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1、信息科学与工程学院矩阵理论-第六讲兰州大学信息科学与工程学院2004年1信息科学与工程学院上节内容回顾范数在优化问题中的应用几个重要的不等式有限维赋范空间的范数特性内积空间的正交性、构造标准正交向量组的方法内积空间内积空间定义了内积定义了内积赋范空间赋范空间赋予范数赋予范数Hilbert空间空间完备完备线性空间线性空间n维实空间维实空间Rnn维欧氏空间维欧氏空间n维复空间维复空间Cnn维复欧氏空间维复欧氏空间（酉空间）（酉空间）Banach空间空间完备完备2信息科学与工程学院标准正交基Gram-Schmidt正交化定理设X是内积空间，而 是X中线性无关的子集，则存在标准正交集 ，使得Hilbe
2、rt空间中完全的标准正交集，称之为标准正交基标准正交集 的完全性标准正交集 称为是完全的，如果再不能添加元素于其中，使添加后所得的集合仍是标准正交集。换句话说，假使这样的元素存在，其必为0，即若 ，使 ， ，则必有举例3信息科学与工程学院标准正交基 或 ，可由 的标准正交基 的线性组合表示，其中对应于 的系数为又，若 的在同一标准正交基 的线性组合表示中，对应于 的系数为 ，则 4信息科学与工程学院标准正交基 ，在标准正交基 的线性组合表示中，对应于 的系数为 ，则 5信息科学与工程学院酉矩阵对 ，若其n个列向量是一个标准正交基，那么这样的矩阵具有怎样的性质？ 或 ，其中具有这样性质的矩阵称为
3、酉矩阵（Why call it 酉？）酉 = U，maybe:Uniform: not changing，因为给定A为酉矩阵，则即：保持任两向量的内积不变，向量的长度不变，两点之间的距离不变。复内积空间 称为酉空间?酉矩阵的性质：若A是酉矩阵，则 也是酉矩阵证1：A是酉矩阵6信息科学与工程学院酉矩阵酉矩阵的性质：若A是酉矩阵，则 也是酉矩阵证2： 若A, B是酉矩阵，则AB也是酉矩阵证明： 7信息科学与工程学院酉矩阵酉矩阵的性质：若A是酉矩阵，则 ，或证明： 8信息科学与工程学院酉矩阵酉矩阵的性质：A是酉矩阵 A的n个列向量是两两正交的单位向量证明：设矩阵 ，则易见，A是酉矩阵的充分必要条件是
4、9信息科学与工程学院酉相似下的标准形方阵A有n个线性无关的特征向量（A的所有特征值的几何重数等于其代数重数）若此条件不满足，退而求其次，方阵A在复数域上总是能相似于Jordan标准形：分块对角矩阵再退而求其次，不管n阶方阵的特征向量的相关性，也不管其特征值的代数重数和几何重数，方阵A总可以酉相似于一个上三角矩阵10信息科学与工程学院酉相似下的标准形Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵设 ， 则A可酉相似于上三角矩阵T，即 ，且 ，使得证明:用归纳法证明。当n = 1时，显然成立。假设Schur定理对n 1阶矩阵成立设 为A的属于 的特征向量，因 ，将其化为单位特征向量 ， 仍是A
5、的属于 的特征向量。 因 中线性无关的向量可扩充为其基，将 扩充为 的一组基： 11信息科学与工程学院酉相似下的标准形依Gram-Schmidt正交化程序，将其化为 的标准正交基以此标准正交基作列向量，则构成n阶酉矩阵 注意到 及 的列向量的正交性，12信息科学与工程学院酉相似下的标准形 是n 1阶矩阵，根据归纳假设， ，且使得构造分块矩阵 酉矩阵 是酉矩阵13信息科学与工程学院酉相似下的标准形从而 是n阶酉矩阵，且由于相似矩阵有相同的特征值，所以T的对角线元素也是A的特征值14信息科学与工程学院正规矩阵在酉相似的情形下，即若上式中的A是正规矩阵，则A酉相似于对角矩阵，即正规矩阵定义在复数域上
6、的、满足 的方阵称之为正规矩阵酉矩阵正交矩阵Hermite矩阵 或反Hermite矩阵 或实对称矩阵实反对称矩阵对角矩阵15信息科学与工程学院正规矩阵方阵酉相似于对角阵的充要条件设 ，A酉相似于对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵证明：必要性：设 ，且 ，使得令 ，则A是正规矩阵16信息科学与工程学院正规矩阵充分性：由Schur定理， ，且 ，使得 矩阵乘积的共轭转置，等于各矩阵取共轭转置后按反序相乘A是正规矩阵17信息科学与工程学院正规矩阵 T是对角阵18信息科学与工程学院正规矩阵推论1Hermite矩阵的特征值均为实数，反Hermite矩阵的特征值为0或纯虚数。证明：设 是Hermite矩
7、阵，则A是正规矩阵 ，且 使得若A是反Hermite矩阵，可得A是Hermite矩阵Hermite矩阵的特征值均为实数反Hermite矩阵的特征值为0或纯实数19信息科学与工程学院正规矩阵推论2实对称矩阵的特征值均为实数，实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数。推论3设 是正规矩阵， 是A的特征值，x是A的属于特征值的特征向量，则 是 的特征值， x是 的属于特征值 的特征向量。证明：由于A是正规矩阵，所以 ，且 使得两边同时取共轭转置相似的矩阵有相同的特征值： 是 的特征值20信息科学与工程学院正规矩阵设 ，则类似地，由可得 即：当 是A的属于特征值 的特征向量时， 也是 的属于特征值 的特征向量
8、，由于 是 的标准正交基，x在同一标准正交基下的坐标相同，所以，当x是A的属于特征值 的特征向量时，也是 的属于特征值 的特征向量21信息科学与工程学院正规矩阵推论4设 是正规矩阵， 是其特征值， 分别是A的属于 的特征向量。若 ，则x与y正交。证明：由命题中可知： ， 。又由推论3知从而由上式可得当 时， ，故x与y正交22信息科学与工程学院正规矩阵方阵相似于对角阵的充要条件 每个特征值的几何重数等于其代数重数：方阵酉相似于对角阵的充要条件A为正规矩阵：酉相似是相似的特殊情形由于二者均为充要条件，所以可以断定，正规矩阵的特征值的几何重数等于其代数重数对正规矩阵，一定存在酉矩阵，使其相似于对角阵。23信息科学与工程学院正规矩阵化正规矩阵为对角阵由 的基构成的矩阵可使依Gram-Schmidt正交化程序，将T的列向量化为 的标准正交基：则酉矩阵使得24信息科学与工程学院正规矩阵举例：设A是否正规矩阵？若是，求使得 为对角阵的酉矩阵U25信息科学与工程学院正规矩阵因为 ，所以A是Hermite矩阵，从而是正规矩阵求对应于 的特征向量 26信息科学与工程学院正规矩阵可得对应于 的特征向量 ，类似地正规化：于是 ，使得27信息科学与工程学院 28
