数y kx（b k 0）与ymxn(m0)两图象的交点

6、坐标为(p,q)中招君11. 坐标系中的坐标及线段长坐标系中的坐标及线段长（1）中点坐标公式（2）线段长度公式点 M 是线段 AB 的中点12. 含参方程的类型及根含参方程的类型及根关于x的方程ax2 bx c 0（1）当a 0,b 0 ，为一元一次方程，有且只有一个根（2）当a 0，为一元二次方程，根的个数由判别式确定 0,有两个不等实根=0,有两个相等实根 0,没有实根13. 二次函数二次函数（1）一般式y ax2 bx c(a 0)（2）不同解析式下的二要素中招君14. 反比例函数反比例函数（1）反比例函数的性质（2）图象与直线y mx n的交点问题a)方程k=mx n的解为x x ;

7、x xx12b)不等式k mx n的解集为x x 0或x xx12c)不等式k mx n的解集为x x 或0 x xx12中招君15. 反比例函数中的面积问题模型反比例函数中的面积问题模型S矩A PBO矩A P B O矩A P B O S S k1 112 223 33S SA1P1O矩A2P2O矩A3P3O Sk2点A、点B分别与点C、点D关于原点对称四边形ABCD为平行四边形S四边形ABCD4SAOBSAOCSBODSAOBS四边形aACDBSAOC SBODSCOP SDOP中招君几何1. 三角形的边与角三角形的边与角2. 角平分线中的辅助线角平分线中的辅助线中招君3. 直线、定点问题直

8、线、定点问题（1）一定直线与两定点（2）角两边与点（3）两定点一定长中招君4. 截长补短截长补短5. 对称模型对称模型模型等边等腰 RT任意等腰图形特点+结论特点：特点：两公共顶点的等腰结论：结论：OAC OBD；AEB =AOB；OE 平分AED核心图形：核心图形：OA=OB；OC=OD；AOB=COD结论证明例证图形 11正三角形OAB、OCDOA OB故由AOC BOD得OAC OBD；OC OD由OAC OBD 得1 2AEB 180 2EAC OBA180 1EAC OBA 60=AOB；由OAC OBD 得3 4四边形OCED为圆内接四边形，由等弦OC OD得OEA OED，故 O

9、E 平分AED（图形 2、3 证法相似，此处略，请自行证明）中招君6. 三垂直全等模型三垂直全等模型7. 相似模型相似模型（1）A 字模型字模型（2）8 字模型字模型模型分析如图，在相似三角形的判定中，我们通常作平行线，从而得到 A 型或 8 字型，在做题时，也该常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形图示已知DE BCAED=BDAB CAEE C结论ADEABCAEDABCADEABC图示已知AB CDA C结论ABODCOAOBCOD中招君（3）一线三等角模型）一线三等角模型图示已知ABC ACE CDE结论ABCCDE（4）与与圆圆有有关关的的简简单单相相似似图示结论ACPDBPABD

10、AECBADBCA中招君(5) 相似与旋转相似与旋转图示已知DE BC,ADE旋转一定角度结论ABDACE模型分析 DEBCADAEABAC DAE BAC BAD CAE ABDACE该模型常出现在压轴题中，以直角三角形为出题背景，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等8. 构造等腰三角形构造等腰三角形图形方法中垂线构造等腰平行线加角平分线圆构造等腰9. 构造直角三角形构造直角三角形图形方法圆周角构造直角垂径定理构造直角中招君10. 共端点、等线段模型共端点、等线段模型图示图 1图 2图 3模型分析如图 1，出现共端点，等线段时，可利用圆定义构造辅助圆如图 2

11、，若OA OB OC,则A、B、C三点在以O为圆心，OA半径圆上如图 3，常见结论有：ACB 1AOB,BAC=1BOC22最值问题典型例题最值问题典型例题1如图：点 P 是AOB 内一定点，点 M、N 分别在边 OA、OB 上运动，若AOB=45，OP=3 2，则 PMN 的周长的最小值为 中招君2【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D连接OC，OD则当M，N是CD与OA，OB的交点时，PMN的周长最短，最短的值是CD的长根据对称的性质可以证得：COD是等腰直角三角形，据此即可求解【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D连接OC，OD则当M，N是CD与OA，OB的交点时，PMN的周长最

12、短，最短的值是CD的长PC关于OA对称，COP=2AOP，OC=OP同理，DOP=2BOP，OP=ODCOD=COP+DOP=2（AOP+BOP）=2AOB=90，OC=ODCOD是等腰直角三角形则CD=2OC=232=6【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解PMN 周长最小的条件是解题的关键2如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a= 【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了问题就是PA+NB什么时候最短把B点向左平移 2 个单位到B点；作B关于x轴的对称点B，连接AB，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短设直线AB的解析式为y=kx

13、+b，待定系数法求直线解析式即可求得a的值【解答】解：将N点向左平移 2 单位与P重合，点B向左平移 2 单位到B（2，1） ，作B关于x轴的对称点B，根据作法知点B（2，1） ，设直线AB的解析式为y=kx+b，则123kbkb ，解得k=4，b=7中招君y=4x7当y=0 时，x=74，即P（74，0） ，a=74故答案填：74【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识3如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PAPB|的最大值为【分析】作点 B 于直线 l 的对称点 B，则 PB=PB因而|PAPB|

14、=|PAPB|，则当 A，B、P 在一条直线上时，|PAPB|的值最大根据平行线分线段定理即可求得 PN 和 PM 的值然后根据勾股定理求得 PA、PB的值，进而求得|PAPB|的最大值【解答】解：作点 B 于直线 l 的对称点 B，连 AB并延长交直线 l 于 PBN=BN=1，过 D 点作 BDAM，利用勾股定理求出 AB=5|PAPB|的最大值=5【题后思考】本题考查了作图轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键4、二次函数 y2x24x+5 的最大值是 【答案】【答案】7【解析】【解析】y2x24x+52（x+1）2+7，即二次函数 yx24x+5 的最大值是

15、7，故答案为：75、某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种士特产每袋成本 10 元试销阶段每袋的销售价 x（元）与该士特产的日销售量 y（袋）之间的关系如表：中招君x（元）152030y（袋）252010若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元【答案】见解析。【解析】【答案】见解析。【解析】根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销

16、售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可；利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为ykx+b得25152020kbkb，解得140kb 故日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为：yx+40（2）依题意，设利润为 w 元，得w（x10） （x+40）x2+50x+400整理得 w（x25）2+22510当 x2 时，w 取得最大值，最大值为 225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销售的最大利润是 225 元6、二次函数y (x 6)28的最大值是 【答案】【答案】8【解析】【解析】a10，y 有最大值，当 x6 时，y 有最大值 8故答案为 87、已知抛物线y ax2 4ax 4a 1(a 0)过点A(m,3)，B(n,3)两点，若线段AB的长不 大于4，则代数式a2 a 1的最小值是 【答案】【答案】74【解析】【解析】Q抛物线y ax2 4ax 4a 1(a 0)过点A(m,3)，B(n,3)两点，中招君中招君