考研数学公式手册随身看(打印版)

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1、目目录录一、高等数学 . 1 (一) 函数、极限、连续 . 1 (二) 一元函数微分学 . 4 (三)一元函数积分学 . 11 (四) 向量代数和空间解析几何 . 16 (五)多元函数微分学 . 24 (六)多元函数积分学 . 30 (七)无穷级数 . 34 (八)常微分方程 . 40 二、线性代数 . 44 (一) 行列式 . 44 (二)矩阵 . 45 (三) 向量 . 48 (四)线性方程组 . 50 (五)矩阵的特征值和特征向量 . 51 (六)二次型 . 53 三、概率论与数理统计 . 55 (一)随机事件和概率 . 55 (二)随机变量及其概率分布 . 58 (三)多维随机变量及

2、其分布 . 60 (四)随机变量的数字特征 . 63 (五)大数定律和中心极限定理 . 65 (六)数理统计的基本概念 . 66 (七)参数估计 . 68 (八)假设检验 . 70 经常用到的初等数学公式 . 72 平面几何 . 76 1 一、高等数学一、高等数学(一一) 函数、极限、连续函数、极限、连续考试内容考试内容公式、定理、概念公式、定理、概念函数和隐函数函数和隐函数函数：设有两个变量x和y，变量x的定义域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：( )yf x= 基本初等函数的性质及其图基本初等函数的性质及其图

3、形，形，初等函初等函数，数，函数关函数关系的建立系的建立：基本初等函数包括五类函数: 1 幂函数:()yxR=; 2 指数函数xya=(0a 且1a ); 3 对数函数:logayx=( 0a 且1a ); 4 三角函数:如sin ,cos ,tanyx yx yx=等; 5 反三角函数:如 arcsin ,arccos ,arctanyx yx yx=等. 初等函数：由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数. 数列极限数列极限与函数极与函数极限的定义限的定义及其性质及其性质，函数的

4、左函数的左极限与右极限与右极限极限1000lim( )()()xxf xAfxfxA+= 2000lim( )()( ),lim ( )0xxxxf xAf xAa xa x=+=其中3(保号定理保号定理) 0lim( ),0(0),0xxf xAAA=设又或则一个,000(,),( )0( )0)xxxxxf xf x+若则是（的k阶无穷小 0x 常用的等阶无穷小：当时 sinarcsintan,arctanln(1)e1xxxxxxx+ 2111cos21(1)1nxxxxn+ 无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和为无穷小（2）有限个无穷小的乘积为无穷小

5、（3）无穷小乘以有界变量为无穷小 Th 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大极限的四极限的四则运算则运算 lim( ),lim ( ).f xAg xB=则 (1)lim( ( )( )f xg xAB=； (2)lim( ) ( )f x g xA B=； ( )(3)lim(0)( )f xABg xB= 3 极限存在极限存在的两个准的两个准则：则：单调有单调有界准则和界准则和夹逼准则夹逼准则，两个重要两个重要极限：极限： 1()( )( ),xxf xx0夹逼定理）设在的邻域内，恒有（ 00lim( )lim ( ),x

6、xxxxxA=且0lim( )xxf xA=则 2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限：两个重要极限： 0sin(1)lim1xxx= 10(2)lim(1)exxx+= 重要公式：重要公式：0010111011,lim0,nnnnmmxmmanmba xa xaxanmb xb xbxbnm=+=LL 4 几个常用极限特例 lim1,nnn= lim arctan2xx+= lim arctan2xx= lim arccot0,xx+= lim arccotxx= lim e0,xx= lim e,xx+= 0lim1,xxx+= 函数

7、连续函数连续的概念：的概念：函函数间断数间断点的类点的类型：型：初等函初等函数的连续数的连续性：性：闭区间闭区间上连续函上连续函数的性质数的性质连续函数在闭区间上的性质： (1) (连续函数的有界性)设函数( )f x在, a b上连续,则( )f x 在, a b上有界,即常数0M ，对任意的,xa b,恒有 ( )f xM. (2) (最值定理)设函数( )f x在, a b上连续,则在, a b上 ( )f x至少取得最大值与最小值各一次,即, 使得: 24 ( )( )max,a x bff xa b =； ( )( )min,a x bff xa

8、b =. (3) (介值定理)若函数( )f x在, a b上连续,是介于( )f a与 ( )f b(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在, a b 上至少一个,使得( )().fab= (4) (零点定理或根的存在性定理)设函数( )f x在, a b上连续,且( )( )0f af b,则在(), a b内至少一个,使得 ( )()0.fab= （2）( )(sin)sin()2nnkxkkxn=+ （3）( )(cos)cos()2nnkxkkxn=+ 7 （4）( )()(1)(1)mnm- nxm m-m- n+x=L （5）( )(1)(1)!(ln )( 1)nnnnx

9、x= （6）莱布尼兹公式：若( )( )u x ,v x均n阶可导，则 ( )( )()0()nniin- ini=uvc u v=，其中(0)u=u，(0)v= v 微分微分中值中值定理，定理，必必达达法法则，则，泰勒泰勒公式公式 Th1(费马定理)若函数( )f x满足条件： (1)函数( )f x在0x的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 0( )()f xf x或0( )()f xf x, (2) ( )f x在0x处可导,则有 0()0fx= Th2 (罗尔定理) 设函数( )f x满足条件： (1)在闭区间 , a b上连续； (2)在( , )a b内可导，则在( , )a

10、 b内一个，使 ( )0f = Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数( )f x满足条件： (1)在 , a b上连续；(2)在( , )a b内可导；则在( , )a b内一个，使( )( )( )f bf afba= Th4 (柯西中值定理) 设函数( )f x，( )g x满足条件： (1)在 , a b上连续； (2)在( , )a b内可导且( )fx，( )g x均存在，且( )0g x则在( , )a b内一个，使 ( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag= 洛必达法则：法则 (00型)设函数( )( ),f xg x满足条件： ( )( )00lim

11、0, lim0xxxxf xg x=; ( )( ),f xg x在0x的邻域内可导 (在0x处可除外)且( )0gx;( )( )0limxxfxgx存在(或).则 ( )( )( )( )00limlim.xxxxf xfxg xgx= 48 法则I (00型)设函数( )( ),f xg x满足条件： ( )( )lim0,lim0xxf xg x=;一个0X ,当xX 时,( )( ),f xg x可导,且( )0gx;( )( )0limxxfxgx存在(或).则 ( )( )( )( )00limlim.xxxxf xfxg xgx= 法则(型) 设函数( )( ),f xg x满

12、足条件： ( )( )00lim, limxxxxf xg x= = ; ( )( ),f xg x在0x 的邻域内可导(在0x处可除外)且( )0gx;( )( )0limxxfxgx存在(或).则 ( )( )( )( )00limlim.xxxxf xfxg xgx=同理法则II(型)仿法则I可写出泰勒公式: 设函数( )f x在点0x处的某邻域内具有1n+阶导数，则对该邻域内异于0x的任意点x，在0x与x之间至少一个，使得 2000001( )()()()()()2!fxfxfxxxfxxx=+L ( )00()()( )!nnnfxxxRxn+ 其中 (1)10( )( )(

13、)(1)!nnnfRxxxn+=+称为( )f x在点0x处的n阶泰勒余项.令00x =，则n阶泰勒公式 ()21(0)( )(0)(0)(0)( )2!nnnffxffxfxxRxn=+L(1) 9 其中 (1)1( )( )(1)!nnnfRxxn+=+，在 0 与x之间.(1)式称为麦克劳林公式常用五种函数在00x =处的泰勒公式 1211e12!(1)!nxnxxxxenn+= +L 或 2111()2!nnxxxo xn=+L 1311sinsinsin()3!2(1)!2nnxnxnxxxnn+=+L 或 31sin()3!2nnxnxxo xn=+L 1211cos1cosco

14、s()2!2(1)!2nnxnxnxxnn+=+L 或 211cos()2!2nnxnxo xn= +L 1231111( 1)ln(1)( 1)23(1)(1)nnnnnxxxxxxnn+=+ +L 或 23111(1)()23nnnxxxxo xn=+L 2(1)(1)(1)(1)12!mnm mm mmnxmxxxn+=+LL 11(1)(1)(1)(1)!nm nm mmnxn+ +L 或 2(1)(1)12!mm mxm xx+=+ L (1)(1)()!nnm mmnxo xn+L 函数单调函数单调性的性的判别判别，函数的极函数的极值值，函数的函数的图形的图形的凹凹凸凸性，性，

15、拐拐点点1 函数单调性的判断： Th1 设函数( )f x在( , )a b区间内可导，如果对( , )xa b ，都有( )0fx （或( )0fx ），则函数( )f x在( , )a b内是单调增加的（或单调减少） Th2 （取极值的必要条件）设函数( )f x在0x处可导，且在0x处取极值，510 及渐近线及渐近线，用函数图用函数图形描绘函形描绘函数最大值数最大值和最小值和最小值，则0()0fx=. Th3 （取极值的第一充分条件）设函数( )f x在0x的某一邻域内可微，且0()0fx=（或( )f x在0x处连续，但0()fx不存在.） (1)若当x经过0x时，( )fx由“+”

16、变“- ” ，则0()f x为极大值； (2)若当x经过0x时，( )fx由“- ”变“+” ，则0()f x为极小值； (3)若( )fx经过0xx=的两侧不变号，则0()f x不是极值. Th4 (取极值的第二充分条件)设( )f x在点0x处有( )0fx ，且0()0fx=，则当0()0fx时，0()f x为极小值. 注：如果0()0fx ，此方法失效. 2 渐近线的求法： (1)水平渐近线若lim( )xf xb+=，或lim( )xf xb=，则yb= 称为函数( )yf x=的水平渐近线. (2)铅直渐近线若0lim( )xxf x= ，或0lim( )xxf x+= ，则

17、0xx= 称为( )yf x=的铅直渐近线. (3)斜渐近线若( )lim,lim ( )xxf xabf xaxx=，则 yaxb=+称为( )yf x=的斜渐近线 3 函数凹凸性的判断： Th1 (凹凸性的判别定理）若在 I 上( )0fx ），则( )f x在 I 上是凸的（或凹的）. Th2 (拐点的判别定理 1)若在0x处( )0fx =，（或( )fx不存在），当x变动经过0x时，( )fx变号，则00(,()xf x为拐点. 11 Th3 (拐点的判别定理 2)设( )f x在0x点的某邻域内有三阶导数，且( )0fx =，( )0fx ，则00(,()xf x为拐点

18、弧弧微分，微分，曲曲率率的概念的概念，曲率半径曲率半径 1.弧微分：21.dSy dx=+ 2.曲率：曲线( )yf x=在点( , )x y处的曲率322.(1 )yky=+ 对于参数方程( ),( )xtyt=3222( )( )( )( ). ( ) ( )ttttktt=+ 3.曲率半径：曲线在点M处的曲率(0)k k 与曲线在点M处的曲率半径有如下关系：1.k = (三三)一元函数一元函数积积分学分学考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念原原函数和函数和不不定定积积分分的概念，的概念，不不定定积积分的分的基本性质基本性质基本性质 1( )( )kf

19、x dxkf x dx= （0k 为常数） 21212 ( )( )( )( )( )( )kkf xfxfx dxf x dxfx dxfx dx=LL 3 求导：( )( )f x dxf x= 或微分：( )( )df x dxf x dx= 4( )( )F x dxF xC=+或 ( )( )dF xF xC=+（C是任意常数）基本基本积积分分公式公式 111kkx dxxCk+=+ （1k ） 211dxCxx= + 12dxxCx=+ 1lndxxCx=+ (0,1)eelnxxxxaa dxCaadxCa=+=+ 612 cossinsincosxdxxCxdxxC=+=

20、+ 221sectancosdxxdxxCx=+ 221csccotsindxxdxxCx= + 1cscln csccotsindxxdxxxCx=+ 1secln sectancosdxxdxxxCx=+ sec tanseccsc cotcscxxdxxCxxdxxC=+= + tanln coscotln sinxdxxCxdxxC= +=+ 2221arctanarctan1dxxdxCxCaaaxx=+=+ 222arcsinarcsin1dxxdxCxCaaxx=+=+ 222111lnln2211dxaxdxxCCaaxxaxx+=+=+ 2222lndxxxaCxa=+ 重要

21、公式重要公式 (1)( ), f xl l设在上连续，则 0( )( )()lllfx dxfxfxdx=+00,2(),lfxfx d xfx=当（）为奇函数当（）为偶函数 2f xTa（）设（）是以为周期的连续函数，为任意实数，则202( )( )( ).TaTTTafx dxfx dxfx dx+= 22201(3)4aax dxa= 13 2200131,22 2(4)sincos1321,23nnnnnnnxdxxdxnnnnn=LL当为偶数当为奇数 20,5sincossincos0,nmnxmxdxnxmxdxnm=-（） 20sincossinc

22、os0nxmxdxnxmxdx= 20,coscoscoscos00,nmnxmxdxnxmxdxnm= 定定积积分的分的概念和基概念和基本性质，本性质，定定积积分分中值中值定理定理 1 定定积积分的基本性质分的基本性质 (1)( )( )( )bbbaaaf x dxf t dtf u du=L定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即 (2)( )( )baabf x dxf x dx= (3)badxba= (4) ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx= (5)( )( )(bbaakf x dxkf x dx k=为常数） (6)(

23、 )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx=+ (7)( )( ), , ,( )( ).bbaaf xg x xa bf x dxg x dx比较定理：设则 ( ) , ( )0;baf xxa bf x dx推论：1.当0,时， 2.|( )|( )|bbaaf x dxf x dx (8)( ), , ,()( )()bamf xM xa bm Mm baf x dxM ba估值定理：设其中为常数，则 714 (9)( ) , , ,( )() ( )baf xa ba bf x dxba f=积分中值定理：设在上连续，则在上至少一个使1( )( )baff x

24、dxba =平均值公式积积分上限分上限的函数及的函数及其导数，其导数，牛牛顿莱顿莱布尼兹布尼兹公公式式 Th1( )xaf xabxabF xf t dtx=设函数（）在，上连续，，则变上限积分（）对可导 ( )( )( )( )xaddFxF xf t dtfxdxdx=且有()( )( ),( )( )( ).xaF xf t dtFxfxx=推论1 设=则 ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )xxxf t dtfxxfxx=推论2 ( ( )( )( ) ( )( ( )( )xxxxaaf t g x dtg xf t dt=推论3 ()( )( )( )(

25、 )( )xagxf t dtg x fxx=+ Th2( ),f xa bxa b设在上连续，,则 ( )( ) , xaf x dtf xa b是在上的一个原函数 Th3( ),f xa b牛顿-莱布尼茨公式:设在上连续， ( )F x ( )f x是的的原原函数，则函数，则( )( ) |( )( )bbaafx dxF xF bF a= 不不定定积积分分和定和定积积分分的的换换元元积积分分法法与分与分部积部积分分法法 1 不不定定积积分：分：分分部积部积分分法法：udvuvvdu=选择 u，dv 的原则：积分容易者选作dv，求导简单者选为 u 换换元元积积分分法法：( )( ),f

26、u duF uC=+设 ( )( )( )( )fxx dxfxdx=则( )( )( ) ( )uxf u duF uCFxC=+=+设 15 2 定定积积分分换换元元法法:f xa bxt设函数（）在，上连续，若（）满足： ( )0.tt(1) ( )在，上连续，且 (2)( )().aabt =并且当在，上变化时， tab （）的值在，上变化，则，则 ( )( )( ).bafx dxftt dt= 分分部积部积分公式分公式 ( ), ( ),u xv xa bu x v x设（），（）在，上具有连续导函数则( ) ( )( ) ( ) |( ) ( )aaa

27、bbbu x vx dxu x v xv x ux dx= 3 定定积积分分不不等式等式证明中常用证明中常用的的不不等式等式 22(1)2abab+ 1(2)0,2aaa+ (3)柯西不等式： () ()222( ) ( )( )( ),bbbaaaf x g x dxfx dxgx dxf xg xab其中（），（）在，上连续有理函数有理函数，三角三角函数函数的有理式的有理式和和简简单无单无理函数的理函数的积积分，分，广广义义积积分和定分和定积积分的应分的应用用 1 三角三角函数函数代换代换函数( )f x含根式所作代换三角形示意图 22ax sinxat= 22ax+

28、tanxat= 22xa secxat= 816 有理函数积分有理函数积分 (1)ln |AdxAxaCxa=+ 11(2)(1)()1 ()nnAAdxC nxanxa= + 2222222424(3)4()()()24pxunnq pnadxdxdupq pxpx quax= = +令 + 221211(4)()()2(1)()2()nnnx apdxdxaxpx qnxpx qxpx q+=+（240pq=zyx 标标准二准二次方程次方程及其图形及其图形名称方程图形椭球面 2222221xyzabc+= (, ,a b c均为正数) obczyx 1224 单叶双曲面 22222

29、21xyzabc+= (, ,a b c均为正数) 双叶双曲面 2222221xyzabc+=(, ,a b c均为正数) 椭圆的抛物面 22222xypzab+= (, ,a b p为正数) 双曲抛物面 (又名马鞍面) 22222xypzab= (, ,a b p均为正数) 二次锥面 2222220xyzabc+= (, ,a b c为正数) oyxz (五五)多多元函数微分学元函数微分学考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 25 多多元函数元函数的概念，的概念，二二元函数的元函数的几何意义几何意义，二元函数二元函数的极限和的极限和连续的概连续的概念，念，二元函数

30、( , )zf x y=连续，可导（两偏导存在）与可微三者的关系如下：可导可微函数连续“ ”表示可推出用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证： ( ,)( , )lim0xyzfx yxfx yy 是否为有界闭区有界闭区域域上上多多元元连续函数连续函数的性质，的性质，多多元函数元函数偏偏导数和导数和全全微分，微分，全全微微分存在的分存在的必要必要条件条件和和充充分分条条件件，基本基本原原理理 1()( , )( , ),( , ),( , )( , )xyyxxyyxThzf x yfx yfx yDfx yfx y=求偏导与次序无关定理设的两个混合偏导数在区域内连续则

31、有2()( , )( , ),Thzf x yP x yzzzzdzdxdyxyxy=+可微与偏导存在的关系定理若在点处可微则在该点处必存在且有3()( ,),( ,)( ,)( ,)( ,)Thzzfx yP x yyP x yzfx yP x y=偏导存在与可微的关系定理z若的两个偏导数在x上的某领域内存在 ,且在连续 ,则在点处可微多多元元复合复合函数、函数、隐函隐函数的数的求求导导法法，二阶二阶偏偏导数，导数，方向方向导数和导数和梯梯度度， 1 复合复合函数微分函数微分法法 (1)( , )

32、,( , ),( , ),zf u v ux y vx y=设则zzuzvxuxvxzzuzvyuyv y=+ =+ (2)( , ),( ),( ),zf u v ux vxz duz dvzu dxv dx=+设dz则称之为的全导数dx 1326 (3)( , , ),( , ),( , ),0zf x u v ux y vx yzffufvxxuxvxzfufvyuyvy=+=+设则注注：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，其中间变量用数字 1，2，3表示更简洁. 2 隐函数微分隐函数微分法法 ( , )(1)( , )0, ( , )xyFx ydyF x ydxFx

33、y= 设则 ( , , ) ( , , )(2) ( , , )0, ( , , ) ( , , )yxzzFx y zFx y zzzF x y zxFx y zyFx y z= = 则 (3)( ),( ),yy x zz x=F(x,y,z)=0设由方程组确定的隐函数G(x,y,z)=0 ,dy dzdx dx则可通过,dy dzdx dx解关于的线性方程组 0:0xyzxyzdydzFFFdxdydydzGGGdxdx+=+= ,yzxyzxdydzFFFdxdxdydzGGGdxdx+= += 来求解方向导数和梯度 Th1 设( , )zf x y=在000(,)Mxy处可微，则(

34、 , )f x y在点000(,)Mxy沿任意方向(cos,cos)l= 存在方向导数且000000(,)(,)(,)coscosf xyf xyf xylxy=+ 在平面上l除了用方向角表示外也可用极角表示： (cos ,sin )l=，0,2 l是的极角，此时相应的方向导数的计算公式为 000000(,)(,)(,)cossinf xyf xyf xylxy=+ Th2 设三元函数( , , )uf x y z=在0000(,)Mxyz处可微，则 ( , , )uf x y z=在点0000(,)Mxyz沿任意方向 (cos,cos,cos )l=存在方向导数且有 27 0000000

35、00(,)(,)(,)coscosf xyzf xyzf xyzlxy=+ 000(,)cosf xyzz+ 梯度：( , )zf x y=在点0M的方向导数计算公式可改写成 000000(,)(,)(,)(,) (cos,cos)f xyf xyf xylxy= 000000( (,)(,) cos( (,),grad f xylgradf xygrad f xyl= 这里向量000000(,)(,)(,)(,)f xyf xygradf xyxy=成为 ( , )zf x y=在点0M的梯度(向量) 00(,)f xyll随而变化0000( (,)( (,)grad f xylgrad

36、f xy=即沿梯度方向时，方向导数取最大值00 (,)grad f xy 空空间间曲线曲线的的切线切线和和法平面法平面，曲曲面面的的切平切平面面和和法线法线，1 曲线曲线的的切线切线及及法平面方程法平面方程 0000( )(1)( )(,)( )xx tyy txyzttzz t= =曲线在 000000( )( )( )xxyyzzx ty tz t=处的切线方程： 000000( )()( )()( )()0x txxy tyyz tzz+=法平面方程： (2)空间曲线的一般式方程为, , )0( , , )0F x y zG x y z=（ 000,)P xyz则在曲线的（处的

37、000( ,)( ,)( ,)( , )( , )( , )pppxxyyzzF GF GF Gy zz xx y=切线方程：法线方程法线方程： 1428 000( ,)( ,)( ,)()()0( , )( , )( , )pppF GF GF Gxxyyzzy zz xx y+=（ 2 空空间间曲面曲面在其上在其上某某点点处处的的切平面切平面和和法线方程法线方程 000(1)( , ),(,)zf x yP x y z=设曲面为显示方程则在上一点处的 000()()()0.ppzzxxyyzzxy+=切平面方程： 0001ppxxyyzzzzxy=法线方程： 000(2), , )0,(

38、,)F x y zP x y z=设曲面为隐式方程（则在上一点的000 ()()()0xyzppFxxFyyFzz+=切平面方程： 000 | | |xpypzpxxyyzzFFF=法线方程：二元函数二元函数的二阶的二阶泰泰勒勒公式，公式，多多元函数的元函数的极极值值和和条条件件极极值值，多多元函数的元函数的最最大大值值、最最小小值值及其及其简简单应单应用用 1 多多元函数的极元函数的极值值定义：定义： 00( , )(,)zf x yP x y=设函数在的某邻域内有定义，若若对对于于该邻该邻域域内内异异于于00(,)P xy 点的任一( , )Q x y点恒有 0000( ,

39、)(,)(,)f x yf xyf xy或 00(,)( , )f xyf x y则称为的极小值(极大极大值值) 000000001( ,)(,)(,)0(,)( ,)(,)0xyThzfx yP xyfxyP xyzfx yfxy=（取极值的必要条件）设在点的一阶偏导数存在，且是的极值点，则 29 000002( ,)(,),)0, (,)0xyThzfx yP xyfxyfxy=0（函数取极值的充分条件）设在点的某邻域内有连续的二阶偏导数 ,且( 222000000 (,) (,) (,)0xyxyfxyfxyfxy若或则为极小值点。 220

40、00000 (,)0( (,)0),(,)xyfx yfx yP x y(2)若或则为极大值点。2 无无条件条件极极值值解题程序： 0(1)( , ),)zf x yxy=0求出的驻点（； 00(2)2(,)Thxy用判别是否为极值点；是，00(,)f xy则为 ( , )zf x y=的极值。 3 条件极值（拉格朗日乘数法） 1( , )x yzf x y=）由条件 ( , )=0,求的极值解题程序: ( , )( , )F x yf x yx y令=+( , );00 ( , ) ( , )0 ( , ) ( , )0(,);( , )0xxyyfx yx yfx yx yxyx y+

41、=+=解方程组求驻点 00(,)( , )f xyf x y即为的极值（存在的话） 1530 0,0,00,002( , , ), , ), , ) ( ,) ( , , )0 ( , , ) ( , , )0 ( , , ) ( , , )0( , , )0)(,)( , , )xxyyzzuf x y zF x y zx y zfx yzx y zfx y zx y zfx y zx y zx y zx y zf x y zf x y z=+=+=+=）由条件 (x,y,z)=0,求的极值。解题程序：令（;，解方程组若（为其解即为的极值（若存在的话）1211223, , )0.( , ,

42、 )0( , , ), , )( , , ), , ), , ) 12x y zx y zuf x y zF x y zf x y zx y zx y z =+）由条件（求函数的极值解题程序：令（以下仿），） (六六)多元函数积分学多元函数积分学考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念二重积分二重积分与三重积与三重积分的概念分的概念、性质、性质、计算计算和应用和应用 1 二重积分：二重积分： ,011iI=( , )lim(),1,2,)maxniiiidi niif x y dfdddin =LD=,其中为的直径（几何意义：几何意义： (

43、 , )0,( , )I( , )Dzf x yx yDzf x y=当时，而二重积分表示以为曲顶，以为底的柱体体积。 2 三重积分：三重积分： ,011DiI=( , , )lim(),1,2,)maxniiiiidi niiF x y z dvfvdddvin =L其中为的直径（物理意义：物理意义： ( , , )If x y z =三重积分表示体密度为的空间形体的质量。 3 性质性质(只叙述二重积分的性质，三重积分类似只叙述二重积分的性质，三重积分类似) (1)( , )Dkf xykf x ykD（，）d =d , 为常数 31 (2) ( , )( , )( , )(

44、, )DDf x yg x y df x y dg x y d= (3)1( , )( , ),iniiDDf x y df x y dD=其中为 D的构成子域且任两个子域没有重迭部分1,2,)im=L（ (4),DdAAD =其中为的面积。 (5)（比较定理）（比较定理） ( , )( , ),( , )( , )DDDf x yg x yf x y dg x y d若在上恒有则 (6)(,( , )M mf x yD估值定理）设分别为在闭域上的最大与最小值，AD为的面积，则( , )DmAf x y dMA (7)( , )( , )f x yDADDf x y dfA D中值定

45、理）若在闭域上连续，为的面积，则在上至少一点（，），使= ( , (8)二重积分的对称性原理对称性原理 ( , )( , )xf x yyf x yD1）如果积分域D关于轴对称，为的奇偶函数，则二重积分d 10,( ,)( , )2( , ),( ,)( , ),Dfyf xyf x yf x y dff xyf x y= =关于为奇函数，即关于y为偶函数，即 DD1为在上半平面部分这个性质的几何意义见图(a)、(b) 1632 ( , )yf x yx2）如果积分域D关于轴对称，为的奇偶函数， ( , )f x yD则二重积分d 20,(, )( , )2( ,

46、),(, )( , ),Dfxfx yf x yf x y dfxfx yf x y= =关于的奇函数，即关于为偶函数，即 DD2为在右半平面部分 ( , ),f x yx y3）如果D关于原点对称，同时为的奇偶函数， ( , )f x yD则二重积分d 20,(,)( , )2( , ),(,)( , ),Dffxyf x yf x y dffxyf x y= =关于x,y的奇函数，即关于x，y为偶函数，即 DD1为在上半平面部分 ( , )( , )yxf x yf x y=DD4）如果D关于直线对称，则dd 注：注：注意到二重积分积分域 D 的对称性及被积函数( , )f x y

47、的奇偶性，一方面可减少计算量，另一方面可避免出差错，要特别注意的是仅当积分域 D 的对称性与被积函数( , )f x y的奇偶性两者兼得时才能用性质 8. 两类曲线两类曲线积分的概积分的概念、念、性质及性质及计算，计算，两类两类曲线积分曲线积分的关系，的关系，格格林公式，林公式，平平1 平面曲线积分与路径无关的四个等价条件平面曲线积分与路径无关的四个等价条件设函数( , ),( , )P x y Q x y在单连通区域 D 上具有一阶连续偏导数，则LPdxQdy+与路径无关 ,( , )QPx yDxy= 33 面曲线积面曲线积分与分与路路径径无关的无关的条条件件， 0,LPdxQd

48、yL+= 为一简单分段光滑封闭曲线存在函数( , ),( , )u x yx yD使( , ),du x yPdxQdy=+且 00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdy=+ 2 格林公式：设平面上的有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数( , ),( , )P x y Q x y在有D连续的一阶偏导数，则有 ()LDQPdxdyPdxQdyxy=+ 或者()LDQPdxdyPdxQdyxy+= 二元函数二元函数全全微分的微分的原原函数，函数，两两类类曲面积曲面积分的概念分的概念、性质及性质及计计算，算，两类两类曲曲面积面积分的分的关系，关系，高高斯斯公式，公式，

49、斯托斯托克斯克斯公式，公式， 1 高斯(Gauss)公式设是空间中的有界闭区域，由分块光滑的曲面所S围成，函数( , , ),( , , ),( , , )P x y z Q x y z R x y z在由连续的一阶偏导数，则 ()()coscoscosSSPQRdVPdydzQdzdxRdxdyxyzPQRdVPQRdSxyz+=+=+或（）这里S是的整个边界的外侧(即取外法向)，cos,cos,cos是S上点( , , )x y z处的外法向量的方向余弦. 2 斯托克斯公式设为分段光滑的又向闭曲线，S是以为边界的分块光滑有向曲面，的正向与S的侧 ( 即法向量的指

50、向 ) 符合右手法则，函数( , , ),( , , ),( , , )P x y z Q x y z R x y z在包含S的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有 ()()()SRQPRQPdydzdzdxdxdyPdxQdyRdzyzzxxy+=+()SdydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyzPQR=+或 1734 ()cos()cos()cosSRQPRQPyzzxxyPdxQdyRdz+=+ 散度散度和和旋旋度度的概念的概念及及计计算，算，曲曲线积线积分和分和曲面积曲面积分分的应的应用用 1 散度的计算公式设( ,

51、, )( , , )( , , ) ; ,AP x y z iQ x y z jR x y z k P Q R=+u vvvv均可导，则Au v在( , , )P x y z点处的散度为PQRdivAxyz=+u v 2 旋度的计算公式设有矢量场( , , )( , , )( , , )AP x y z iQ x y z jR x y z k=+u vvvv，其中,P Q R均有连续的一阶偏导数，则旋度rotAuv为： ijkrotAxyzPQR=vvvu v (七七)无穷无穷级级数数考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念常常数数项级项级数的数的收敛收

52、敛与与发散发散的的概念，概念，收敛收敛级级数的和数的和的概念的概念级级数的基本数的基本性质与性质与收收敛敛的必要的必要条件条件 1 级级数数1nnu=的性质：的性质： 11(1)0nnnncucu=设的常数，则与有相同敛散性 112nnnnuv=（）设有两个数级与 111,().nnnnnnnusvuvs=若则 111,().nnnnnnnuvuv=若收敛，发散则发散 35 111,().nnnnnnnuvuv=若均发散则敛散性不定注：添加或去消有限项不影响一个级数的敛散性.

53、设级数1nnu=收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和几何几何级级数数与与 p 级级数数以以及及他们他们的的收敛收敛性性，正项级正项级数数收敛收敛性的性的判别法判别法，正项级正项级数数1nnu=（0nu ）的）的判判敛敛法法 (1)0,nnuv比较判敛法：设若 11nnnnuv=收敛，则收敛 11nnnnuv=发散，则发散 (2)11nnnnuv=比较法的极限形式：设及均为正项级数 lim(0)nnnnuA vv=且 111.0,nnnnAvu= +若且收敛，则收敛 112.0,nnnnAvu= +若且发散，则发散两个常用的比较级数

54、 11,| 1)1| 1nnariarrr=收敛，1时级数发散，1时 (3)比比值判别法值判别法（达朗贝尔准则）（适用于通项nu中含有 n！或关于 n 的若干连乘积形式） 10,1,2nnnunu=L设对于来讲 11111lim1nnnnnnnuuuu=+=的判敛法的判敛法莱布尼兹准则：莱布尼兹准则：11( 1),(0)nnnnuu=若交错级数满足条件： 1(1),(1,2,);(2)lim0,nnnnuunu+=LL 则交错级数收敛，其和1,Su其 n 项余和的绝对值1|.nnRu+ 函数项级函数项级数的收敛数的收敛域与和函域与和函数的概念数的概念，幂级数及幂级数及其收敛半其收敛半径，径

55、，收敛区收敛区间间(指开区指开区间间)和收敛和收敛域，域，幂级数幂级数的和函数的和函数，1 幂级数：幂级数：20120nnnnnaa xa xa xa x=+=LL 11lim,.nnnaRa+=收敛半径，若则 2 函数函数项级项级数数1( )nnux=收敛收敛域域的的求求法法步骤步骤： (1)x用比值（或根值）法求（），即1|( )|lim( )(lim |( )|( );|( )|nnnnnnuxxuxxux+=或 1(2)( )( )( , );nnxuxa b=解不等式方程1,求出的收敛区间 11(3)( )( )nnnnxaxbuau b=考察（或）时，（或）的敛散性 14(

56、)nnux=（）写出的收敛域幂级幂级数在数在其其收敛收敛区区间内的基间内的基本性质，本性质，简简单单幂级幂级数数的和函数的和函数的的求求法法，初初等等幂级幂级数数展开展开式式 1 幂级数的四则运算性质： 00( ),( ),nnnnnna xf xb xg x=设其收敛半径分别为1212,min(,),R R RR R=(,),xR R 则对有 (1)000()( )( ),nnnnnnnnnna xb xab xf xg x=且在（- R，R）内绝对收敛 (2)0111 10000()()()nnnnnnnnnnnna xb xa bababa b x=+L 37 ( ) ( )f

57、 x g x= (3)00,0bx=设则在的足够小邻域内 20101201( )( )nnnnnnaa xa xf xCC xC xC xg xbb xb x+=+LLLLLL 利用多项式的长除法可得：01 00 101200,aa ba bCCbb=L 2 幂级数的分析性质： 0nnna xRRR=设幂级数的收敛半径为，则在（，）内有 (1)0nnna xf x=的和函数（）是连续的。 (2)00)nnnxnnna xfa x=可逐项微分，且=( 100()nnnnnna xna x= (3)00)xnnnnnna xf tta tdt=x00可逐项积分，且（）d =( 1000()

58、1xnnnnnnaa t dtxn+=+ 3 函数的幂级数展开泰勒级数 0f xxx=设（）在的某一邻域内具有任意阶导数， ( )200000000( )( )()( )( )()()!2!nnnfxfxxxf xf xxxxxn=+L级数：( )00()()!nnfxxxn+L 0f xxx=称为（）在处的泰勒级数。 1938 ( )200(0)(0)0(0)(0)!2!nnnffxxffxxn=+L当时，级数化为( )(0)!nnfxn+L 称为麦克劳林级数 0( )00(1)1000( )()()!( )lim( )0,1R ( )()(),01.(1)!nnnnnnnThf xx

59、xfxxxnf xRxxfxxxxxn+=+n=0设在某领域内具有任意阶导数，则泰勒级数收敛于的充分条件其中 4 常见的幂级数展开式： (1)2011,( 1,1)1nnnuuuuu= +=LL (2)2011( 1)( 1),( 1,1)1nnnnnuuuuu= + +=+LL (3)201,(,)2!nnunuuueunn= += +LL (4)321210sin( 1)( 1),(,)3!(21)!(21)!nnnnnuuuuunn+=+ += +LL (5)24220cos1( 1)( 1),(,)2!4!(2 )!(2 )!nnnnnuuuuunn= + += +LL (6)2311

60、0ln(1)( 1)( 1),( 1,1)2311nnnnnuuuuuunn+=+=+ +LL (7)2(1)(1)(1)(1)12!ana aa aanuauuun+= +LLL (随a的不同而不同，但在(- 1，1)总有意义) 39 函数的函数的傅傅立立叶叶系数系数与与傅傅立立叶叶级级数，数，狄利狄利克雷克雷定理定理，函数在函数在, l l上的上的傅傅立立叶级叶级数数 1( )2-0 2 f x设是以为周期的函数，且在，或，上可积，则 2011( )cos( )cos,(0,1,2,)naf xnxdxf xnxdx n=L= 2011( )sin(

61、)sin,(1,2,)nbf xnxdxf xnxdx n=L ( )f x称为的傅立叶系数 2011( )(cossin)2nnnf xaanx bnx=+的傅立叶系数为系数的三角级数 011( )( )(cossin)2nnnf xf xaanxbnx=+称为的傅立叶级数，记为 3( )2-, f xll l设是以为周期的函数，且在上可积，则以 n1a( )cos,(0,1,2)llnf xxdx nll=L1( )sin,(0,1,2)lnlnbf xxdx nll=L011(cossin)2nnnnnaaxbxll=+为系数的三角级数011( )( )(cossin).2nnnnnf

62、 xf xaaxbxll=+称为的傅立叶级数，记为f(x) -, (1)( )f x 3狄里赫莱收敛定理：设函数在上满足条件：除有限个第一类间断点外都连续。(2)只有有限个极值点，则的傅立叶级数在- ，上收敛，且有 000010( ),( )1( cossin ) (0)(0),221 (0)(0),.2nnnf x x f xaax bnxf xf xxf xffx=+= + + +=为的连续点；为（）的第一类间断点； 2040 函数在函数在0, l上的上的正弦级数正弦级数与余弦级与余弦级数数. 1( )f x为0, l上的非周期函数，

63、令： ( ),0( )(),0f xxlF xfxlx= 则01( ) cos2nnanf xaxl=+（余弦级数），其中：02( )coslnnaf xxdxll=（n=0，1，2，） 2( )f x为0, l上的非周期函数，令： ( ),0( )(),0f xxlF xfxlx= 则( )F x除 x=0 外在区间, 上为奇函数则1( ) sinnnnf xbxl=（正弦级数），其中： 02( )sinlnnbfxxdxll=（n=1，2，） (八八)常常微分微分方程方程考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念常常微分微分方方程程的基本的基本概念，概念，变量变

64、量可可分分离离的的微分微分方程方程 1 常微分方程含有自变量、未知函数及未知函数的某些导数的方程式称微分方程，而当未知函数是一元函数时称为常微分方程. 2 可分离变量方程1122( )( )( )( )0f x gy dxfx gy dy+= 解法：两边同除12( )( )0gy fx ，得1221( )( )0( )( )f xgydxdyfxgy+=1221( )( )( )( )f xgydxdyCfxgy+= 奇奇次次微分微分方程方程，一阶一阶线线性微分性微分1 齐次方程( )yyfx= 41 方程方程，伯努伯努利利方程方程，全全微分微分方程方程，解法：令yux=

65、，则yux=，duyuxdx=+于是，原方程 ( )ln( )( )dududxduuxf uxCdxf uuxf uu+=+ 2 可化为齐次型的方程 111222a xb ycdyfdxa xb yc+=+ 解法：(1)当120cc=时 11112222( )yaba xb ydyyxffgydxa xb yxabx+=+属于(2) (2)11220,abab=即1122abab=则 22122222()()a xb ycdyfg a xb ydxa xb yc+=+ 令22a xb yu+=，则22( )duab f udx=+属于（1） (3)1112220,abc cab不全为 0

66、解方程组11122200a xb yca xb yc+=+=求交点( ,) 令,xXyY=+=+则原方程()dyXdXY=属于（2） 3 一阶线性方程( )( )yp x yq x+= 解法：用常数变易法求 (1)求对应齐次方程( )0yp x y+=的通解( )p x dxyCe= (2)令原方程的解为( )( )p x dxyC x e= (3)代入原方程整理得 2142 ( )( )( )( )( )( )p x dxp x dxC x eq xC xq x edxC=+% (4)原方程通解 ( )( )( )p x dxp x dxyq x edxC e=+% 4 贝努里方程( )(

67、)nyp x yq x y+=，其中0,1n 解法：令1 nZy=，则方程1( )( )1dzp x zq xn dx+=，(1) ( )(1) ( )dzn p x zn q xdx+=属于 3 5 全微分方程( , )( , )0M x y dxN x y dy+=为全微分方程 MNyx=.通解为000( ,)( , )xyxyM x y dxN x y dyC+= 可用简可用简单单的的变量代变量代换换求求解解的的某些某些微分微分方程方程，可可降降阶的高阶阶的高阶微分微分方程方程，线线性微分性微分方程解方程解的的性质及性质及解解的的结构结构定定理理注：这里只限于讨论二阶线性

68、方程，其结论可推广到更高阶的方程，二阶线性方程的一般形式为 ( )( )( )yp x yq x yf x+= (8.1)其中( ), ( ),( )p x q xf x均为连续函数，当右端项( )0f x 时，称为二阶线性齐次方程，否则称为非齐次方程. 解的性质与结构(以下性质可推广到任意高阶的线性方程)分以下几种：1 若12( ),( )y xyx为齐次方程( )( )0yp x yq x y+= (8.2)的两个特解，则其线性组合1122( )( )C y xC yx+仍为(8.2)的解，特别地，若12( ),( )y xyx线性无关12( )()( )y xyx即常数，则(8.2)的

69、通解为1122( )( )( )y xC y xC yx=+ 2 设12( ),( )y xyx为非线性方程(8.1)的两个特解，则其差 12( )( )y xyx为相应齐次方程(8.2)的特解 3 设( )yx为非齐次方程(8.1)的一个特解，( )y x为齐次方程(8.2)的任意特解，则其和( )( )yxy x+为(8.1)的解，特别地，若12( ),( )y xyx为(8.2)两个线性无关的特解，则(8.1)的通解为 1122( )( )( )( )y xyxC y xC yx=+，其中12,C C为任意常数. 二阶二阶常常系系 1 二阶常系数线性齐次方程0ypyqy+= (1) 其中

70、, p q均为常数 43 数数奇奇次线次线性微分性微分方方程程，高高于于二二阶的阶的某些某些常常系数系数奇奇次线次线性微性微分分方程方程解法：特征方程：20pq+= （I）当12, 为相异的特征根时，方程(1)通解为 1212( )xxy xC eC e=+ （II）当12=时，通解为112( )()xy xCC x e=+ （III）当i=（复根）时，通解为 12( )(cossin)xy xeCxCx=+ 2 n阶常系数齐次线性方程此种方程的一般形式为 ( )(1)(2)120nnnnyp yp yp y+=L()，其中 (1,2, )ip in=L为常数，相应的特征方程为 (1)(

71、2)120nnnnppp+=L 特征根与通解的关系同二阶方程的情形相类似，具体结果为： (1)若12,n L是个n相异实根，则方程()的通解为 1212( )nxxxny xC eC eC e=+L (2)若0=为特征方程的()k kn重实根，则()的通解中含有：0112()xkkCC xC xe+L (3)若i+为特征方程的(2)kkn重共轭复根，则()的通解中含有：111212()cos()sinxkkkkeCC xC xxDD xD xx+LL由于我们不能求出一般的三次以上代数方程的根，也就是说对于三次以上的特征方程一般不能得到齐特征根，自然也就不能求出三阶以上常系数齐次线性微分方程

72、的通解，能够求出的只是某些特殊情形简简单的二单的二阶阶常常系数系数1 二阶常系数线性非齐次方程( )ypyqyf x+= (2)其中, p q均为常数 2244 非奇次线非奇次线性微分方性微分方程，程，欧拉方欧拉方程，程，微分方微分方程简单应程简单应用用解法：通解的求法程序 (1)求对应齐次方程的通解( )Y x (2)求出(2)的特解*( )yx (3)方程(2)的通解( )*( )yY xyx=+ 方程(2)特解*( )yx的求法有三种：微分算子法、常数变易法、待定系数法. 2 形如( )1(1)110nnnnnnx ya x

73、yaxya y+=L的方程成为欧拉方程. 二、线性代数二、线性代数 (一一) 行列式行列式考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念行列式的行列式的概念和基概念和基本性质、本性质、行行列式按行列式按行（列）（列）展开展开定理定理行列式按行（列）展开定理 (1)1122,(),0,ijn nijijinjnA ijAaa Aa Aa Aij=+=L设则或1122,0,ijijninjA ija Aa Aa Aij=+=L 即 *,AAA AA E=其中 112111222212*()()nTnjiijnnnnAAAAAAAAAAAA

75、式、定理、概念对应公式、定理、概念矩阵矩阵的概的概念，念，矩阵矩阵的的线线性运算性运算，矩阵矩阵的的乘乘法法，矩阵：ijmnamn 个数排成行列的表格111212122212nnmmmnaaaaaaaaaLLLLLLLL称为矩阵，简记为,().ijm nAamn=或若，则称A是n阶矩阵或n阶方阵. 矩阵的线性运算 1 矩阵的加法设(),()ijijAaBb=是两个mn矩阵，则mn 矩阵()ijijijCcab=+称为矩阵A 与B的和，记为ABC+= 2346 2 矩阵的数乘设()ijAa=是mn矩阵，k是一个常数，则mn矩阵()ijka称为数k与矩阵A的数乘，

76、记为kA. 3 矩阵的乘法设()ijAa=是mn矩阵，()ijBb=是ns矩阵，那么ms矩阵()ijCc=，其中 1 1221nijijijinnjikkjkca ba ba ba b=+=L称为AB与的乘积的乘积，记为CAB= 方阵的幂方阵的幂，方阵乘积方阵乘积的行列式的行列式，矩阵的转矩阵的转置，置，逆矩阵逆矩阵的概念和的概念和性质，性质，矩阵矩阵可逆的充可逆的充要条件，要条件，伴伴随矩阵，随矩阵， 11*TAAA、三者之间的关系三者之间的关系 1)(),(),(),()TTTTTTTTTTAA ABB AkAkAABAB= 111111112)(),(),(),AA ABB

78、| 0;( );0AABEAr AnAAAx=可逆可以表示为初等矩阵的乘积；无零特征值；只有零解矩阵矩阵的初的初等等变换变换，初初等等矩阵矩阵，矩矩阵阵的的秩秩，矩矩阵阵等等价价，分分块矩阵块矩阵及及其运算其运算 1 有关有关矩阵秩矩阵秩的的结论结论 1）秩 r（A）=行秩=列秩； 2）()min( , );m nr Am n 3）0( )1Ar A； 4）()( )( );r ABr Ar B+ 5）初等变换不改变矩阵的秩 6）( )( )()min( ( ), ( ),r Ar Bnr ABr A r B+特别若ABO= 则( )( )r Ar Bn+ 7）若1A存在()( );

79、r ABr B= 若1B存在 ()( );r ABr A= 若()()( );m nr Anr ABr B= 若()()( );m sr Anr ABr A= 8）()0m sr AnAx=只有零解 2 分分块求逆块求逆公式公式 111AOAOOBOB=； 11111ACAA CBOBOB=； 11111AOAOCBB CAB=； 111OAOBBOAO= 这里 A，B 均为可逆方阵 2448 (三三) 向量向量考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念向量的概向量的概念，念，向量的向量的线性组合线性组合和线性表和线性表示，示，向量的向量的线性相关线性相关与线性无与线性

80、无关关 1 有关向量组的线性表示有关向量组的线性表示 (1)12,s L线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示. (2)12,s L若线性无关，12,s L，线性相关可以由12,s L惟一线性表示. (3)可以由12,s L线性表示 1212,)(,ssr =LLr(） 2 有关向量组的线性相关性有关向量组的线性相关性 (1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关. (2) n 个 n 维向量 122,| 0nn LL1线性无关|，， n 个 n 维向量12,n L线性相关 2,| 0n =L1|， n+1 个 n 维向量线性相关. 若12,S L线性无关，则添加分量后仍线性无关；或

81、一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关向量组的向量组的极大线性极大线性无关组，无关组，等等价向量组价向量组，向量组的向量组的秩秩 1 有关向量组的线性表示有关向量组的线性表示 (1)12,s L线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示. (2)12,s L若线性无关，12,s L，线性相关可以由12,s L惟一线性表示. (3)可以由12,s L线性表示 1212,)(,)ssrr =LL( 49 向量组的向量组的秩与矩阵秩与矩阵的秩之间的秩之间的关系，的关系，向向量空间及量空间及相关概念相关概念 1 设()m nr Ar=，则A的秩( )r A与A的行列向量组的线性相关性关系

82、为： (1)若()m nr Arm=，则A的行向量组线性无关. (2)若()m nr Arm=，则A的行向量组线性相关. (3)若()m nr Arn=，则A的列向量组线性无关. (4)若()m nr Arn=正定；| 0,A A 可逆；0iia ，且| 0iiA 2 A，B 正定A+B 正定，但 AB，BA 不一定正定 3 A 正定( )0,0Tf xx Axx= A 的各阶顺序主子式全大于零 A 的所有特征值大于零 A 的正惯性指数为 n 可逆阵 P 使TAP P= 存在正交矩阵 Q，使11,TnQ AQQ AQ=O 其中0,1,2, .iin =L正定1(0),*TkA kAAA正定；

83、| 0,A A可逆；0iia ，且| 0iiA 55 三、概率论与数理统计三、概率论与数理统计 (一一)随机事件和概率随机事件和概率考试内容考试内容对应概念、定理、公式对应概念、定理、公式随机事件随机事件与样本空与样本空间，间，事件的事件的关系与运关系与运算，算，完全事完全事件组件组 1 事件的关系与运算 (1)子事件：AB，若 A 发生，则 B 发生. (2)相等事件：A=B，即AB，且BA. (3)和事件：ABU（或 A+B），A 与 B 中至少有一个发生. (4)差事件：A- B，A 发生但 B 不发生. (5)积事件：ABI（或 AB），A 与 B 同时发生. (6)互斥

84、事件（互不相容）：ABI=. (7)互逆事件（对立事件）： ,ABABABBA= = =IU且记或 2 运算律： (1)交换律：ABBAABBA=UUII， (2)结合律：ABCABC=UUUU（）（）； ABCABC=IIII（）（） (3)分配律：ABCACBC=UIIUI（）（）（） 3 德摩根律：ABAB ABAB=UIUU， 4 完全事件组: 12nAAAL，，两两互斥，且和事件为必然事件，即ijAA = = IUni=1，ij，。概概率率的概的概念，念，概概率率的的基本性质基本性质，古典古典概概率率，几何型概几何型概率率 1 概率：事件发生的可能性大小的度量，其严格定

85、义如下：概率P （）为定义在事件集合上的满足下面 3 个条件的函数： (1)对任何事件 A，P（A） 0； (2)对必然事件，1P =（）； (3)对1211,(),()( ).nijiiiAAAA AijPAP A= =LLU，，，若则 2 概率的基本性质 2856 (1)( )1( );P AP A= (2)()( )();P ABP AP AB= (3)()( )( )();P ABP AP BP AB=+U特别，当BA时，()( )( )P ABP AP B=且( )( )P BP A； ()( )( )( )()()P A B CP APBPCP ABPBC=+U U (

86、)();P ACP ABC+ (4)若12,nA AAL两两互斥，则11()( ().nniiiiPAP A=U 3 古典型概率: 实验的所有结果只有有限个，且每个结果发生的可能性相同，其概率计算公式： ( )AP A =事件发生的基本事件数基本事件总数 4 几何型概率: 样本空间为欧氏空间中的一个区域，且每个样本点的出现具有等可能性，其概率计算公式： ( )AP A =的度量（长度、面积、体积）的度量（长度、面积、体积）概概率率的基的基本公式，本公式，事事件件的的独独立立性，性，独独立重立重复复试试验验 1 概率的基本公式: (1)条件概率: |P ABP B AA

87、BP A=（）（），表示发生的条件下，发生的概率（） (2)全概率公式： 11(|) (),.nniiijiiiP AP A B P BB BijB= = U（） 57 (3) Bayes 公式：1(|) ()(|),1,2,(|) ()jjjniiiP A B P BP BAjnP A B P B=L 注：上述公式中事件iB的个数可为可列个. (4)乘法公式： 12121212()() (|)() (|)P A AP A P AAP A P AA= 12121312121()() (|) (|)(|)nnnP A AAP A P AA P AA AP AA AA=LLL 2 事件的独

88、立性 (1)A 与 B 相互独立()( ) ( )P ABP A P B= (2)A，B，C 两两独立 ()( ) ( );P ABP A P B=()( ) ( );P BCP B P C= ()( ) ( );P ACP A P C= (3)A，B，C 相互独立 ()( ) ( );P ABP A P B= ()( ) ( );P BCP B P C= ()( ) ( );P ACP A P C= ()( ) ( ) ( ).P ABCP A P B P C= 3 独立重复试验: 将某试验独立重复 n 次，若每次实验中事件 A 发生的概率为 p，则 n 次试验中 A 发生 k 次的概率为

89、： ()(1).kkn knP XkC pp= 4 重要公式与重要公式与结论结论 (1) ( )1( )P AP A= (2) ()( )( )()P ABP AP BP AB=+U ()( )( )( )()()P ABCP AP BP CP ABP BC=+UU ()()P ACP ABC+ (3) ()( )()P ABP AP AB= (4) ()( )(),( )()(),P ABP AP AB P AP ABP AB=+ ()( )()()()()P ABP AP ABP ABP ABP AB=+=+U (5)条件概率( |)PB满足概率的所有性质， 2958 例如：. 11(|)

90、1(|)P ABP AB= 121212(|)(|)(|)(|)P AABP ABP ABP A AB=+U 12121(|)(|) (|)P A ABP AB P AAB= (6)若12,nA AAL相互独立，则11()(),nniiiiPAP A=I 11()(1()nniiiiPAP A=U (7)互斥、互逆与独立性之间的关系： A 与 B 互逆A 与 B 互斥，但反之不成立，A 与 B 互斥（或互逆）且均非零概率事件A 与 B 不独立. (8)若1212,mnA AAB BBLL相互独立，则12(,)mf A AAL与 12(,)ng B BBL也相互独立，其中( ), ( )fg

91、分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立. (二二)随机随机变量变量及其概及其概率率分分布布考试内容考试内容对应公式、概念、定理对应公式、概念、定理随机随机变量变量，随机随机变量变量的分的分部部函函数的概念数的概念及其性质及其性质 1 随机变量及概率分布: 取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律 2 分布函数的概念与性质定义：( )(),F xP Xxx= =L (4) 均匀分布 U（a，b）：1,( )0,axbf xba =其他 (7)几何分布1( )

92、:()(1),01,1,2,.kG pP Xkpppk=+= (4)( )(|)()XG pP Xmk XmP Xk=+= (5)离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数. (6)存在既非离散也非连续型随机变量. (三三)多多维随机维随机变量变量及其分及其分布布考试内容考试内容对应公式、概念、定理对应公式、概念、定理多多维随机维随机变量变量及其及其分分布布，二二维维离离散散型型随随机机变量变量的的概概率率分分布布、边缘边缘分分布布和和条件条件分分布布 1 二维随机变量及其联合分布由两个随机变量构成的随机向量（X，Y），联合

93、分布为( , )(,)F x yP Xx Yy= 2 二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布(1)联合概率分布律 ,; ,1,2,ijijP Xx Yypi j=L (2) 边缘分布律 1,1,2,iijjppi=L ,1,2,jijippj=L (3) 条件分布律 |ijijjpP XxYyp= 61 |ijjiipP YyXxp= 二二维维连续连续性性随机随机变变量量的概的概率率密密度度、边缘边缘概概率率密密度度和和条件条件密密度度 1 联合概率密度( , ):f x y (1)( , )0f x y (2)( , )1f x y dxdy+= 2 分布函数：( , )(

94、 , )xyF x yf u v dudv= 3 边缘概率密度： ( )( , )Xfxf x y dy+= ( )( , )Yfyf x y dx+= 4 条件概率密度：|( , )( | )( )X YYf x yfx yfy= |( , )( | )( )Y XXf x yfy xfx= 随机随机变量变量的的独独立性立性和和不不相相关关性，性，常用常用二二维随机维随机变变量量的分的分布布 1 常见二维随机变量的联合分布 (1)二维均匀分布：( , )()x yU D ,( , )()( , )0,x yDS Df x y=1其他 (2)二维正态分布：221212XYN （，）（，

95、） 2121( , )21f x y = 2211222221212()()()()1exp22(1)xxyy + 2 随机变量的独立性和相关性 X 和 Y 的相互独立( , )( )( )XYF x yFx Fy=， (ijijppp=离散型）( , )( )( )(XYf x yfx fy=连续型） X 和 Y 的相关性：相关系数0XY=时，称 X 和 Y 不相关，否则称 X 和 Y 相关两个及两两个及两个个以以上上随随1 两个随机变量简单函数的概率分布 3162 机变量简机变量简单函数的单函数的分布分布 (1)离散型： (,),(, )iiijP Xx YypZg X Y=则 (,

96、)(, )(,)iikkkijg x yzP ZzP g X YzP Xx Yy=（ (2)连续型： ( , )( , ),( , )X Yf x y Zg X Y=则 ( , )( )(, )( , )zg x yzF zP g X Yzf x y dxdy=，( ) ( )zzfzFz= 2 重要公式与结论重要公式与结论 (1) 边缘密度公式： ( )( , ),Xfxf x y dy+= ( )( , ).Yfyf x y dx+= (2)(, )( , )DPX YDf x y dxdy= (3)若（X，Y）服从二维正态分布221212(,)N 则有 221122(,),(,).XNY

97、N X 与 Y 相互独立0=，即 X 与 Y 不相关. 222212112211221212(,2).C XC YN CCCCC C + X 关于 Y=y 的条件分布为： 2211212(),(1).Ny+ Y 关于 X=x 的条件分布为： 2222121(),(1).Nx+ (4)若 X 与 Y 独立，且分别服从211(,),N 212(,),N 则221212(, ) (,0),X YN 63 22221211221122(,).C XC YN CCCC+ (5)若 X 与 Y 相互独立，( )( )f xg x和为连续函数，则()( )f Xg Y与也相互独立. (四四)随机随机变量变

98、量的数的数字字特征特征考试内容考试内容对应概念、定义、定理、公式对应概念、定义、定理、公式随机随机变量变量的数学的数学期期望望（均均值值）、）、方方差差和和标标准准差差及其及其性质性质 1 数学期望离散型：,()iiiiiP Xxp E Xx p=；连续型： ( ),()( )Xf x E Xxf x dx+= 性质： (1)( ), ()()E CC E E XE X= (2)1212()()( )E C XC YC E XC E Y+=+ (3)若 X 和 Y 独立，则()() ( )E XYE X E Y= (4)222()() ()E X

99、YE XE Y 2 方差：222()()()()D XE XE XE XE X= 3 标准差：()D X， 4 离散型：2()()iiiD XxE Xp= 5 连续型：2()()( )D XxE Xf x dx+= 性质： (1)( )0, ()0,()0D CD E XD D X= (2)X 与 Y 相互独立，则()()( )D XYD XD Y=+ (3)2121()()D C XCC D X+= 3264 (4)一般有 ()( )( ) 2( , )( )( ) 2( )( )D X YD XDYCov X YD XDYD XDY=+=+ (5)2()() ,()D XE XCCE X其

100、中 65 (, )1()1,0X YP YaXba= =+=其中 (, )1()1,0X YP YaXba= =+=其中（4）下面 5 个条件互为充要条件： (, )0X Y= (, )0Cov X Y= (, )() ( )E X YE X E Y= ()()( )D XYD XD Y+=+ ()()( )D XYD XD Y=+ 注：X 与 Y 独立为上述 5 个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件. (五五)大数定大数定律律和和中中心心极限定理极限定理考试内容考试内容对应概念、定理、重要公式对应概念、定理、重要公式切切比比雪夫雪夫（Chebyshev）不不等等式，式，切切

101、比比雪雪夫夫大数定大数定律律 1 切比雪夫不等式：2()|()|D XPXE X或 2()|()|1D XPXE X 2 切比雪夫大数定律：设12,nXXXLL相互独立，且 2(),()(1,2,),iiE XD Xi=L则对于任意正数，有 11lim1niniPXn= 3366 伯努利大伯努利大数定律，数定律，辛辛钦钦（Khinchine）大数定大数定律律 1 伯努利大数定律设12,nXXXLL相互独立，同 0- 1 分布(1, )Bp，则对任意正数，有11lim1niniPXpn= 2 辛钦大数定律设12,nXXXLL相互独立同分布，,1,2,iEXi=则对于任意正数，有11li

102、m1niniPXn=；（3）对于( , )FF m n，有 /21/211( ,),( , );( ,)aaF n m Fm nFFn m= （4）对于任意总体X，有 2()()(),()(),()D XE XE XE SD XD Xn= (七七)参参数数估估计计考试考试内容内容对应公式、概念、定理对应公式、概念、定理点点估估计计的的概念概念，估估计计量量与与估估计计值值，矩矩估估计计法法，最最大大似似然估然估计计法法 1为的矩估计，g（x）为连续函数，则 g（）为 g（）的矩估计. 2为的极大似数估计，g（x）为单调函数，则( )g 为( )g 的极大似然估计 32()(),

103、()(),E XE XE SD X=即X，2S分别为总体 (),E X()D X的无偏估计量. 4 由大数定律易知X，2S也分别是(),E X()D X的一致估量. 5 若( ),( )0()EDn= 则为的一致估计. 69 估估计计量量的的评选评选标标准准区间区间估估计计的概的概念念 1 估计量的选取标准：无偏性、有效性、相合性 212(,) )为的置信度是1 的置信区间，g（x）为单调增加（或单调减少）函数，则1221( (), ()()()gggg或，）为g( )的置信度是1 的置信区间单个单个正正态态总体总体的的均均值值和和方方差差的区的区间间估估计计，两两个个正正态总态总体体的

104、的均均值值差差和和方方差差比的比的区间区间估估计计正态总体均值与方差的置信区间待估参数抽样分布双侧置信区间 2 已知 (0,1)XUNn= 222(,)XXP+= 2 未知 (1)XTt nSn= 222(,)SSXtXtnnP Tt+= 2 已知 ( )22121()niiWXn= 22112212222212()()(,)( )( )( )( )2nniiiiXXnnPWnPWn= 未知 ()()22211nSWn= ()()()()222212211,11nSnSnn 3570 12 2212,已知 1212221212()()(0,1)XXUnnN=+ 222221212122

105、2121212(),()XXnnXXnnP U+= 221222,已知但未知 12121212222112212() ()(2)1 1(1 )(1 )2X XTtn nSn nnSnSSn n =+ +=+ 12121221212122211()(2),11()(2)X Xt n nSnnXXt n nSnnPT t+ + += 2122 2122122122(1,1)SFF nnS= 212122221212221222121,(1,1)(1,1)(1,1)21(1,1)2SF nnSSF nnSP FF nnPF nnF = (八八)假假设设检验检验考试考试内容内容对应公式、概念、

106、定理对应公式、概念、定理显著显著性性检检验验，假假设设检检验验的的两类两类错错误误 1 假设检验的一般步骤 (1)确定所要检验的基本假设0H； (2)选择检验的统计量，并要求知道其在一定条件下的分布； (3)对确定的显著性水平，查相应的概率分布，得临界值，从而确定否定域；(4)由样本计算统计量，并判断其是否落入否定域，从而对假设0H作出拒绝还是接受的判断 71 2 假设检验的两类错误统计推断是由样本推断总体，所作的结论不能保证绝对不犯错误，而只能以较大概率来保证其可靠性. 第一类错误是否定了真实的假设，即假设本来成立，但被错误地否认了，成为“弃真” ，检验水平就是犯第一类错误的概率

107、的最大允许值. 第二类错误是把本来不成立的假设错误地接受了，称为“存伪”.犯这类错误的大小一般用表示，它的大小要视具体情况而定. 单个单个及两及两个个正正态总态总体体的的均均值值和和方方差差的的假假设设检验检验原假设 0H 0H下的检验统计量及分布 0H的拒绝域一个正态总体 02(=已知） 0/(0,1)XUnN= 02|/axuun= 02(=未知） 0/ (1)XTSnt n= 02| |(1)/xttnSn= 220= (已知已知) 2102( )niiXWn= 22102( )niaixwn=或212( )awn 220= (未知未知) 2202(1)(1)nSWn= 2220

108、2(1)(1)anSwn=或212(1)awn 两个正12=2212(, 已知） 12221212(0,1)XXUnnN=+ 122221212|XXuunn=+ 3672 态总体 1222122212(,)=未知但 12121211 (2)WXXTSnnt nn=+222112212(1)(1)2WnSnSSn n+=+ 1212122| |11(2)WaXXtSnntnn=+ 2212= （1，2未知） 212212(1,1)SFSF nn= 2112222(1,1)aSfFnnS=或1212(1,1)afFnn 经经常用到常用到的初等数学公式的初等数学公式初等初等代代数数 1乘乘法法

109、公式与公式与因因式分式分解解 222(1)()2a baab b=+ 2222(2)()222a b cabcabacbc+ +=+ 22(3)()()aba b a b=+ 33223(4)()33abaa babb=+ 3322(5)()()ababaabb=+m 123221(6)()()nnnnnnnababaabababb=+ 2比比例例()acbd= (1)abcdbd+=合比定理 73 (2)abcdbd=分比定理 (3)abcdabcd+=合分比定理 (4),.aceaceaceacetbdfbdfbdfbdf+=+若则令于是(5)yxykx k=若与成正比，则（为比例系

110、数） (6)kyxykx=若与成反比，则（为比例系数） 3不不等式等式 10,0nnabnab（）设，则 0,nnabnab（2）设为正整数，则 (3),acaaccbdbbdd+ = logln(1),aNNNaNe=对数恒等式更常用 (2)log ()loglogaaaMNMN=+ (3)log ()loglogaaaMMNN= (4)log ()lognaaMnM= 75 1(5)loglognaaMMn= log(6)loglogbabMMa=换底公式 (7)log 10a= (8)log1aa = 8数列数列（1）等）等差差数列数列设 1a- - - - 首项， na-

111、- - - 通项 d- - - - 公差， nS- - - - 前 n 项和 11)(1)naand=+ 11(1)2)22nnaan nSnnad+=+ 13), ,()2a b cbac=+设成等差数列则等差中项（2）等比数列）等比数列设1a- - - - 首项， q- - - - 公比， na- - - - 通项，则 111)nnaa q=通项 11(1)2)11nnnaa qaqnSqq=前项和（3）常用常用的几的几种种数列的和数列的和 11)123(1)2nn n+ +=+L 222212)123(1)(21)6nn nn+=+L 3876 3333213)123(1)2

112、nn n+=+L 14)1 22 3(1)(1)(2)3n nn nn + +=+L 14)1 2 32 3 4(1)(2)(1)(2)(3)4n nnn nnn + +=+L 9排排列、列、组组合合与二与二项项式定理式定理（1）排排列列 (1)(2)(1)mnPn nnnm=L （2）全全排排列列 (1)3 2 1!nnPn nn= =L （3）组组合合 (1)(1)!()!mnn nnmnCmm nm+=L 组组合合的性质：的性质： 1)mn mnnCC= 1112)mmmnnnCCC=+ （4）二）二项项式定理式定理 12 2(1)(1)(1)()2!nnnnn kknn nn nnk

113、a bana bababbk+=+LLL 平面平面几何几何 1、图形图形面积面积（1）任任意意三角三角形形 111sin()()(),()222SbhabCs sa sb scsabc=+其中平行平行四四边边形形 sinSbhab= （2）梯梯形形 S=中位线中位线高高（3）扇扇形形 21122Srlr = 77 2、旋转旋转体体（1）圆拄圆拄设 R- - - - 底圆半径，H- - - - 拄高，则 1）侧面积 2SRH=侧， 2）全面积 2()SR HR=+全 3）体积 2VR H= （2）圆锥圆锥（22lRH=+母线） 1）侧面积 SRl=侧 2）全面积 ()SR

114、 lR=+全 3）体积 213VR H= （3）球球设 R- - - - 半径， d- - - - 直径，则 1）全面积 24SR=全 2）体积 343VR= （4）球球缺缺（球球被被一个一个平面所平面所截而得截而得到到的的部部分）分） 1）面积 2()SRh=不包括底面 2）体积 2()3hVhR= 3棱拄棱拄及及棱锥棱锥设 S- - - - 底面积，H- - - - 高：（1）棱拄体积 VSH= （2）棱锥体积 13VSH= （3）正棱锥侧面积 12A=母线底周长 3978 三、平面三角三、平面三角 1三角函数间的关系三角函数间的关系（1）sincsc1 = （2）coss

115、ec1 = （3）tancot1 = （4）22sincos1+= （5）221tansec+= （6）221 cotcsc+= （7）sintancos= （8）coscotsin= 2 倍倍角三角角三角函数函数 (1)sin22sincos= 2222(2)cos2cossin12sin2cos1= = 22tan(3)tan21tan= 21 cot(4)cot22cot= 21 cos2(5)sin2= 21 cos2(6)cos2+= 3三角三角函数的和函数的和差差化化积积与与积积化化和和差差公式公式 (1)sinsin2sincos22+= (2)sinsin2 cossin22+

116、= (3)coscos2coscos22+= (4)coscos2sinsin22+= 1(5)sincossin()sin()2=+ 1(6)coscoscos()cos()2=+ 1(7)cossinsin()sin()2=+ 79 1(8)sinsincos()cos()2=+ 4边边角角关系关系（1）正正弦弦定理定理 2sinsinsinabcRABC=， R 为外接圆半径（2）余弦余弦定理定理 2222cosabcbcA=+ 2222cosbcacaB=+ 2222coscababC=+ 5反三角反三角函数函数恒恒等式等式 22(1)arcsinarcsinarcsin(11)xyxyyx=+ 22(2)arccosarccosarccos(1)(1)xyxyxy=m (3)arctanarctanarctan()1xyxyxy=m (4)arcsinarccos2xx+= (5)arctanarc cot2xx+= 40

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