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1、calculus第三章第三章 导数与微分导数与微分3.1 导数的概念导数的概念3.2 导数基本公式和求导运算法则导数基本公式和求导运算法则3.3 链法则与隐函数的导数链法则与隐函数的导数3.4 高阶导数高阶导数3.5 微分微分3.6 边际与弹性边际与弹性1详细课资calculus3.1 导数导数的概念的概念引例引例1、变速直线运动的瞬时速度、变速直线运动的瞬时速度一、引例一、引例2详细课资calculus（1）当物体作匀速运动时（2）当物体作变速运动时3详细课资calculus引例引例2 2 平面曲线平面曲线的的切线斜率切线斜率 在点在点求曲线求曲线L：处切线的斜率处切线的斜率.割线割线 MN
2、切线切线 MT4详细课资calculus割线割线 MN 的斜率为：的斜率为： 当x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将 随之变动而趋向于切线MT 即割线即割线 MN 的极限位置就是的极限位置就是曲线曲线 L 在点在点 M 处的切线处的切线MT .当当时时,切线切线 MT 的斜率为的斜率为： 5详细课资calculus二、导数的定义二、导数的定义6详细课资calculus7详细课资calculus8详细课资calculus9详细课资calculus注意注意10详细课资calculus11详细课资calculus三、导数的几何意义三、导数的几何意义12详细课资calculus13详细
3、课资calculus四、左、右导数四、左、右导数14详细课资calculus15详细课资calculus例例3. 讨论函数讨论函数在在处的可导性处的可导性.解解所以所以,函数函数在在处不可导处不可导.xyo思考思考16详细课资calculus五、可导性与连续性的关系五、可导性与连续性的关系事实上事实上, 因因在在处可导处可导,即即定理定理所以所以,函数函数在在处连续处连续.17详细课资calculus问题：连续是否一定可导？结论结论函数在其可导的点处一定连续函数在其可导的点处一定连续函数在其连续的点处不一定可导函数在其连续的点处不一定可导函数在其不连续的点处一定不可导函数在其不连续的点处一定不
4、可导18详细课资calculus注意注意（1）曲线处是尖点 在点（2） 曲线在点在点（3）曲线间断 处有 垂直切线 处 19详细课资calculusP89:T8；P106：T1(1)；T2；T5.作业作业先看书再做练习20详细课资calculus 因为处函数无定义，所以该点处函数间断 第二类无穷间断点. 所以是函数的可去间断点，作业讲评作业讲评 P88.5(2)21详细课资calculus P89.6.(5).解法1： 解法2：原式=22详细课资calculus解法3：而解法4：23详细课资calculus解法1：而 解法2： P89.6.24详细课资calculus 25详细课资calcul
5、us六、利用导数定义求极限六、利用导数定义求极限例例4： 解解26详细课资calculus27详细课资calculus解解答答28详细课资calculus注意注意分段函数分段点的导数必须用定义求分段函数分段点的导数必须用定义求例例5： 设函数设函数解解因为29详细课资calculus例例6： 解解30详细课资calculus31详细课资calculus方法一：方法一：例例7：解解32详细课资calculus33详细课资calculus方法二：方法二：34详细课资calculus35详细课资calculus例例10:解解:36详细课资calculus3.2 求导基本公式与求导运算法则求导基本公式
6、与求导运算法则一、求导基本公式一、求导基本公式例例1. 求函数求函数的导数的导数.解解37详细课资calculus例例2. 求指数函数求指数函数的导数的导数.解解38详细课资calculus例例3. 设设求求解解特别地特别地:39详细课资calculus例例4. 设设求求解解正弦函数的导数等于余弦函数正弦函数的导数等于余弦函数.类似得类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数余弦函数的导数等于负的正弦函数.40详细课资calculus二、四则运算求导法则二、四则运算求导法则41详细课资calculus42详细课资calculus43详细课资calculus证毕证毕.44详细课资calculus例例
7、5. 解解45详细课资calculus解解:例例6 46详细课资calculus常用公式：常用公式：例例7. 解解47详细课资calculus解解答答48详细课资calculusP117:T5(6),(9);P117:T5(6),(9); T6(2);T8. T6(2);T8.作业作业先看书再做练习49详细课资calculus三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则50详细课资calculus51详细课资calculus解解:例例8. 52详细课资calculus解解例例6. 53详细课资calculus四、导数的基本公式四、导数的基本公式54详细课资calculus55详细课资calculu
8、s56详细课资calculus3.3 链法则与隐函数的导数链法则与隐函数的导数一、复合函数求导法则（链法则）一、复合函数求导法则（链法则）猜想猜想57详细课资calculus58详细课资calculus59详细课资calculus60详细课资calculus解解:例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数61详细课资calculus更简明更简明的过程的过程62详细课资calculus注意注意63详细课资calculus解解例例2更简明更简明的过程的过程64详细课资calculus解解例例3更简明更简明的过程的过程65详细课资calculus66详细课资calculus例例4 解解或或67详细课资
9、calculus复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.设设则则或或68详细课资calculus例例5求解解69详细课资calculus更简明更简明的过程的过程70详细课资calculus这里求这里求y对对x的导数是从外向里经过的导数是从外向里经过 每个中间每个中间在熟悉了法则之后在熟悉了法则之后,运算就不必写出中间变量运算就不必写出中间变量,变量的导数最后导到变量的导数最后导到x上上.因此对复合函数求导因此对复合函数求导搞清楚复合层次后搞清楚复合层次后,只要从外层向里层逐层求导只要从外层向里层逐层求导即可即可.71详细课资calculus例例6求
10、解解72详细课资calculus易犯的错误易犯的错误73详细课资calculus 例例774详细课资calculus例例8求解解75详细课资calculus例例9 9解解76详细课资calculus例例10解解77详细课资calculus小结小结复合函数求导首先复合函数求导首先必须搞清函数是必须搞清函数是怎样复合的怎样复合的.求导时求导时由外到里逐层求导由外到里逐层求导.注意注意:一定要到底一定要到底,不要遗漏不要遗漏 , 不要重复不要重复.78详细课资calculus例例11 例例12 79详细课资calculus80详细课资calculus解解答答81详细课资calculusP127:T3
11、(3),(7),(10),(15),(20).P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).作业作业先看书再做练习82详细课资calculus83详细课资calculus形如形如，的函数称为的函数称为显函数显函数.若若与与的函数关系由方程的函数关系由方程所确定所确定,称这类函数为称这类函数为隐函数隐函数.二、隐函数求导法二、隐函数求导法又如，又如，84详细课资calculus解解例例1285详细课资calculus解解例例13 86详细课资calculus解解例例1487详细课资calculus小结小结 方程两边方程两边对对隐函数的求导方法隐函数的求导方法:视视为为的函数的函数由
12、由复合函数求导法则复合函数求导法则,的方程的方程,解出即可解出即可.得到关于得到关于注意注意:结果中既含结果中既含 也含也含 .88详细课资calculus解解答答解解89详细课资calculus三、对数求导法三、对数求导法两类函数两类函数有简便求有简便求先给这些函数取对数,然后再求导就可使求导运算简便多了,这种先取对数然后再求导的方法就叫对数求导法.90详细课资calculus解解例例15 91详细课资calculus例例1616 求的导数 . 解解 解法解法1 两边取对数 , 化为两边对 x 求导92详细课资calculus解法解法2 将函数化为复合函数93详细课资calculus94详细
13、课资calculus95详细课资calculus96详细课资calculus97详细课资calculus98详细课资calculus99详细课资calculus例例2121100详细课资calculus2).两边对两边对求导求导;3).两边同乘以两边同乘以得得4).将将结果表示为结果表示为的显函数的显函数.小结小结 对数求导法对数求导法 常用于多因子乘幂求导，常用于多因子乘幂求导，或幂指函数求导或幂指函数求导.对数求导法的步骤对数求导法的步骤:1). 函数式两边取自然对数函数式两边取自然对数;101详细课资calculus 四、四、分段函数求导法分段函数求导法解解:102详细课资calculu
14、s103详细课资calculus易犯的错误易犯的错误104详细课资calculus105详细课资calculus解解答答解解106详细课资calculus P128 T4 (4)；T5； T6 (1),(2).作业作业先看书再做练习107详细课资calculus3.4 高阶导数高阶导数一、高阶导数一、高阶导数记作：记作：或或即即类似地二阶导数的导数，叫做 的三阶导数，记作：记作：或或108详细课资calculus三阶导数的导数，叫做三阶导数的导数，叫做四阶导数四阶导数，记作：记作：或或阶导数的导数，叫做阶导数的导数，叫做 阶导数阶导数，记作：记作：或或函数函数有有阶导数，阶导数， 也说函数也说
15、函数为为阶可导阶可导.二阶及二阶以上的导数统称为二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数,109详细课资calculus 例例1 1 y =(1+x2)arctanx 求y 解解 例例2 2 证明证明 所以所以 y 3y1110详细课资calculus二、隐函数的二阶导数二、隐函数的二阶导数例例3 解解 111详细课资calculus 解：解：方程两边同时对方程两边同时对x求导求导 上式两边同时再对上式两边同时再对x求导求导例例4112详细课资calculus三、几个初等函数的三、几个初等函数的 n n 阶导数阶导数 解解 类似地有类似地有113详细课资calculus114详细课资calc
16、ulus115详细课资calculus 得到 116详细课资calculus117详细课资calculus118详细课资calculus由上面各阶导数可以得到119详细课资calculus四、高阶导数的运算公式四、高阶导数的运算公式函数和差的 n 阶导数 (uv)(n)u(n) v(n) 函数积的 n 阶导数 这一公式称为莱布尼茨（Leibniz)公式 用数学归纳法可以证明：120详细课资calculus上面这些导数外表和二项展开式很相似，如果上面这些导数外表和二项展开式很相似，如果设设121详细课资calculus122详细课资calculus小结小结高阶导数的求法高阶导数的求法(1) 逐阶
17、求导法逐阶求导法(2) 利用归纳法利用归纳法(3) 间接法间接法 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式如如,(4) 利用莱布尼兹公式利用莱布尼兹公式123详细课资calculus124详细课资calculus解解答答125详细课资calculus126详细课资calculus 例例 127详细课资calculus作业作业先看书再做练习 P133:T1(4),(8) ;T4(2),(3);T7.128详细课资calculus3.5 微分微分一、微分的概念一、微分的概念 问此薄片面积改变了多少? 变到长由引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边设薄片边长为 x , 面积为S,
18、则当 x 在取得增量时,面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小量时为故称为面积函数在 的微分129详细课资calculus定义定义:130详细课资calculus证证 (必要性必要性)131详细课资calculus(充分性充分性) 设函数设函数在点在点处处可导可导,即即与与无关无关,所以函数所以函数在点在点处处可微可微.且且132详细课资calculus 函数y f (x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作dy 或 df(x) 即dyf (x)x 例如 dcos x(cos x)x sin x x dex(e x)xexx 133详细课资calculus 因为当y x 时 dydx(
19、x)xx 所以通常把自变量 x 的增量x称为自变量的微分 记作dx 即 dx x 因此 函数 y f (x) 的微分又可记作于是有于是有可微与可导的关系可微与可导的关系 函数f (x)在点x0可微 函数f (x)在点x0可导 函数在点x0的微分为 134详细课资calculus切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量微分的几何意义微分的几何意义135详细课资calculus增量与微分的关系增量与微分的关系由微分定义知由微分定义知,当当时时,因此因此,当当很小时很小时,有有近似等式近似等式:例如例如求在求在解：解：136详细课资calculus二、基本微分公式与微分法则二、基本微分公式与微分法则根据根据
20、可得基本初等函数的可得基本初等函数的微分公式：微分公式：137详细课资calculus例例1.1. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明: : 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意: 数学中的反问题往往出现多值性.138详细课资calculus 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变性微分形式不变性5. 复合函数的微分则复合函数 由此可见 无论u是自变量还是中间变量 微分形式 dy f (u)du 保持不变139详细课资calculus140详细课资calculus例4 若方程 xy =cosy -x2
21、确定y =f（x） 解一：两边对x求导解二：两边同时微分141详细课资calculus142详细课资calculus143详细课资calculus解：两边同时微分例8 若方程 （arcsinx）lny -e2x + tany = 0 确定 y =f（x），求 144详细课资calculus例例9 设解：145详细课资calculus例10 解：146详细课资calculus 解解答答 解解 147详细课资calculus三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用由微分定义知由微分定义知,当当时时,因此因此,当当很小时很小时,有有近似公式近似公式:(1)即即(2)(3)148详细课资c
22、alculus在在(2)式中令式中令当当很小时很小时,(4)149详细课资calculus150详细课资calculus 例例1313 计算计算sin 30 30 的近似值的近似值 解 有 sin(x0x) sin x0 cos x0 xsin 3030即 sin 303005076 151详细课资calculus152详细课资calculus 说明说明 ： 曲线在切点附近可用其切线来近似代替该曲线.且离切点越近近似程度越好. 153详细课资calculus近似公式表示曲线附近可用切线.在切点近似曲线，且离切点越近近似程度越好.154详细课资calculus解解答答155详细课资calculu
23、s类似可证类似可证,当当很小时很小时,有近似公式有近似公式:156详细课资calculus 如 解解157详细课资calculus作业作业先看书再做练习 P142:T6(4),(6),(9);T7(2).158详细课资calculus例11解解159详细课资calculus习题讲评习题讲评P134,4（2）解解方法方法1160详细课资calculus方法方法2161详细课资calculus3.6 边际与弹性边际与弹性一、边际的概念一、边际的概念162详细课资calculus163详细课资calculus164详细课资calculus165详细课资calculus166详细课资calculus1
24、67详细课资calculus168详细课资calculus169详细课资calculus170详细课资calculus 因为边际量是一个绝对变化量，不能反映因为边际量是一个绝对变化量，不能反映 变化程度的大小，比如某商品的价格上涨变化程度的大小，比如某商品的价格上涨1%时，时， 需求量将如何变化？投资增加一个百分点时，需求量将如何变化？投资增加一个百分点时， 国内生产总值将增加百分之几？等等，为此，国内生产总值将增加百分之几？等等，为此， 我们引入一个无量纲的相对变化量，即弹性我们引入一个无量纲的相对变化量，即弹性.二、弹性函数二、弹性函数171详细课资calculus1、弹性的概念、弹性的概
25、念弹性的意义：弹性的意义：172详细课资calculus173详细课资calculus174详细课资calculus幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数.175详细课资calculus2、弹性的经济应用、弹性的经济应用(1)需求价格弹需求价格弹性性说明说明176详细课资calculus即需求量下降的幅度将大于价格上升的幅度；即需求量下降的幅度将大于价格上升的幅度；即需求量下降的幅度将小于价格上升的幅度；即需求量下降的幅度将小于价格上升的幅度；即需求量下降的幅度与价格上升的幅度相同即需求量下降的幅度与价格上升的幅度相同.177详细课资calculus1
26、78详细课资calculus179详细课资calculus注意注意180详细课资calculus(2)供给价格弹性供给价格弹性181详细课资calculus(3)收益价格弹性收益价格弹性182详细课资calculus183详细课资calculus184详细课资calculus作业作业先看书再做练习练习练习3.6P150:T3,T4.185详细课资calculus（A）充分必要条件）充分必要条件 （B）充分但非必要条件）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件）既非充分又非必要条件186详细课资calculus练习题讲评练习题讲评P151.1187详细课资calculus188详细课资calculus189详细课资calculus190详细课资calculus191详细课资calculus 例例 192详细课资calculus193详细课资
