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1、直角三角形边与角的关系直角三角形边与角的关系专题复习专题复习北师大版九年级下册教材北师大版九年级下册教材复习导航复习导航直角三角形的边角关系是中考的重点内容之一，在中考题中占有较高的比例，设计的知识点不是很多，一是对三角函数概念和特殊角的三角函数值的考察，主要以填空选择形式出现，二是应用三角函数解决实际问题，主要以解答题形式出现。复习时，要正确理解三角函数的概念，把握本质，做到“脑中有图，图中有式“，数形结合。知识回顾知识回顾实际问题情境实际问题情境实际问题情境实际问题情境锐角三角函数的意义锐角三角函数的意义锐角三角函数的意义锐角三角函数的意义锐角三角函数的计算锐角三角函数的计算锐角三角函数的
2、计算锐角三角函数的计算3030，4545，6060角的角的角的角的三角函数值三角函数值三角函数值三角函数值 一般锐角的一般锐角的一般锐角的一般锐角的三角函数值三角函数值三角函数值三角函数值由三角函数由三角函数由三角函数由三角函数值求锐角值求锐角值求锐角值求锐角利用三角函数解决实际问题利用三角函数解决实际问题利用三角函数解决实际问题利用三角函数解决实际问题http:/ 提纲导学提纲导学,自主学习自主学习1 1、锐角三角函数：、锐角三角函数：在在RtRtABCABC中，中，C C是直角，如图是直角，如图（1 1）正弦：）正弦：A A的的_与与_的比叫做的比叫做A A的正弦，记作的正弦，记作sinA
3、sinA， 即即sinA= sinA= _；（2 2）余弦：）余弦：A A的的_与与_的比叫做的比叫做A A的余弦，记的余弦，记作作cosAcosA，即，即cosA=cosA=_；（3 3）正切：）正切：A A的的_与与_的比叫做的比叫做A A的正切，记作的正切，记作tanAtanA，即，即tanA=tanA=_；ABCa b c对边对边斜边斜边斜边斜边对边对边邻边邻边邻边邻边 相互交流相互交流,合作探合作探究究1 1、直角三角形中的直角三角形中的边角关系：角关系：（1）三三边关系关系：_；（2）两两锐角关系：角关系：_；（3）边、角、角间的关系的关系sinA=_；cosA=_cosA=_；t
4、anA=_tanA=_2、同角三角函数关系：、同角三角函数关系： 平方关系：平方关系：sinA+cosA=_；3、互余两角的三角函数关系、互余两角的三角函数关系sin( )=cosB; cosA=sin( ) ; tanAtanB=( ) 4、锐角三角函数的范围锐角三角函数的范围：_sinA_； _cosA_； tanA_，22ABCa b ca a2 2b b2 2c c2 2 A A B B 9090AB 0011011 提纲导学提纲导学,自主学习自主学习cossin60角角 度度三角函数三角函数2、特殊角三角函数值、特殊角三角函数值14530tan由锐角的三角函数值反求锐角由锐角的三角函
5、数值反求锐角填表填表: :已知一个角的三角函数值已知一个角的三角函数值, ,求这个角的度数求这个角的度数( (逆向思维逆向思维) )A=A=A=A=A=A=A=A=A=3 3、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题：问题：仰角与俯角仰角与俯角：在：在进行行测量量时，从下往上看，从下往上看，视线与水平与水平线的的夹角叫做角叫做_角；从上往下看，角；从上往下看，视线与水平与水平线的的夹角叫做角叫做_角角.如图如图1. 提纲导学提纲导学,自主学习自主学习仰仰俯俯铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角坡角与坡度：坡角与坡度：坡面与水平面的夹
6、角叫做坡面与水平面的夹角叫做_角，图角，图2中的中的 是坡角；坡面的是坡角；坡面的_高度高度h和和_距离距离l的比叫坡度。的比叫坡度。即：即：i=_=_ 提纲导学提纲导学,自主学习自主学习 l hi坡坡铅直铅直水平水平 方向角：方向角：从从指指_方向或方向或指指_方向到目标方向所形成的方向到目标方向所形成的小于小于_ _的角叫做的角叫做方向角方向角通常表通常表示示成北成北（南）偏（南）偏东（西）（西）度度. 提纲导学提纲导学,自主学习自主学习3045BOA东东西西北北南南北北南南901 1、（、（20102010年怀化市）在年怀化市）在RtABC中中C=90sinA= 则则cosB的值等于（的
7、值等于（ ）C考点一：注重对锐角三角函数定义的考查考点一：注重对锐角三角函数定义的考查ABCa b c方法一：根据互为余角两个锐角的正余弦的关系方法一：根据互为余角两个锐角的正余弦的关系方法二：定义法方法二：定义法 当堂训练当堂训练,巩固提高巩固提高2.（济南）（济南）在在84的矩形网格中，每格小正方形的边长都的矩形网格中，每格小正方形的边长都是是1，若，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则的三个顶点在图中相应的格点上，则tanACB的值为（）的值为（）ABCD3 A【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义3 3、（2011江江苏苏州）如州）如图，在四
8、，在四边形形ABCD中，中，E、F分分别是是AB、AD的中点，若的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于等于（ ）A. B. C. D.B解：连接BD，E、F分别为AB、AD中点，BD=2EF=22=44、在、在 ABC中，中， C90，则，则sinA+cosA的（的（ ）A.等于等于1 B.大于大于1 C.小于小于1 D.不一定不一定B 方法一：定义法方法一：定义法方法二：特殊值法：方法二：特殊值法：ABCa b c5 5、如图、如图, ,在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，D D是是ACAC上上一点，若一点，若tanDBA
9、 ，求，求AD的长。的长。 CDA B点拨：点拨：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知角放在所构造的直角三角形中。本题已知角放在所构造的直角三角形中。本题已知tantanDBADBA ，所以可，所以可以过点以过点D D作作DEDEABAB于于E E，把，把 DBADBA放于放于RtRtDBEDBE中，然后根据正切函数中，然后根据正切函数的定义，即可弄清的定义，即可弄清DE与与BE的长度关系，再结合等腰的长度关系，再结合等腰Rt的性质，此的性质，此题就不难解答了。题就不难解答了。1 15 51 15 5 E 6 6（2010
10、湖北省咸宁市湖北省咸宁市）如如图，已知直，已知直l1l2l3l4相邻两条平行直线间的距离都是相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则的四个顶点分别在四条直线上，则sin=_。EF分析：分别作BEl1，DFl1，垂足分别为E、F易证：DFAAEBAF=BE=2在RtDFA中由勾股定理得：1 1、（2011湖北黄湖北黄冈）cos30=（ ）C考点二：注重对特殊角的三角函数值的考查考点二：注重对特殊角的三角函数值的考查2 2、（20102010年怀化市）在年怀化市）在RtABC中中, ,C=90，sinA= 则则A=_3 3、（、（20201212
11、年郴州市）年郴州市）计算：算： 1 1、如图所示，某河堤的横断面是梯形如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD,BCADABCD,BCAD，迎水坡迎水坡ABAB长长1313米，且迎水坡米，且迎水坡ABAB的坡度为的坡度为12:512:5，D= D= 则背水坡则背水坡CDCD的长为的长为_米。米。24分析：分别作BEAD，CFAD，垂足分别为E、FEF由四边形BEFC为矩形得CF=BE=12米考点三：重点考查锐角三角函数在实际问题中的应用考点三：重点考查锐角三角函数在实际问题中的应用2 2、如图，如图，一艘渔船以一艘渔船以6海里海里/时的速度至西向东航行，小时的速度至西向东航行，小岛岛P周围周围
12、海里内有暗礁，海里内有暗礁，渔船在渔船在A A处，测得处，测得小岛小岛P P在在北偏东北偏东60方向上，方向上，航行航行2小时后在小时后在B处，测得得小岛小岛P在北在北偏偏东30方方向上，向上，如果如果渔船渔船不改变航向有没有触礁危险？不改变航向有没有触礁危险？C解：过点解：过点P作作PCAB，交，交AB延长线于延长线于C点，根据垂线段最短知点，根据垂线段最短知PC就是最近距离就是最近距离3 3、 如图，某货船以如图，某货船以2020海里海里/ /时的速度将一批重要物资由时的速度将一批重要物资由A A处运处运往正西方向的往正西方向的B B处，经处，经1616时的航行到达，到达后必须立即卸货，时
13、的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以此时接到气象部门通知，一台风中心正以4040海里海里/ /时的速度由时的速度由A A向北偏西向北偏西6060方向移动，距台风中心方向移动，距台风中心200200海里的圆形区域（包括海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。边界）均会受到影响。（1 1）问）问B B处是否会受到影响？请说明理由。处是否会受到影响？请说明理由。（2 2）为避免受到台风的影响，该船应在多长时间内卸完货物）为避免受到台风的影响，该船应在多长时间内卸完货物? ?点拨：点拨：台风中心在台风中心在ACAC上移动，要知道上移动，要知道B B处是否处是否受影响，只
14、要求出受影响，只要求出B B到到ACAC的最短距离并比较这的最短距离并比较这个最短距离与个最短距离与200200的关系，若小于或等于的关系，若小于或等于200200海里则受影响，若大于海里则受影响，若大于200200海里则不受影响。海里则不受影响。B处会受到影响处会受到影响 。（2 2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距风中心从出发到第一次到达距B200B200海里的这海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决。角三角形边角关系，此题就不难得到解决。该船应
15、在该船应在3.8时内卸完货物时内卸完货物。C北北西西 B A1：应应用用三三角角函函数数解解决决实实际际问问题题一一般般是是把把问问题题转转化化成成如如图图所所示示的的 双直角三角形双直角三角形解题思路：解题思路：数学模型数学模型简单实际问题简单实际问题双直角三角形双直角三角形构建构建解解双直角三角形的双直角三角形的公共边公共边是解决问题的关键是解决问题的关键;方程方程是解决问题的是解决问题的有效方法。有效方法。1、（2010年怀化市）在RtABC中C=90sinA= 则tanB的值等于（ ）2、（2011山山东烟台）如果烟台）如果ABC中，中，sinA=cosB= ，则下列最，则下列最确切的
16、结论是（确切的结论是（ ）A. ABC是直角三角形是直角三角形 B. ABC是等腰三角形是等腰三角形C. ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形 D. ABC是锐角三角形是锐角三角形3 3、(20011江江苏镇江江)的的补角是角是120,则=_,sin=_.4 4、（、（2009沈阳市）如图，市政府准备修建一座高沈阳市）如图，市政府准备修建一座高ABAB6m的过街天桥，已知的过街天桥，已知天桥的坡面天桥的坡面ACAC与地面与地面BCBC的夹角的夹角ACBACB的正弦值为的正弦值为0.60.6，则坡面则坡面ACAC长度长度为为 m m5 5、（、（20102010年济宁市年济宁市) )计算：计算：6 6、在玉树地震灾区，抢险队派一架直升飞机去、在玉树地震灾区，抢险队派一架直升飞机去A A、B B两个村庄抢险，飞机在距两个村庄抢险，飞机在距地面地面450450米上空的米上空的P P点，测得点，测得A A村的俯角为村的俯角为 ，B村的俯角为村的俯角为 （如图）求（如图）求A、B两个村庄间的距离（结果精确到两个村庄间的距离（结果精确到个位个位，参考数据，参考数据 ） 当堂自测当堂自测 ,检验效检验效果果BC60103520米米
