函数与极限ppt课件

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1、第一章高高等等数数学学基基础 函数函数 极限极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限机动目录上页下页返回结束1 第一章 二、区二、区间与与邻域域 三、函数的概念三、函数的概念一、集合一、集合第一节机动目录上页下页返回结束函 数2一、集一、集 合合1. 定定义及表示法及表示法具有某种特定性具有某种特定性质的事物的的事物的总体称体称为一个一个集合集合.组成集合的事物称成集合的事物称为元素元素.注注1:集合通常用大写的英文字母集合通常用大写的英文字母表示表示 其元素其元素则用小写的英文字母用小写的英文字母 表示表示 注注2:元素元素 a 属于集合属于集合 A , 记作作元素元素 a 不属于

2、集合不属于集合 A , 记作作注注3: 含有有限个元素的集合称含有有限个元素的集合称为有限集；有限集； 不是有限集的集合称不是有限集的集合称为无限集无限集.( 或) .机动目录上页下页返回结束3注注4: 不含任何元素的集合称不含任何元素的集合称为空集空集， 注注5:对于数集，于数集，习惯上有如下上有如下记号号全体自然数的集合全体自然数的集合记作作 全体整数的集合全体整数的集合记作作 全体有理数的集合全体有理数的集合记作作 全体全体实数的集合数的集合记作作 注注6: M 为数集数集 表示 M 中排除 0 的集 ;表示 M 中排除 0 与负数的集 .记作 . 机动目录上页下页返回结束4表示法表示法

3、：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例:有限集合自然数集(2) 描述法： x 所具有的特征所具有的特征例例: 整数集合整数集合或实数集合 x 为有理数或无理数有理数或无理数机动目录上页下页返回结束5是是 B 的的子集子集 , 或称或称 B 包含包含 A ,2. 集合之集合之间的关系及运算的关系及运算定定义2 .则称 A若且则称称 A 与与 B 相等相等,例如 ,显然有下列关系 : , ,若设有集合记作记作必有机动目录上页下页返回结束6定定义 3 . 给定两个集合定两个集合 A, B, 并集交集且差集且定义下列运算:A余集或补集机动目录上页下页返回结束或其中集合其中集合I 称称

4、为全集全集或或基本集基本集7二、二、 区区间与与邻域域机动目录上页下页返回结束区区间: 是指介于某两个是指介于某两个实数之数之间的全体的全体实数数.这两个两个实数叫做区数叫做区间的端点的端点.称称为开区开区间,称称为闭区区间,记作作记作作8机动目录上页下页返回结束无限区间半开区间注注:两端点两端点间的距离称的距离称为区区间的的长度度.9机动目录上页下页返回结束点点a的的 邻域域其中其中, a 称称为邻域中心域中心 , 称称为邻域半径域半径 .去心去心 邻域域左左 邻域域 :右右 邻域域 :邻域域:以为中心的任何开区间均是点的邻域, 记为).(aU10机动目录上页下页返回结束例例1 表示以点为中

5、心，为半径的邻域， 也就是开区间例例2以点以2为半径的去心邻域为即以1为中心，11定义域三、函数的概念三、函数的概念定定义 记为机动目录上页下页返回结束自变量因变量设和是两个变量,是一个给定的数集.如果对于每个数变量按照一定的法则 f 总有确定的数值和它对应, 则称是的函数,注注: 构成函数的要素构成函数的要素为: 定定义域域与与对应法法则两函数相等两函数相等它它们的定的定义域和域和对应法法则均相同均相同.12(对应法则)(值域)(定义域) 定定义域域 函数函数的表示方法的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.例如例如, 绝对值函数函数定义域值 域机动目录上页

6、下页返回结束13分段函数分段函数:符号函数符号函数当 x 0当 x = 0当 x 0取整函数取整函数当机动目录上页下页返回结束在自在自变量的不同量的不同变化范化范围中中,对应法法则用不用不同的式子来表示的函数同的式子来表示的函数.表示不超表示不超过 x 的最大整数。的最大整数。阶梯曲梯曲线注：注：14例例3 判断下面函数是否相同判断下面函数是否相同, 并并说明理由明理由.与与与与解解:虽然然这两个函数的表两个函数的表现形式不同形式不同,但它但它们的定的定义域域与与对应法法则均相同均相同, 所以所以这两个函数相同两个函数相同.虽然它然它们的自的自变量与因量与因变量所用的字母不同量所用的字母不同,

7、但但其定其定义域域和和对应法法则均相同均相同,所以所以这两个函数相同两个函数相同.机动目录上页下页返回结束15例例4 判断下列函数是否判断下列函数是否为相同的函数相同的函数.不是不是是是不是不是机动目录上页下页返回结束 两个函数是否相同，两个函数是否相同，仅取决于取决于D 和和 f，而，而与与f 的表达形式无关，也与的表达形式无关，也与变量的量的记号无关号无关!16例例5 求函数求函数义域域.解：解：要使要使有意有意义, 显然然要要满足足:即即为整数整数)的定的定所以所以的定的定义域域为机动目录上页下页返回结束17例例6设定定义域域.解：解：求函数求函数的的故函数故函数的定的定义域域:机动目录

8、上页下页返回结束18四四. 函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1) 单调性性时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数增函数 ;单调减函数减函数 .机动目录上页下页返回结束单调增加或增加或单调减少的函数减少的函数 统称称为单调函数函数.注注 函数函数单调与否同所与否同所论区区间有关有关.19设函数机动目录上页下页返回结束(2) 奇偶性奇偶性且有若则称称 f (x) 为偶函数偶函数;若则称称 f (x) 为奇函数奇函数. 说明明: 若若在 x = 0 有定义 ,则当为奇函数奇函数时, 必有yxOx-x偶函数的偶函数的图形关于形关于y 轴对称称奇函数的奇函数的图形关于原点形关于原点对

9、称称20例例 判断下列函数的奇偶性:（非奇非偶）（非奇非偶）（偶函数）（偶函数）（奇函数）（奇函数）（奇函数）（奇函数）机动目录上页下页返回结束21则称称 在在X上有界上有界.为有界函数有界函数. M-MyxOy = f (x)X(3) 有界性有界性机动目录上页下页返回结束否否则称称为无界无界.设函数函数的定的定义域域为数集数集若若 在在D上有界上有界,22设函数函数的定的定义域域为数集数集若若使得使得恒有恒有成立成立, 则称称函数函数在在上有上有上界上界若若使得使得恒有恒有成立成立,则称称函数函数在在上有上有下界下界由上述定由上述定义易易见有下列有下列结论:机动目录上页下页返回结束M2Oyx

10、y = f (x)XM1有下界有下界.在在上有界上有界在在上既有上界又上既有上界又上界上界下界下界23例如例如, 在在内内,恒有恒有或或故函数故函数有界有界, 且且是它的上界是它的上界,是它的下界是它的下界.注意注意:有界有界,无界是相无界是相对于区于区间而言的而言的.机动目录上页下页返回结束是无界的。是无界的。有界；有界；无界；无界；无界。无界。24证明明的定的定义域域为机动目录上页下页返回结束故故 取取 M=1，则对都有都有25(4) 周期性周期性且且则称称为周期函数周期函数 ,若若称称 T 为周期周期.周期周期为 周期周期为( 通常通常说周期函数的周期是指其周期函数的周期是指其最小正周期

11、最小正周期 ).机动目录上页下页返回结束26例如例如: 常量函数常量函数注注 并非任何一个周期函数都有最小正周期并非任何一个周期函数都有最小正周期.每一个正数都是其周期每一个正数都是其周期.但但这个函数无最小正周期个函数无最小正周期!机动目录上页下页返回结束一般地，函数的周期性主要是指三角函数，如y=sinx，y=cosx 的最小正周期是2，y=tanx, y=cotx 的最小正周期是27注意：注意：两个周期函数的和或两个周期函数的和或积是不是周期函数，取是不是周期函数，取决于决于这两个周期函数的周期之比是否是有理数两个周期函数的周期之比是否是有理数.例例下列函数是不是周期函数下列函数是不是周

12、期函数.是是不是不是机动目录上页下页返回结束28五五. 反函数与复合函数反函数与复合函数定定义: 设函数函数 y=f (x)的定的定义域域为D，值域是域是f ( D)如果如果对于每一个于每一个 y f ( D) 都有惟一确定的且都有惟一确定的且满足足 y =f (x) 的的 x D与之与之对应，从而得到一个以从而得到一个以y 为自自变量，量，x为因因变量的函数，我量的函数，我们称此函数称此函数为 y =f (x)的反函数，的反函数，记作作 习惯上上,的反函数的反函数记成成机动目录上页下页返回结束例如例如, 函数函数其反函数其反函数为29性性质: 1) yf (x) 单调递增增其反函数其反函数(

13、减减),存在，且也存在，且也单调递增增 (减减) .机动目录上页下页返回结束2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .3）互为反函数的两个函数，如果原函数为奇函数，则反函数也是奇函数 .30例例对数函数互为反函数 ,它们都单调递增,机动目录上页下页返回结束指数函数xyO其图形关于直线对称 .4) 互互为反反函数的两个函数 及 有31例例解解: 分段函数的反函数分段函数的反函数应当逐段求：当逐段求：解得解得反函数反函数为解得解得反函数反函数为又又对于直接函数于直接函数 y = x 3 来来说其其值域域为 1, 8 ，故反函数故反函数 的定的定义域域为 1, 8 ; x 1, 8 ;机动目录上页下

14、页返回结束32解得解得反函数反函数为综上所述，所求反函数上所述，所求反函数为机动目录上页下页返回结束33 反三角函数反三角函数机动目录上页下页返回结束34它是奇的增函数它是奇的增函数机动目录上页下页返回结束35它是减函数它是减函数机动目录上页下页返回结束36它是奇的增函数它是奇的增函数机动目录上页下页返回结束37它是减函数它是减函数机动目录上页下页返回结束38一些恒等式一些恒等式机动目录上页下页返回结束39(2) 复合函数 则设有函数链称称为由由, 确定的确定的复合函数复合函数 。 机动目录上页下页返回结束注意注意: 构成复合函数的条件构成复合函数的条件 不可少. 例如例如, 函数函数链 :函

15、数但函数链不能构成复合函数 .可定义复合内函数内函数外函数外函数40机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数:41例例 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合:解解:是由是由是由是由四个函数复合而成四个函数复合而成;三个函数复合而成三个函数复合而成;是由是由六个函数复合在而成六个函数复合在而成.机动目录上页下页返回结束42分段函数的复合运算分段函数的复合运算例例设求求解解:当当时, ,或或或或机动目录上页下页返回结束43当当时,或或或或所以所以.机动目录上页下页返回结束441.幂函数函数六六. 初等函数初等函数(1) 基本初等

16、函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数机动目录上页下页返回结束452.指数函数指数函数机动目录上页下页返回结束463.对数函数数函数机动目录上页下页返回结束474.三角函数三角函数正弦函数正弦函数机动目录上页下页返回结束48余弦函数余弦函数机动目录上页下页返回结束49正切函数正切函数机动目录上页下页返回结束50余切函数余切函数机动目录上页下页返回结束51正割函数正割函数机动目录上页下页返回结束52余割函数余割函数机动目录上页下页返回结束53(2) 初等函数由常数及基本初等函数否否则称称为非初等函数非初等函数 . 例如例如 ,并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数

17、 ,经过有限次有限次四四则运算和复合步运算和复合步骤所构成 ,称称为初等函数初等函数 .可表为故为初等函数.机动目录上页下页返回结束注注:一般地分段函数不是初等函数一般地分段函数不是初等函数,形式上分段但可形式上分段但可化化为一个解析表达式的函数可能是初等函数一个解析表达式的函数可能是初等函数.54内容小内容小结1. 集合、区间、邻域的概念定义域对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构 作业 P10 1 (2), (3) , (6); 2, 152. 函数的定义及函数的二要素第一节目录上页下页返回结束55且思考与思考与练习证明证: 令令则由消去得时其中a, b, c 为常数, 且为奇函数 .为奇函数 .1. 设机动目录上页下页返回结束562. 求求的反函数及其定义域.解解: 当时,则当时,则当时,则反函数定义域为机动目录上页下页返回结束57