第十二章虚位移原理

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1、第第第第十二十二章章章章 虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理 引引引引引引 言言言言言言 约束及其分类约束及其分类约束及其分类约束及其分类约束及其分类约束及其分类 自由度和广义坐标自由度和广义坐标自由度和广义坐标自由度和广义坐标自由度和广义坐标自由度和广义坐标 以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件 虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理 虚位移和理想约束虚位移和理想约束虚位移和理想约束虚位移和理想约束虚位移和理想约束虚位移和

2、理想约束 质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 引引 言言 虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚位移原理求解比列平衡方程更方便。位移原理求解比列平衡方

3、程更方便。 虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍方程，方程， 又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的方法。这些理论构成分析力学的基础。的方法。这些理论构成分析力学的基础。12-1 约束及其分类约束及其分类约约 束束物体运动所受到的限制物体运动所受到的限制1. 几何约束与运动约束几何约束与运动约束yxOAA0l几何约束几何约束 在质点系中，所加的约束只能限在质点系中，所加的约束只能限 制各质点在空间的位置或质点系的制各质点在空间的位置或质点系的位形。位形。COyxu u u uCCC*运动约束运动

4、约束 在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。制它们运动的速度。OyxAxByBxAyABu uA2. 定常约束与非定常约束与非定常约束定常约束定常约束定常约束约束约束方程中不显含时方程中不显含时间的约束：间的约束：定常约束定常约束非定常约束非定常约束非定常约束非定常约束约约约约束方程中显含时束方程中显含时束方程中显含时束方程中显含时间的约束：间的约束：间的约束：间的约束：y yx xu uO OM3. 3. 单单单单面约束与双面约束面约束与双面约束面约束与双面约束面约束与双面约束双面约束双面约束 约束方程可

5、以写成等式的约束。约束方程可以写成等式的约束。B By yx xO O 单面约束单面约束 约束方程不能写成等式、但是可以写成约束方程不能写成等式、但是可以写成 不等式的约束。不等式的约束。B By yx xO O4. 完整完整约束与非完整约束约束与非完整约束 完整约束完整约束 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。但约束方程是可以积分的约束。COyxu u u uC CC*圆轮所受约束为完整约束。圆轮所受约束为完整约束。 非完整约束非完整约束 约束方程包含质点速度、且约束方程不约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束

6、。可以积分的约束。 约束方程不可积分，所以导弹约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。所受的约束为非完整约束。OyxAxByBxAyAu uAB12-2 广义坐标与自由度广义坐标与自由度yxOlA(x, y)yxOA(x1, y1)B(x2, y2)ab广义坐标广义坐标 确定质点确定质点系位形的独立参变量。系位形的独立参变量。广义坐标广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。确定质点系位形的独立参变量。 用用 q1，q2，表示。表示。自自 由由 度度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度

7、数。 对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式函数形式N=3ns 12-3 虚位移和理想约束虚位移和理想约束1. 虚虚 位位 移移xyOBAMF 质点系在给定瞬时，质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小为约束所允许的无限小位移位移虚位移虚位移（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4）在完整定常约束下

8、，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。 虚位移与实位移的区别和联系虚位移与实位移的区别和联系（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；实位移实位移质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。内发生的位移。（2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。MM1drdrerdr 实位移实位移 r 虚位移虚位移 2. 虚虚 功功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功虚功虚

9、功。 W = F r 3. 理想约束理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。们把这种约束系统称为理想约束。 W = M FNi ri = 012-4 虚位移原理虚位移原理FiFNim1m2mi riFi 主动力主动力FNi约束反力约束反力 ri虚位移虚位移Fi + FNi = 0Fi ri + FNi ri = 0Fi ri + FNi ri = 0FNi ri = 0 Fi ri = 0 对于具有理想约束的质点系，其平衡条件对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：是：作用于质点系的主动力在

10、任何虚位移作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零中所作的虚功的和等于零虚位移原理虚位移原理 Fi ri = 0 上式称为虚位移原理的上式称为虚位移原理的解析表达式解析表达式 应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：用以下方法： （1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系； （2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。坐标求变分，从而找出虚

11、位移（坐标变分）间的关系。 曲柄连杆机构静曲柄连杆机构静止在如图所示位置上，已止在如图所示位置上，已知角度知角度j j和和q q。不计机构自。不计机构自身重量，求平衡时主动力身重量，求平衡时主动力 FA 和和 FB 的大小应满足的关的大小应满足的关系。系。例例例例 题题题题 1 1j jB BA AO Oq qFBFA解：解：解：解： 以以以以rrA A和和和和rrB B分别代表主动力分别代表主动力分别代表主动力分别代表主动力 F FA A 和和和和 F FB B 作用点的虚位移，如图所示。作用点的虚位移，如图所示。作用点的虚位移，如图所示。作用点的虚位移，如图所示。因因 AB 是刚杆，两端位

12、移在是刚杆，两端位移在 AB 上的投影应相等，即上的投影应相等，即可见可见可见可见 A A，B B 两点的虚位移大小之比等于两点的虚位移大小之比等于两点的虚位移大小之比等于两点的虚位移大小之比等于由虚功方程有由虚功方程有由虚功方程有由虚功方程有从而解得从而解得从而解得从而解得BAO练习练习已知：已知：OA=r , AB=l, 不计各杆质量不计各杆质量。求：求： 平衡时平衡时F与与M间的关系。间的关系。解：解： 取系统为研究对象取系统为研究对象 Fi ri = 0 由运动学关系可知：由运动学关系可知：MF根据虚位移原理有根据虚位移原理有CBADM 例例 题题 2已知：已知：菱形边长为菱形边长为a

13、 , 求：求： 物体物体C所所受到的压力。受到的压力。螺距为螺距为h，顶角为顶角为2a a ，主动力偶为，主动力偶为M.FNrArC解：解： (1) 取系统为研究对象取系统为研究对象(2) 建立虚位移间的关系建立虚位移间的关系xy解法二解法二： 取建立图示坐标系取建立图示坐标系CBADM FNrCOABCDPQ 例例 题题 3图示操纵汽门的杠杆系统，图示操纵汽门的杠杆系统，已知已知OA/OB = 1/3，求此系统平衡时主求此系统平衡时主动力动力P 和和Q 间的关系。间的关系。rBrA解：解： (1) 取系统为研究对象取系统为研究对象由运动学关系可知：由运动学关系可知： 如图所示椭圆规机构，连杆

14、如图所示椭圆规机构，连杆AB长为长为l，杆重和滑道、，杆重和滑道、铰链上的摩擦力均忽略不计。求在图示位置平衡时，主动力铰链上的摩擦力均忽略不计。求在图示位置平衡时，主动力FA和和FB之间的关系。之间的关系。 例例 题题 4x xy yO OA A B BF FA AF FB By yx xy yO OA A B BF FA AF FB BrrA ArrB B解解解解: : 研研研研究究究究整整整整个个个个机机机机构构构构平平平平衡衡衡衡，系系系系统统统统的的的的约约约约束束束束为为为为理理理理想想想想约约约约束束束束，取取取取坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴如如如如图图图图所所所所示示示示。根根根根据

15、据据据虚虚虚虚位位位位移移移移原原原原理理理理，可可可可建建建建立立立立主动力主动力主动力主动力F FA A和和和和F FB B的虚功方程的虚功方程的虚功方程的虚功方程 由于由于由于由于ABAB杆不可伸缩，杆不可伸缩，杆不可伸缩，杆不可伸缩，ABAB两点的虚两点的虚两点的虚两点的虚位移在位移在位移在位移在ABAB线上的投影应该相等，线上的投影应该相等，线上的投影应该相等，线上的投影应该相等，由图有由图有由图有由图有( (a aa) )( (b b) )将式（将式（将式（将式（b b）代入式（代入式（代入式（代入式（a a），），），），解得解得解得解得因因因因rrB B是任意的，因此得是任意的

16、，因此得是任意的，因此得是任意的，因此得杆杆AB作作平平面面运运动动，Cv为为其其瞬瞬心心，由由瞬心法可建立瞬心法可建立B，A两点的速度关系两点的速度关系yxyOABFAFBrArBCv 为求虚位移间的关系，也可为求虚位移间的关系，也可以用所谓的以用所谓的“虚速度虚速度”法。法。 给系统某个虚位移给系统某个虚位移d drA ，d drB ，如图所示。这样，如图所示。这样B ，A两点虚两点虚位移大小之比也就等于虚速度大位移大小之比也就等于虚速度大小之比，即小之比，即 这个方法中的速度也是虚设的，所这个方法中的速度也是虚设的，所以称为以称为虚速度法虚速度法。因此有因此有因此有因此有同样解得同样解得

17、代入式代入式 如图所示。忽略摩擦及如图所示。忽略摩擦及各构件重量，求平衡时力偶矩各构件重量，求平衡时力偶矩M与与水平拉力水平拉力F之间关系。之间关系。 例例 题题 5分析分析MOACBFxhxC 如图所示。忽略摩擦及如图所示。忽略摩擦及各构件重量，求平衡时力偶矩各构件重量，求平衡时力偶矩M与与水平拉力水平拉力F之间关系。之间关系。 例例 题题 5解：由虚位移原理得解：由虚位移原理得利用运动学关系分析可得利用运动学关系分析可得MOACBFxhxCABCDEGFABCDEGF例例 题题 6 已知图所示结构，各杆都以光滑已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接，且有铰链连接，且有AC=CE=BC=CD=

18、DG=GE=l。在点。在点G作用作用一铅直方向的力一铅直方向的力F，求支座，求支座B的水平约束的水平约束反力反力FBx。 此题可用虚位移原理来求解。用约束力此题可用虚位移原理来求解。用约束力FBx代替水平约束，并将代替水平约束，并将FBx当作主动力。当作主动力。分析分析yxABCDEGFyx解解：此此题题可可用用虚虚位位移移原原理理来来求求解解。用用约约束束力力F FBxBx代替水平约束，并将代替水平约束，并将F FBxBx当作主动力。当作主动力。其变分为其变分为因坐标因坐标 设设B，G二点沿二点沿x，y的虚位移为的虚位移为xB和和yG ，根据虚位移原理，有根据虚位移原理，有代入得代入得解得解

19、得ABCDEGFyx 如果此题在如果此题在G，C二点之间再连上二点之间再连上一根弹簧，弹簧刚度为一根弹簧，弹簧刚度为k，且在图示瞬，且在图示瞬时弹簧已有伸长量时弹簧已有伸长量d d0。此弹簧对。此弹簧对G，C二二点的拉力点的拉力FG ，FC为系统内力，如图所为系统内力，如图所示。示。ABCDEGFyxs其变分为其变分为令令 s=GC ，由图有由图有解解得得有有弹弹簧簧时时，B处处的的水水平约束反力为平约束反力为ABCDEGFyx图示位置，弹簧有伸长量图示位置，弹簧有伸长量 ，则弹簧拉力，则弹簧拉力为为FC=FG=FCG=k 。当当G，C二点间有相二点间有相对伸长的虚位移对伸长的虚位移 时，弹簧

20、力所作虚功为时，弹簧力所作虚功为负。根据虚位移原理，负。根据虚位移原理，将下面这些值代入将下面这些值代入 如图所示为连续梁。载荷如图所示为连续梁。载荷 F1= 800 N ， F2= 600 N ， F3= 1000 N ，尺寸，尺寸a= 2 m ，求固定端，求固定端A的约束力。的约束力。 aaaaaaaABCDEFGH例例 题题 7先考虑求固先考虑求固定端的力偶定端的力偶ABCDEFGHaaaaaaaABCDEFGH用几何法求各点的虚位移。由图可知：用几何法求各点的虚位移。由图可知：解：解： 1. 为了求出固定端为了求出固定端A的约束力偶的约束力偶MA，可将固定，可将固定端换成铰链，而把固定

21、端端换成铰链，而把固定端的约束力偶视作为主动力。的约束力偶视作为主动力。设杆系的虚位设杆系的虚位移用广义坐标移用广义坐标的独立变分表的独立变分表示示 ，有，有再考虑求固定再考虑求固定端的竖向力端的竖向力aaaaaaaABCDEFGHE2. 为了求出固定端为了求出固定端A的约的约束力束力FA，应将，应将A端约束换端约束换成铅直滚轮，而把固定成铅直滚轮，而把固定端的铅直约束力端的铅直约束力FA视作视作为主动力。为主动力。设杆系的虚位移用广义坐标的独立变分设杆系的虚位移用广义坐标的独立变分yA表示表示ABCDFGH用几何法求各点的虚位移。因杆用几何法求各点的虚位移。因杆AB只能平动，故：只能平动，故

22、：aaaaaaaABCDEFGH例例 题题 8求图示连续梁的求图示连续梁的D支座反力。支座反力。PMqll2lABCD解：解： (1) 解除解除D处约束，处约束，代之以反力代之以反力FD ，并，并将将其视为主动力。其视为主动力。PMqABCDFDsEsD其中其中解得解得例例 题题 9 各杆的长度均各杆的长度均为为l，弹簧原长为，弹簧原长为l0。求。求图示平衡位置时图示平衡位置时P、Q满满足的关系。足的关系。ABCPQABCPQ解：用两个主动力解：用两个主动力代替弹簧的弹力，代替弹簧的弹力，并建立如图所示的并建立如图所示的坐标系坐标系xy列虚功方程列虚功方程其中其中所以所以 结论与讨论结论与讨论

23、1. 虚虚 位位 移移 质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移虚位移虚位移 作用在质点上的力在虚位移上所做的功作用在质点上的力在虚位移上所做的功虚功虚功 2. 理想约束理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为们把这种约束系统称为 理想约束。理想约束。 Fi ri = 0 具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零虚位移原

24、理虚位移原理3. 虚位移原理虚位移原理 通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，代之以约束反力，代之以约束反力， 并将此约束反力当作主动力，可和其它主动并将此约束反力当作主动力，可和其它主动力一起应用虚位移原理求解。力一起应用虚位移原理求解。 （1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系； （2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。5. 建立虚位移关系间的方法建立虚位移关系间的方法4. 广义坐标与自由度广义坐标与自由度广义坐标广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。用确定质点系位形的独立参变量。用 q1，q2，表示。表示。自自 由由 度度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。