弹塑性力学2应变分析课件

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1、第二章应变分析第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系第二节 应变状态分析第三节 主应变第四节 应变张量和应变偏量第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）1第一节一点的应变状态 应变与位移的关系3定义：定义：正应变正应变（21）变形均匀，则有变形均匀，则有: :即：即：材料力学的拉伸应变材料力学的拉伸应变。（22）45 设设A点的位移是点的位移是 u，w，它们是坐标的函数，因此有：，它们是坐标的函数，因此有： （23） 而B点的坐标为（x+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为： 6根据根据泰勒级数展开式泰勒级数展开式，可得：，可得： 略去略去高阶项高阶项后得到：后得到：（24） 由于由

2、于 则则AB在在x轴上的投影的伸长量为轴上的投影的伸长量为 ，则有：则有： 同理可得平行于 y 轴和 z 的边长的正应变，因此有：（25） 当当 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。8下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。8 取变形前的直角取变形前的直角BAC或或 ，变形时，棱边，变形时，棱边 转动转动一个角度一个角度 ，棱边，棱边 转动一个角度转动一个角度 ，在，在xoz平面内，角平面内，角应变用应变用 表示，其值为表示，其值为 和和 之和，即：之和，即： （26） 若若A点在点在z 轴方向的位移为轴方向的位移为 ， 9则则B点在点在Z 轴方向的位移

3、为轴方向的位移为 ， B点与点与A点点沿沿Z 轴方向的位移之差为轴方向的位移之差为: : 在直角三角形在直角三角形 中，可得：中，可得： 在在分分母母中中 （ ）与与1相相比比是是一一个个微微量量，故故可可以以略略去去，因因而而得出，得出， 10同理可得：同理可得： 所以有剪应变：所以有剪应变： 同同理理可可得得另另外外两两个个剪剪应应变变 。即即有有剪剪应应变变的的表表达达式（式（27） （27） 说明：剪应变的正负号说明：剪应变的正负号11所以，正应变和剪应变为：所以，正应变和剪应变为：（28） 式式（28）称称为为柯柯西西（Cauchy）几几何何关关系系。式式(28)的的提提出出者者：法

4、法国国工工业业学学院院的的数数学学教教授授柯柯西西（Cauchy）(17891857)，于，于1822年发表的论文提出的年发表的论文提出的可知：如果可知：如果已知位移分已知位移分量可以很简量可以很简单的求出应单的求出应变分量；反变分量；反之，则问题之，则问题比较复杂。比较复杂。第二节应变状态分析12微微小小线线段段PNdr的的正正应应变变，以以及及经经过过P点的微小线段点的微小线段PN和和 的的夹角的改变夹角的改变。 令令PN的方向余弦为的方向余弦为l、m、n，则，则PN在坐标轴上的投影为：在坐标轴上的投影为： 13（213） 设设P点的位移分量为点的位移分量为u，v，w，则，则N点的位移分量

5、为：点的位移分量为：同理可得同理可得 ：即有式（即有式（214）14在变形后，线段在变形后，线段PN在坐标轴上的投影为（在坐标轴上的投影为（215）式：即）式：即 （215） 15 令线段令线段PN的正应变为的正应变为 ，则该线段变形后的长度为：，则该线段变形后的长度为： 而且有而且有 （216） 上式两边同除以上式两边同除以 ，并利用，并利用（213）式得：式得： 16 因因为为 和和位位移移分分量量的的导导数数都都是是微微小小的的，它它们们的的平平方方和和乘乘积可以不计，可得：积可以不计，可得： 利用利用 ，上式可得：，上式可得： 再利用几何方程可得：再利用几何方程可得： （217） 17

6、下面来求下面来求PN和和 的的夹角的改变夹角的改变 设设PN在在变变形形后后的的方方向向余余弦弦为为 ，则则由由式式（213）和式（和式（215）可以得到：）可以得到： 注注意意到到 ， 都都是是微微小小量量，在在展展开开上上式式后后，略略去去二阶以上的微小量得：二阶以上的微小量得： 18同理可得出同理可得出 ，即得出式（，即得出式（218） 与与 此此 类类 似，设线段似，设线段 在在 变形变形 之之 前前 的的 方方 向向 余余 弦弦 为，为， 则其在变形后的方向余弦为：则其在变形后的方向余弦为：19（220） 其中，其中， 是是 的正应变。的正应变。 令令PN和和 在变形之前的夹角为在变

7、形之前的夹角为 ，变形之后的夹角为，变形之后的夹角为 ，则有：则有： 20将式（将式（218）和（）和（219）代入，并略去高阶微量可得：）代入，并略去高阶微量可得： 利用几何方程，并注意到利用几何方程，并注意到 ，则有：，则有： （221） 由此可求出由此可求出 ，进而可求得，进而可求得 。 第三节主应变21 一点的应变状态也可以用张量表示，这时引进符号 22（222）则应变张量为：则应变张量为： （223） 通常通常称为称为“工程剪应变工程剪应变”2324下面分析如何确定下面分析如何确定主应变主应变： 图图2-825进一步可写成进一步可写成图图2-926B点的三部分位移点的三部分位移 一般

8、来说，对于可变形固体而言，与物体内任一点A无限临近的一点B的位移有三个部分组成：1、随同A点的一个平动位移，如图中的 所示；2、绕A点的刚性转动在B点所产生的位移，如图中的 所示；3、由于A点临近微元体的形状变化在B点引起的位移，如图 所示，这部分位移与应变张量分量有关。27当考虑纯变形时有：当考虑纯变形时有： 其中，其中，j 称为称为“哑标哑标”（表示求和）（表示求和）。 28并且并且 一定为要求的主应变。一定为要求的主应变。 （成比例是因为（成比例是因为 与与 方向一致）方向一致）29若上式有非零解，必须有若上式有非零解，必须有“系数行列式为零系数行列式为零”，可得：，可得： （227）其

9、中，其中， 为应变第一、二、三不变量，且有：为应变第一、二、三不变量，且有： （228） 30若方程式（若方程式（227）可以因式分解，则应有：）可以因式分解，则应有： 式中，式中， 为主应变。为主应变。用主应变表示的应变不变量将为：用主应变表示的应变不变量将为： 在主应变平面上，剪应变为零。在主应变平面上，剪应变为零。则由方程（则由方程（227）可以求出三个主应变。）可以求出三个主应变。 31例：已知物体中任意一点的位移分量如下式表示，试比较点A（1，2，3）与点B（0.5，-1，0）的最大伸长值（绝对值）。 解：利用几何方程求得应变分量为：32点A 的应变分量值为：应变不变量为：该点的主应

10、变值可由下式确定，即为计算方便，令 代入上式，得33以 代入上式，消去二项式，得此方程的解为：由此得A点的主应变为：故点A的最大伸长的绝对值为 可以用获可以用获得的三个主得的三个主应变之和是应变之和是否等于第一否等于第一应变不变量应变不变量的值，检验的值，检验所得结果是所得结果是否正确。否正确。34 用同样的方法可以求得点B的主应变为：故点B的最大伸长的绝对值为 由以上计算可知，点A最大伸长值大于点B 的最大伸长的绝对值。35例：已知物体中某点的应变分量为：试求该点的主应变方向。解：首先计算应变不变量，并解三次方程，求得主应变值为为求解主应变方向，利用下列方程组：36将 代入上式，第一式自然满

11、足，其余两个方程式为以上两式的唯一解为 。为满足 ，则有 。即 的方向余弦为（1，0，0）。37将 代入方程组，得 由第一式得 。由二、三式可得 。再由 得 ，由该式求得 ，而 。即 的方向余弦为（0，0.585，0.811）。同样可求得 的方向余弦为（0，-0.811，0.585，）第四节 应变张量和应变偏量 仿照应力张量分解，应变张量可以分解为与体积变化有关的“球形应变张量”和与物体形状变化有关的“应变偏量”。利用书中（214）式可以分解为： 38其中球形应变张量为：其中球形应变张量为： （230） 一、应变张量的分解一、应变张量的分解39应变偏量应变偏量 可写为：可写为： 式中，式中，

12、为平均正应变。为平均正应变。 其其中中， ， ， 称称为为“应应变偏量分量变偏量分量”。可写为：。可写为： 40（232）41若用主应变表示应变偏量，则有式（若用主应变表示应变偏量，则有式（233）（233） 三个坐标平面三个坐标平面为应变主平面为应变主平面在主应变为坐标的应变空间中有：在主应变为坐标的应变空间中有： 由由应应变变偏偏量量张张量量的的定定义义式式（书书2-23）可可见见，它它是是一一个个实实对对称称二二阶阶张张量量，因因此此，存存在在三三个个主主值值及及其其相相应应的的主主方方向向。可可以以证证明明，应应变变偏偏量量张张量量的的主主方方向向与与应应变变张张量量的的主主方方向向一

13、一致致，而而且且它它的的主主值值e1，e2，e3与与应应变变张张量量的的主主应变存在如左的关系。应变存在如左的关系。42同样，应变偏量张量也存在三个不变量，它们分别表示为：当用张量给出一点的应变状态时，需注意43其三次方程为：二、体积应变二、体积应变 在在考考虑虑塑塑性性变变形形时时，经经常常采采用用“体体积积不不变变”假假设设，这这时时球球形形应应变变张张量量为为零零，应应变变偏偏量量等等于于应应变变张张量量，即即“应应变变分分量量与应变偏量的分量相等与应变偏量的分量相等”，这一假设，简化了计算。，这一假设，简化了计算。 现在我们来研究每单位体积的体积改变，即现在我们来研究每单位体积的体积改

14、变，即体积应变体积应变。 44 设有微小的正平行六面体，它的设有微小的正平行六面体，它的棱边长度棱边长度是：是： 变形前变形前它的体积为：它的体积为： 变形后变形后它的体积称为：它的体积称为： 因此，它的因此，它的体积应变体积应变为：为： 对于对于小应变（忽略高阶微量）小应变（忽略高阶微量）有：有： 45（234） 由此则有：由此则有： 显显然然，若若体体积积不不变变，则则必必有有球球形形应应变变张张量量为为零零成成立立，且且有有 。在主应变空间在主应变空间： 对于对于小应变小应变有：有： 1 1、主剪应变（工程主剪应变）、主剪应变（工程主剪应变） （235）三、相关结论三、相关结论 与应力分

15、析类似。在应变分析中也有一些相应的公式，下与应力分析类似。在应变分析中也有一些相应的公式，下面给出有关结论：面给出有关结论：如果如果 ，则，则最大剪应变最大剪应变为：为：（236） 47（1 1）等倾面等倾面（或称八面体面）的（或称八面体面）的剪应变剪应变为为 ，则有：，则有： （237）2、八面体应变（正应变、剪应变） 对任意一组坐标轴对任意一组坐标轴x，y，z的应变分量的八面体剪应变可写为：的应变分量的八面体剪应变可写为：48 在以主应变在以主应变 为坐标轴的为坐标轴的主应变空间主应变空间内讨论。内讨论。3 3、应变强度（等效应变）、应变强度（等效应变） （239）当体积不可压缩时，令当体

16、积不可压缩时，令 ， 称为称为应变强度应变强度或或等效应变等效应变。 这这里里之之所所以以不不称称 为为应应变变强强度度，而而又又引引进进符符号号 ，是是因因为要与应力分析中的情况相一致。为要与应力分析中的情况相一致。 （2 2）等倾面等倾面（或称八面体面）的（或称八面体面）的正应变正应变为为 ，则有：，则有： （三个主应变的平均值）494 4、应变率、应变率 应应变变率率：在在变变形形过过程程中中，单单位位时时间间中中应应变变值值的的增增量量称称为为“应变率应变率”。即：。即： （241） 根据小变形的几何关系，可得根据小变形的几何关系，可得应变率分量应变率分量：即：即：应变率应变率分量等于

17、位移率分量对相应坐标的偏导数，也等于应变分量分量等于位移率分量对相应坐标的偏导数，也等于应变分量对时间的偏导数对时间的偏导数。50（242）51 在在塑塑性性力力学学中中经经常常使使用用应应变变增增量量的的概概念念。实实验验证证明明，静静力力学学中中塑塑性性变变形形规规律律和和时时间间因因素素是是没没有有关关系系的的，因因此此，用用应应变变增增量量来来代代替替应应变变率率往往往往更更能能表表示示塑塑性性静静力力学学应应变变不不受受时时间间参数影响的特点参数影响的特点。 即即：通通常常使使用用的的不不是是应应变变率率张张量量，而而是是在在时时间间步步长长 或或dtdt 内内的的应应变增量。变增量

18、。应变增量应变增量： 5 5、应变增量、应变增量 有有了了应应变变增增量量的的概概念念，则则可可描描述述应应变变成成比比例例变变化化或或不不成成比例变化时的规律。比例变化时的规律。526 6、应变强度增量、应变强度增量 应应变变强强度度与与初初始始应应变变状状态态和和最最终终应应变变状状态态有有关关，而而且且还还与与应应变变历史即变形过程有关。历史即变形过程有关。 各增量间的关系：应变强度增量各增量间的关系：应变强度增量 与应变增量分量与应变增量分量 ， 和和 有关。有关。（243） 注：注： 的表达式中，只有简单加载条件下才有的表达式中，只有简单加载条件下才有 53例：给定一点的应变张量计算

19、：（a）主应变 、 和 ； （b）最大剪应变 ； （c）八面体应变 和 。解：（a）计算应变不变量，求主应变。54特征方程变为或求得三个主应变为55校核：用 、 和 的值代入三个不变量的表达式，以校核所得结果。（b）计算最大剪应变 。（c）八面体应变 和 。56例：一点的应变状态由给定的应变张量 表示确定：（a）应变偏量张量 ； （b）应变偏量不变量 和 ； （c）单位体积的体积变化（膨胀） 。57解：（a）计算平均应变。所以有应变偏量张量为：（b）计算不变量。58（c）单位体积的体积变化（膨胀） 。即在该应变张量表示的应变状态下，该点附近体元的体积减小。第五节应变协调方程（连续性方程、相容方

20、程）（Equations of compatibility）5960（28） 61则则几几何何方方程程给给出出了了包包含含六六个个方方程程而而只只有有三三个个未未知知函函数数的的偏偏微微分分方方程程组组，由由于于方方程程的的个个数数超超过过了了未未知知函函数数的的个个数数，方方程程组组可可能能是是矛矛盾盾的的。要要使使这这方方程程组组不不矛矛盾盾，则则六六个个应应变变分分量量必必须须满足一定的条件。满足一定的条件。下面的任务就是建立这个下面的任务就是建立这个条件条件。62 处理方式：现对正应变处理方式：现对正应变 分别对分别对y、x 取两次偏微取两次偏微分，则有：分，则有： 将以上两式相加，可

21、得：将以上两式相加，可得： 这里这里, ,我们利用了我们利用了位移分量具有三阶的连续偏导数位移分量具有三阶的连续偏导数的性质。的性质。因为，因为， 所以有：所以有： 63同理可得另外两个类似的方程，故有同理可得另外两个类似的方程，故有 （249） 这是一组这是一组相容方程相容方程。 64若取剪应变的表达式：若取剪应变的表达式： 将上式的将上式的 分别对分别对 求一阶偏导数，可得：求一阶偏导数，可得： 65将上式中的第一式与第三式相加，然后减去第二式，则可得：将上式中的第一式与第三式相加，然后减去第二式，则可得：再对再对 求导得出：求导得出： 同理可得另外两式，即有同理可得另外两式，即有（250

22、） 这是又一组这是又一组相容方程相容方程。 66 该该式式称称为为“变变形形协协调调方方程程式式”或或“变变形形的的协协调调方方程程”，又又称称为为圣圣维维南南（Saint-Venant）方方程程。是是圣圣维维南南首首次次导出的。导出的。 (2-51)67 其其实实，通通过过上上述述相相似似的的变变化化，可可以以导导出出无无穷穷多多组组相相容容方方程程，但但是是可可以以证证明明，如如果果满满足足了了上上式式(249) )和和( (250) ) 两两组相容方程组相容方程 ，就可以保证位移的连续性。，就可以保证位移的连续性。 上上式式表表示示要要使使以以位位移移分分量量为为未未知知函函数数的的六六

23、个个几几何何方方程程不不相矛盾，则相矛盾，则六个六个应变分量必须满足应变协调方程应变分量必须满足应变协调方程 。 方方程程意意义义的的几几何何解解释释：如如将将物物体体分分割割成成无无数数个个微微分分平平行行六六面面体体，并并使使每每一一个个微微元元体体发发生生变变形形。这这时时如如果果表表示示微微元元体体变变形形的的六六个个应应变变分分量量不不满满足足一一定定的的关关系系，则则在在物物体体变变形形后后，微微元元体体之之间间就就会会出出现现“撕撕裂裂”或或“套套叠叠”等等现现象象，从从而而破破坏坏了了变变形形后后物物体体的的整整体体性性和和连连续续性性。 为为使使变变形形后后的的微微元元体体能

24、能重重新拼新拼68合合成成连连续续体体，则则应应变变分分量量就就要要满满足足一一定定的的关关系系，这这个个关关系系就就是是应应变变协协调调方方程程。因因此此说说，应应变变分分量量满满足足应应变变协协调调方方程程，是是保证物体保证物体连续连续的一个必要条件的一个必要条件。 需要说明的几点：需要说明的几点： 1、可可以以证证明明：如如果果物物体体是是单单联联通通的的，则则应应变变分分量量满满足足应应变协调方程还是物体连续的变协调方程还是物体连续的充分条件充分条件。 从从数数学学的的观观点点来来看看，也也就就是是说说，如如果果应应变变分分量量满满足足应应变变协协调调方方程程，则则对对于于单单联联通通

25、物物体体，就就一一定定能能通通过过几几何何方方程程的的积积分求得分求得单值连续的位移分量单值连续的位移分量。 2、如如果果能能正正确确地地求求出出物物体体各各点点的的位位移移函函数数u，v，w，并并根据几何方程求出各应变分量，则根据几何方程求出各应变分量，则应变协调方程自然满足应变协调方程自然满足。69 3、从从物物理理意意义义来来看看，如如果果位位移移函函数数是是连连续续的的，变变形形自自然然也就是可以协调。也就是可以协调。 4、计计算算时时，采采用用位位移移法法求求解解，应应变变协协调调方方程程可可以以自自然然满满足足；而采用；而采用应力法求解应力法求解，则需要，则需要同时考虑应变协调方程

26、同时考虑应变协调方程。 5、对对于于多多联联通通物物体体，我我们们总总可可以以作作适适当当的的截截面面使使它它变变成成单单联联通通物物体体，如如此此则则上上述述的的结结论论完完全全适适用用。具具体体的的说说，如果应变分量满足应变协调方程，则在如果应变分量满足应变协调方程，则在此此被被割割开开后后的的区区域域里里，一一定定能能求求得得单单值值连连续续的的函函数数u，v，w。但但是是对对求求得得的的u，v，w，他他们们在在截截面面两两侧侧趋趋向向于于截截面面上上某某一一点点的值一般是不相同的，的值一般是不相同的， 为了使考察的多联通物体在变形后仍为了使考察的多联通物体在变形后仍保持为连续体，必须加

27、上下列的补充条件：保持为连续体，必须加上下列的补充条件：式中：式中： 分别为与截面同一点无分别为与截面同一点无限临近的两侧点的位移。限临近的两侧点的位移。 因此，对于因此，对于多联通物体多联通物体，应变分量满足应变协调方程，应变分量满足应变协调方程，只是物体连续的必要条件，只有加上只是物体连续的必要条件，只有加上补充条件补充条件，条件才是充，条件才是充分的。分的。 71例例 已知下列的应变分量是物体变形时产生的，试求系数之间已知下列的应变分量是物体变形时产生的，试求系数之间应满足的关系式。应满足的关系式。平面应变问题 解：该应变状态属于平面应变状态，这些应变分量应满足变形协调条件，即书中（2-39）式的第一式。本题的目本题的目的是的是应变协调方程的应用应变协调方程的应用。72由应变分量可得：将以上各式代入应变协调条件可得： 在物体内任一点上，即x、y为任意值时，上式皆应成立，因此得上式即为系数应满足的条件，而系数 可为任意常数。课堂练习给定一点的应变张量（1）求主应变分量，主方向余弦；（2) 求最大剪应变 ；八面体应变；（3）应变偏量不变量 ；（4）应变强度（等效应变）。