《概率论与数理统计：第三章 多维随机变量及其分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：第三章 多维随机变量及其分布（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、l 为什么需要讨论多维随机变量？为什么需要讨论多维随机变量？以上我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际以上我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个问题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前以上的随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童的发育情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到他的身高儿童都能观察到他的身高H和体重和体重W。在这里，样本空间。在这里，样本空间S=e某地区的全部学龄前儿童某地区的全部学龄前儿童，
2、而，而H(e)和和W(e)是定义是定义在在S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。一个样本空间的两个随机变量。二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布随机变量的独立性随机变量的独立性两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 设设X1,X2, Xn时定义在同一样本空间时定义在同一样本空间S上的上
3、的随机变量，则向量随机变量，则向量(X1,X2, Xn)称为称为n维随机变维随机变量或量或n维随机向量。维随机向量。 当当n=2时，称为二维随机变量，记为时，称为二维随机变量，记为(X,Y).二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数设设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：，二元函数： F(x,y)=P(Xx) (Yy)=P(Xx, Yy)称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随的分布函数，或称为随机变量机变量X,Y的联合分布函数。的联合分布函数。 二维随机变量二维随机变量3.1 3.1 二维随机变量的概念二维随机变量的概
4、念二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)的含义的含义Px1Xx2,y1x1时时F(x2,y) F(x1,y)；对于任意固定的；对于任意固定的x，当，当y2y1时，时，F(x,y2) F(x,y1)。 思考思考 问问G(x,y)能否作为分布函数？能否作为分布函数？ 答答 不能。不能。 虽然虽然G(x,y)满足分布函数的前三个性质，但不满足第四满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个性质。当个性质。当x1=0,x2=1,y1=0,y2=1时，时， G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0) =1-1-1+0=-10 如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)
5、的所有可能取值是有限对的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称或可列无限多对，则称(X,Y)为离散型随机变量。为离散型随机变量。 二维离散型随机变量的联合分布与边缘分布二维离散型随机变量的联合分布与边缘分布3.2 3.2 二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布 称称PXxi,Y=yjpij，i,j=1,2, 为为(X,Y)的概率函数。的概率函数。列成表格列成表格称联合概率分布律。称联合概率分布律。 概率函数概率函数pij满足满足 YXy1 y2 yn x1p11 p12 p1n xmpm1 pm2 pmn 二维离散型随机变量的概率函数二维离散型随机变量的概率函数 二维离散型随机
6、变量二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数定义为的分布函数定义为二维离散型随机变量的分布函数二维离散型随机变量的分布函数二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布设设(X,Y)为二维随机变量，则称随机变量为二维随机变量，则称随机变量X的概率的概率分布为分布为(X,Y)关于关于X的的边缘分布边缘分布；随机变量；随机变量Y的概率分的概率分布为布为(X,Y)关于关于Y的的边缘分布边缘分布， 其分布函数，密度函数和分布律分别记为：其分布函数，密度函数和分布律分别记为：FX(x),FY(y); fX(x),fY(y);pi.,p.j注：注：相同的边缘分布律可构成不同的联合分布律，这反相同的边缘分布律可
7、构成不同的联合分布律，这反映出的两个分量的结合方式不同，则相依程度不同。映出的两个分量的结合方式不同，则相依程度不同。P67 例例3.1 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其联合分布律为：是二维离散型随机变量，其联合分布律为：考虑二维离散型随机变量的条件概率考虑二维离散型随机变量的条件概率二维离散型随机变量的条件概率二维离散型随机变量的条件概率注意：二维离散型随机变量（注意：二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律不仅）的联合分布律不仅确定了其边缘分布律，也确定了其条件分布律；反确定了其边缘分布律，也确定了其条件分布律；反之，如果知道（之，如果知道（X,Y）的边缘分布律及）的边缘分布律及X=
8、xi发生下的发生下的条件条件Y的条件分布，则的条件分布，则（X,Y）的联合分布律也能被）的联合分布律也能被完完全确定全确定。 例例 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。其一是紧固的。其一是紧固3只螺栓，其二是焊接只螺栓，其二是焊接2处焊点。以处焊点。以X表表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目，以示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目，以Y表示由表示由机器人焊接的不良焊点的数目。具积累的资料知机器人焊接的不良焊点的数目。具积累的资料知(X,Y)具具有分布律：有分布律： XY0 1 2 3PY=j0120.840 0.030 0.02
9、0 0.0100.060 0.010 0.008 0.0020.010 0.005 0.004 0.0010.9000.0800.020PX=i0.910 0.045 0.032 0.0131.000求在求在X=1的条件下，的条件下，Y的条件分布律；的条件分布律；求在求在Y=0的条件的条件下，下，X的条件分布律的条件分布律。解解 在在X=1的条件下，的条件下，Y的分布律为的分布律为 在在Y=0的条件下，的条件下，X的分布律为的分布律为例例 一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为p(0p0、 20 | |1，则称，则称(X, Y) 服从参数为服从参数为 1, 2, 1,
10、 2, 的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 n 二维正态分布二维正态分布N(N( 1 1, , 2 2, , 1 1, , 2 2, , ) ) 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)(X, Y)的密度函数为的密度函数为： 关于关于X的边缘密度函数的边缘密度函数:考虑二维连续型随机变量的条件概率考虑二维连续型随机变量的条件概率考虑二维连续型随机变量的条件概率考虑二维连续型随机变量的条件概率二维连续型随机变量的条件概率二维连续型随机变量的条件概率P79 例3.11例：例： 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为其中其中G是由是由0x2,0yx2围成的区域。求：围成的区
11、域。求：系数系数A；fX(x),fY(y)；fX|Y(x|y),fY|X(y|x)。 设设F(x,y)及及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量分别是二维随机变量(X,Y)的分的分布函数及边缘分布函数。若对所有布函数及边缘分布函数。若对所有x,y有有 PXx,Yy=PXxPYy则称随机变量则称随机变量X和和Y是相互独立的。是相互独立的。等价命题有等价命题有 F(x,y)=FX(x)FY(y) f(x,y)=fX(x)fY(y)PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj,i,j=1,2, 随机变量的独立性定义随机变量的独立性定义3.4 3.4 随机变量的独立性随机变量的独立性定理定理1：二维离
12、散型随机变量（：二维离散型随机变量（X,Y）的两个分量）的两个分量X与与Y相相互独立的充要条件是（互独立的充要条件是（X,Y）的联合分布律与边缘分布律）的联合分布律与边缘分布律满足：满足： 注：一般地，边缘分布律不能确定二维随机变量的联合注：一般地，边缘分布律不能确定二维随机变量的联合分布律，但当分布律，但当X与与Y相互独立时，（相互独立时，（X,Y）的联合分布律）的联合分布律被它的两个边缘分布律所唯一决定。被它的两个边缘分布律所唯一决定。 P81 例3.12定理定理2：二维连续型随机变量（：二维连续型随机变量（X,Y）的两个分量）的两个分量X与与Y相相互独立的充要条件是，在互独立的充要条件是
13、，在f(x,y)的任意连续点（的任意连续点（x,y）处有）处有 注：当注：当X与与Y相互独立时，（相互独立时，（X,Y）的联合分布被它的两）的联合分布被它的两个边缘分布所唯一决定。个边缘分布所唯一决定。 P83例3.13定理定理3：二维正态随机变量（：二维正态随机变量（X,Y）的两个分量）的两个分量X与与Y相互相互独立的充要条件是其联合密度函数中的参数独立的充要条件是其联合密度函数中的参数 定理定理4：若随机变量：若随机变量X与与Y相互独立，相互独立，f(x),g(x)均为连续函均为连续函数，则随机变量数，则随机变量f(X),g(Y)也相互独立。也相互独立。 令 代入 证明定理明定理3 3：由
14、于由于（X，Y）的概率密度）的概率密度为充分性充分性: :若 =0, 则则 必要性必要性:由于若 X与与Y相互独立相互独立, 则则 得 显然，若 X与与Y相互独立，相互独立， =048因此，因此， =0问题的引入问题的引入3.5 3.5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布为了解决类似的问题，讨论二维随机变量为了解决类似的问题，讨论二维随机变量函数函数的分的分布布.二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布l当当( X ,Y )为离散随机变量时，为离散随机变量时，Z也为离散型也为离散型P87 例3.16二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布l当当( X
15、,Y )为连续随机变量时，为连续随机变量时， Z也为连续型也为连续型Z=X+Y的分布的分布Z=X+Y的分布的分布例例 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1)分布，其概率密度为分布，其概率密度为求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。这说明这说明有限个有限个相互独立相互独立的的服从正态分布服从正态分布的随机变量的随机变量的的和服从正态分布服从正态分布则则2024/7/2255即，如果即，如果 X1，X2，X3，.，Xn 相互独立，且相互独立，且M=max(X,Y)与与N=min(X,Y)的分布的分布P89 例3.19n P66 T3 P66 T3n P72 T6 P72 T6，T7T7n P80 T3,T6,T7 P80 T3,T6,T7n P86 T4 P86 T4，T5T5n P92 T5 P92 T5n P93 T13,T16,T17 P93 T13,T16,T17 作业作业
