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1、如何研究波动现象如何研究波动现象动力学方法动力学方法依据各领域的基本原理依据各领域的基本原理得到振动的动力学方程得到振动的动力学方程描述振动的运动方程描述振动的运动方程振动现象：振动现象：依据各领域的基本原理依据各领域的基本原理得到得到波动的动力学方程波动的动力学方程波动的运动方程波动的运动方程 （波方程）（波方程）求解求解求解求解波动现象：波动现象：动力学方法动力学方法5.2 平面波的动力学方程平面波的动力学方程将波将波方程方程对对时间求二次偏导时间求二次偏导，得：，得：再对再对位置求二次偏导位置求二次偏导，得，得：本节我们讨论在什么情况下将会形成波本节我们讨论在什么情况下将会形成波由此得由
2、此得对比以上两个方程，对比以上两个方程，这就是这就是波的动力学方程波的动力学方程，称为波动方程。，称为波动方程。 u等于波的波速等于波的波速.任何物理量任何物理量满足上式满足上式,则以波动形式传播。则以波动形式传播。例题例题5.7证明一小横振动将沿着绳以波的形式传播，波证明一小横振动将沿着绳以波的形式传播，波速为速为T绳的张力绳的张力 绳的线密度绳的线密度证明证明：xx+ xxy如图，由牛顿定律有如图，由牛顿定律有（1） （2） 小横振动：小横振动：由（由（2 2）：）：（1）式可写为：）式可写为：即：即：由此可见，绳上的小横振动将以波的形式传播，由此可见，绳上的小横振动将以波的形式传播，波速
3、波速 其中，其中，T 是绳的张力，是绳的张力，为绳的线密度。为绳的线密度。波动动力学方程的推导步骤：波动动力学方程的推导步骤：取微元对象取微元对象受力分析受力分析列动力学方程列动力学方程取近似得取近似得微分方程微分方程如果绳在振动过程中还受到横向外力如果绳在振动过程中还受到横向外力F F作用，设横向力作用，设横向力的力密度的力密度( (F F/ / ) )为为f f( (x x, ,t t) )，则在受迫振动情况下横波的波动方程为则在受迫振动情况下横波的波动方程为证明证明：由：由麦克斯韦麦克斯韦方程组的微分形式：方程组的微分形式：例题例题5.8 证明电磁场在空间的传播是电磁波。证明电磁场在空间
4、的传播是电磁波。真空中，无自由电荷真空中，无自由电荷（1）式两边同时取旋度：）式两边同时取旋度：代代入（入（3）式，得：）式，得：利用公式利用公式并并利用麦氏方程（利用麦氏方程（2），得：），得：得：得：这是一个三维的波动方程。对一维情况这是一个三维的波动方程。对一维情况，于是我们得到，电磁场在空中可以形成电磁波。电于是我们得到，电磁场在空中可以形成电磁波。电磁波在真空中的传播速度为磁波在真空中的传播速度为波动动力学方程：波动动力学方程：步骤：步骤：取微元对象取微元对象受力分析受力分析列动力学方程列动力学方程取近似得取近似得微分方程微分方程5.3 波动的能量和能流波动的能量和能流一一.波的能量
5、波的能量 波动过程：波动过程： 振动状态的传播振动状态的传播(相位相位)传播过程中传播过程中, ,媒质中的质点由不动到动，具有动能媒质中的质点由不动到动，具有动能, ,介质形变具有势能介质形变具有势能. 能量的传播能量的传播u 以细杆中的纵波为例：以细杆中的纵波为例：xodm= dVdV=dxdS 小体元：小体元： 动能：动能：dxx势能：势能： 体积元因形变而具有弹性势能体积元因形变而具有弹性势能 dy为体积元的伸长量为体积元的伸长量uxodxxoy+dyy k为棒的劲度系数为棒的劲度系数可证：可证： dy为体积元的伸长量为体积元的伸长量由由杨氏弹性模量定义式：杨氏弹性模量定义式：uxodx
6、xoy+dyy胡克定律胡克定律 k为棒的劲度系数为棒的劲度系数1sa推导推导 ：u2 = Y/ 质元质元dm的总能的总能: (1)任意时刻任意时刻,质元的质元的动能和势能都相等动能和势能都相等。讨论讨论 能量极小能量极小 极大极大 (2) 微元的微元的总能总能量随时间作周期性的量随时间作周期性的变化变化。微元。微元的动能、势能、总机械能步调一致。的动能、势能、总机械能步调一致。 (3) 微元机械能不守恒微元机械能不守恒这正表明这正表明机械波是要向外传播能量的机械波是要向外传播能量的。这一点，刚好与简谐振动机械能守恒相反。这一点，刚好与简谐振动机械能守恒相反。 若若x一定一定,=恒量恒量势能最大
7、时势能最大时,动能最小动能最小;动能最大时动能最大时,势能最小势能最小。但系统的但系统的 总机械能守恒总机械能守恒。简谐振动的能量简谐振动的能量(4)能量密度能量密度(单位体积中波的能量单位体积中波的能量)平均能量密度平均能量密度：二二.波的能流密度波的能流密度(波强波强) 1 能流能流: 单位时间单位时间内，通过垂直于波动传播方向的内，通过垂直于波动传播方向的 某一面积某一面积的能量。的能量。Sut设波速为设波速为 u，在在 时间内通过垂直于波速截面时间内通过垂直于波速截面 的能量的能量:为截面所在位置的能量密度为截面所在位置的能量密度能流能流：平均能流平均能流:2 能流密度能流密度: 通过
8、垂直于波动传播方向的通过垂直于波动传播方向的单位面积单位面积的的 能流能流。平均能流密度平均能流密度: 通过垂直于波动传播方向的通过垂直于波动传播方向的单位面积单位面积的平均能流，通常称为的平均能流，通常称为能流密度或波强能流密度或波强。声强声强矢量矢量单位时间内通过垂直于波速方向的单位面积的平均单位时间内通过垂直于波速方向的单位面积的平均能量能量例题例题5-10 求一简谐振动的点波源在均匀无吸收介质中求一简谐振动的点波源在均匀无吸收介质中的波方程。设在离波源的波方程。设在离波源R1处的质点的振幅为处的质点的振幅为A1。R1rO解：解：而而有：有：由此求得任意质点振幅：由此求得任意质点振幅：以
9、波源为圆心作另一同心圆，单位时间内通过两面的以波源为圆心作另一同心圆，单位时间内通过两面的能流相等。能流相等。平面简谐波：平面简谐波：5.4惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射波的衍射Huygens principle作用：作用：媒媒质质中中波波动动传传播播到到的的各各点点,都都可可以以看看作作是是发发射射子子波波的的波源；波源；其后任一时刻其后任一时刻,这些子波的包迹就是新的波阵面。这些子波的包迹就是新的波阵面。 1 惠更斯原理惠更斯原理t时刻波面时刻波面 t+ t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向 R1 o R2 球面波球面波应用：应用：2 波的衍射波的衍射波波传传播播过过程程中中当当遇遇
10、到到障障碍碍物物时时, ,能能绕绕过过障障碍碍物物的的边缘而传播的现象。边缘而传播的现象。 （波的重要特征）（波的重要特征） 水水波波的的衍衍射射利用惠更斯原理作图可说明衍射现象的产生：利用惠更斯原理作图可说明衍射现象的产生：缝宽的大小与波长的关系有关缝宽的大小与波长的关系有关缝宽比波长大的多，缝宽比波长大的多，衍射不明显；衍射不明显；缝宽与波长差不多，缝宽与波长差不多，衍射比较明显；衍射比较明显；缝宽小于波长，缝宽小于波长，衍射更明显。衍射更明显。 衍射明显与否：衍射明显与否：1 波的叠加原理波的叠加原理5.5 波的干涉波的干涉 驻波驻波 在相遇区域内，任一点的振动为各个波单独在该点在相遇区
11、域内，任一点的振动为各个波单独在该点 产生的振动位移的矢量和。产生的振动位移的矢量和。 两列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特性两列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好像没有遇到其它波一样。来的方向继续前进，好像没有遇到其它波一样。 适用条件适用条件：波强较小：波强较小2 波的干涉波的干涉相干条件相干条件 在相遇区域会出现有些地方的在相遇区域会出现有些地方的振动始终加强振动始终加强，而另一些的振动而另一些的振动始终减弱始终减弱的稳定分布的现象。的稳定分布的现象。波相遇时的一种特殊
12、现象波相遇时的一种特殊现象 具有恒定的相位差具有恒定的相位差 振动方向相同振动方向相同 两波源具有相同的频率两波源具有相同的频率满足相干条件的波源满足相干条件的波源称为称为相干波源相干波源s2s1r1r2pS1: y10=A1cos( t+ 1)S1 p:S2 p:P点的合振动为点的合振动为 y =y1+y2=Acos( t+ )(同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成)它们它们单独在单独在P点引起的振动分别为：点引起的振动分别为：S2: y20=A2cos( t+ 2)定量计算定量计算式中式中:式中式中P点的合振动为点的合振动为 y =y1+y2=Acos( t+ )合振动的强度合
13、振动的强度:干涉后波的强弱取决于两列波的相位差：干涉后波的强弱取决于两列波的相位差： , A=A1+A2 , (k=0, 1, 2) , A=|A1-A2| , 加强加强(相干相长相干相长)减弱减弱(相干相消相干相消)特例：特例： , A=A1+A2 , 加强加强(相干相长相干相长)， , A=|A1-A2| , 减弱减弱(相干相消相干相消)，加强加强减弱减弱 s2s1r1r2p波程差波程差注意前提：注意前提： 相干波源的初位相相同。相干波源的初位相相同。2、相长相消的、相长相消的“波程差波程差”条件条件k=0， 1， 2.1、相长相消的、相长相消的“位相差位相差”条件条件k=0， 1， 2.
14、小结小结例题例题5-11 相干波源相干波源S1超前超前S2 , A1=A2=0.2m, 频率频率 =100Hz, r1=4m, r2=3.75m,两种媒质中的波速分别为两种媒质中的波速分别为 u1=400m/s, u2=500m/s， 求两求两媒质界面上媒质界面上p点的合振幅。点的合振幅。=0=A1+A2 =0.4m 两波到达两波到达p点的位相差点的位相差:s2s1r2r1pu2u1解：解：例例5-12 图为声音干涉仪。图为声音干涉仪。S为声源，为声源，D为人耳，为人耳，B可以可以上下滑动。现当上下滑动。现当B在某一位置时，听到的声音为最小在某一位置时，听到的声音为最小值，强度值，强度100单
15、位；往下移动单位；往下移动1.65cm时声音逐渐增强时声音逐渐增强为最大，强度为最大，强度900单位。求单位。求1）声源频率，）声源频率，2）抵达人）抵达人耳的两波的相对振幅（设声速耳的两波的相对振幅（设声速330m/s。）。）解：解：3 驻驻 波波（干涉的特例干涉的特例 ）Standing wave 相干波相干波, 振幅相等振幅相等, 在同一直线上反向传播。在同一直线上反向传播。uu特点：特点：不是振动的传播，而是不是振动的传播，而是媒质中各质点都作媒质中各质点都作稳定的振动。稳定的振动。设设有有两两列列相相干干波波，分分别别沿沿X X轴轴正正、负负方方向向传传播播，选选初初相位均为零相位均
16、为零的表达式为：的表达式为：驻波的形成驻波的形成:其合成波称为驻波其合成波称为驻波. .其表达式：其表达式：驻波的表达式驻波的表达式：此式表明，当驻波形成时，弦线上各点作振幅为此式表明，当驻波形成时，弦线上各点作振幅为 、角频为、角频为 （等于原来波的角频率）（等于原来波的角频率）的简谐振动。的简谐振动。无波形的跑动现象（即非行波）无波形的跑动现象（即非行波） (1)驻波方程实际上是一个振动方程，只不过各驻波方程实际上是一个振动方程，只不过各点的振幅随坐标点的振幅随坐标x的的不同而变化。不同而变化。 整体上看，驻波的整体上看，驻波的波形驻定在原地起伏变化波形驻定在原地起伏变化而而不传播不传播,
17、 这是驻波中这是驻波中“驻驻”字的意思。字的意思。 (2)波腹和波节位置波腹和波节位置振幅最大的点称为振幅最大的点称为波腹波腹振幅为零的点称为振幅为零的点称为波节波节讨论讨论波节：波节：即即容易算出，容易算出，相邻的两个波节相邻的两个波节(或波幅或波幅)之间的距离是之间的距离是 /2波腹：波腹：即即实验中测量波长的一种常用的方法。实验中测量波长的一种常用的方法。 (3)驻波中的位相驻波中的位相各点相位均为各点相位均为各点相位均为各点相位均为 在相邻的两波节间，各点的振动位相相同；而在相邻的两波节间，各点的振动位相相同；而在波节两旁，各点的振动位相相反。在波节两旁，各点的振动位相相反。因此因此,
18、驻波实际上就是分段振动着的驻波实际上就是分段振动着的, 没有振动状没有振动状态或相位的传播。这是驻波中态或相位的传播。这是驻波中“驻驻”字的又一层意字的又一层意思。思。各点，相位均为各点，相位均为各点，相位均为各点，相位均为内，内，内，内，是波节，是波节，如：如：(4)驻波中的能量驻波中的能量1 最大位移最大位移 Ek=0Ep：波腹处势能为零，波节处势能最大。波腹处势能为零，波节处势能最大。2 平衡位置平衡位置 12 Ek Ep波腹波腹 00，波节，波节max0波腹波腹 0max，波节，波节00 Ep=0， Ek：波腹处动能最大，波节处动能为零。：波腹处动能最大，波节处动能为零。主要体现为波腹
19、的动能主要体现为波腹的动能主要体现为波节的势能主要体现为波节的势能 从从整整个个过过程程来来看看, 能能量量在在相相邻邻的的波波腹腹、波波节节间间来来回回转转移移, 波波节节或或波波腹腹两两侧侧的的媒媒质质互互不不交交换换能能量量。因因此此，驻驻波波是是不不传传播播能能量量的的。这这是是驻驻波中波中“驻驻”字的再一层意思。字的再一层意思。n=1,2,最低的频率称为最低的频率称为基频基频，其它整倍数频率为，其它整倍数频率为谐频谐频。两端固定弦的振动模式两端固定弦的振动模式这些频率称为弦振动的这些频率称为弦振动的本征频率本征频率，对应的振动方式，对应的振动方式称为称为简正模式简正模式。 (5)简正
20、模式简正模式对于两端固定的弦对于两端固定的弦 (6) 半波损失半波损失一般情况下一般情况下, 当波从当波从波疏媒质波疏媒质垂直入射到垂直入射到波密波密媒质媒质界面上反射时界面上反射时, 反射波反射波就在临界面就在临界面反相反相。入射波在反射时发生反相的现象称为入射波在反射时发生反相的现象称为半波损失。半波损失。较大的媒质称为较大的媒质称为波密媒质波密媒质；较小的媒质称为较小的媒质称为波疏媒质波疏媒质.自由端反射自由端反射波密波密 波疏界面反射波疏界面反射全波反射全波反射半波反射半波反射入射波与反射波入射波与反射波在反射点同相在反射点同相波腹波腹入射波与反射波入射波与反射波在反射点反相在反射点反
21、相固定端反射固定端反射波疏波疏波密界面反射波密界面反射波节波节半波损失半波损失 例题例题5-13 一弦上的驻波方程为一弦上的驻波方程为求：求：(1)两行波的振幅和波速；两行波的振幅和波速；(2)相邻波节间的距离；相邻波节间的距离；(3)t=3.0010-3s时时,位于位于x=0.625m处质点的振动速度。处质点的振动速度。 解：解：(1)比较法比较法A=1.5010-2m, =1.25m, =275Hz, u= =343.8m/s(2)相邻两波节之间的距离相邻两波节之间的距离:( =1.25m)=0.625m (3)t=3.0010-3s时时,位于位于x=0.625m处质点的振动处质点的振动速
22、度。速度。x=0.625,=-46.2(m/s) 例题例题5-14 (1) 波波y2与与y1形成驻波形成驻波,且在且在x=0处两波同相处两波同相,求波求波y2的方程。的方程。(2)驻波方程；驻波方程；(3)波腹和波节位置。波腹和波节位置。解解 (1) 波波y2的的方程为方程为因因y2在在x=0处与已知波位相相同，所以处与已知波位相相同，所以 o=0,(2)写出绳上的驻波方程写出绳上的驻波方程:(3)波腹和波节位置波腹和波节位置波腹波腹:波节波节:解解 (1)设反射波方程为设反射波方程为Loyxpy1y2 由于反射端为自由端：无半波损失，即由于反射端为自由端：无半波损失，即反射波方程为反射波方程
23、为 例题例题5-15 波波 沿棒传播，在沿棒传播，在x=L处处(p点点)反射，反射端为自由端，求：反射，反射端为自由端，求：(1)反射波反射波方程；方程；(2)驻波方程。驻波方程。(2)驻波方程驻波方程驻波方程为驻波方程为Loyxpy1y2初相为零初相为零的两波的两波初相不为初相不为零零1 确定驻波方程，波节和波腹的位置：确定驻波方程，波节和波腹的位置： 已知入射波的波动方程，写出反射波的波动方程已知入射波的波动方程，写出反射波的波动方程（或者反过来已知反射波的写入射波的）（或者反过来已知反射波的写入射波的）2 掌握半波损问题掌握半波损问题驻波要求：驻波要求：5.6 多普勒效应多普勒效应 Do
24、ppler Effect多普勒效应多普勒效应: 观察者接收到的波的频率有赖于波源观察者接收到的波的频率有赖于波源或观察者运动的现象。或观察者运动的现象。的的 的的 的的J. C. Doppler ，于，于1842年提出上述效应的声学理论年提出上述效应的声学理论频率变小频率变小频率变大频率变大物理解释：物理解释：假定波源和接收器在同一直线上运动。假定波源和接收器在同一直线上运动。 s表示表示波源相对于媒质的运动速度波源相对于媒质的运动速度； r表示表示接收器相对于媒质的运动速度接收器相对于媒质的运动速度； u表示表示波在媒质中的传播速度波在媒质中的传播速度。的的 的的 的的1.波源和接收器相对于
25、媒质都静止波源和接收器相对于媒质都静止波源每作一次全振动，波就在空间传播一个波长的波源每作一次全振动，波就在空间传播一个波长的距离，结果就有一个完整的波通过接收器，距离，结果就有一个完整的波通过接收器，Su接收器接收器(或观察者或观察者)接收到的频率接收到的频率vr就等于波源的频就等于波源的频率率v ，即即 vr=u / = v r多多接收到的接收到的 波数波数 r / 2.波源静止，接收器相对于媒质以波源静止，接收器相对于媒质以 r运动运动 若若接接收收器器在在媒媒质质中中静静止止不不动动时时,他他在在单单位位时时间间内内接接收到收到u / 个波。个波。 现因接收器以速度现因接收器以速度 r
26、向波源运动向波源运动,他在单位时间内他在单位时间内多接收到多接收到 r / 个波个波,所以他在单位时间内接收到的波所以他在单位时间内接收到的波数数,即他接收到的频率即他接收到的频率vr应为应为S接收器不动接接收器不动接收到的波数收到的波数u/ u 当波源以速度当波源以速度 s向着接收器运动向着接收器运动,单位时间内从单位时间内从S点点到达到达S。原来分布在原来分布在So内的波数现在分布在内的波数现在分布在S o（即（即u- 内）内；内）内；3.接收器静止，波源相对于媒质以接收器静止，波源相对于媒质以 s运动运动 s 若波源和接收器若波源和接收器(观察者观察者)都静止，则分布在都静止，则分布在S
27、o（即（即距离为距离为u ）内的波数在单位时间内都要通过接收器。内的波数在单位时间内都要通过接收器。波长变短了。现在的波长是波长变短了。现在的波长是Suo 由于波速不变，这些波数在单位时间内都要通过由于波速不变，这些波数在单位时间内都要通过接收器，接收器， 接收器接收到的频率接收器接收到的频率vr就是就是4.波源和接收器都运动波源和接收器都运动 接接收收器器运运动动相相当当于于接接收收器器(或或观观察察者者)感感觉觉到到的的波波速速变变大大为为(u+ r), 而而波波源源运运动动相相当当于于波波长长变变短短为为(u- s)/v。 综综合合这这两两种种分分析析,可可得得当当波波源源和和接接收收器
28、器都都运运动动时时,接收器接收到的频率为接收器接收到的频率为 应当指出，无论波源和接收器是相向运动还是彼此应当指出，无论波源和接收器是相向运动还是彼此背离，上式都是成立的。背离，上式都是成立的。 其其符号法则符号法则是是 接收器接收器向着波源向着波源运动，运动， r取取正正值；值；相背相背取取负负值。值。 波源波源向着向着接收器运动，接收器运动， s取取正正值；值；相背相背取取负负值。值。5.电磁波电磁波(如光波如光波)也有多普勒效应也有多普勒效应其中，其中， 是波源和接收器的相对运动速度。是波源和接收器的相对运动速度。 单位时间内观察者数得的人数与实际通过的人数相同。 单位时间内观察者数得的
29、人数变多。 单位时间内观察者数得的人数变少。 目目前前,多多普普勒勒效效应应已已在在科科学学研研究究、工工程程技技术术、交交通通管管理理、医医疗疗诊诊断断等等各各方方面面有有着着十十分分广广泛泛的的应应用。用。 多多普普勒勒天天气气雷雷达达 多普勒颈脑血液测速仪多普勒颈脑血液测速仪 多普勒水流测速仪多普勒水流测速仪美国美国AH-64“阿帕奇阿帕奇”直升机直升机 多普勒导航系统多普勒导航系统法国幻影法国幻影2000战斗机战斗机GPS技术(多普勒频移观测法) 本章总结研究波研究波动现象动现象的模式的模式由各领域内由各领域内的基本原理的基本原理建立波动的建立波动的动力学方程动力学方程得到描述波得到描述波的运动学方的运动学方程（波动方程（波动方程）程）求解求解写出波方程波的能量干涉惠更斯原理惠更斯原理相干条件，波的干涉相干条件，波的干涉驻波驻波 多普勒效应多普勒效应 计算两波源在某点引计算两波源在某点引起振动的相位差起振动的相位差已知入射波的波动方程，已知入射波的波动方程，写出反射波的波动方程或写出反射波的波动方程或者相反的情形者相反的情形,进而求驻波进而求驻波
