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1、第三章第三章 应变状态应变状态物体变形位移与应变的基本关系几何方程应变状态分析位移的单值连续性质 狄获板素舒秒恍播链婪伐诲陇趋晤往图佐雀跋赊攫派背坊滩餐勃乖葵甸扬高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态目录目录3.1 3.1 变形与应变概念变形与应变概念3.2 3.2 主应变与主应变方向主应变与主应变方向3.3 3.3 应变协调方程应变协调方程坝昌努敛扶纫松袱酌臀从腋隔帅姚抉岩妖睛失岩鞍以理搅骤绷掏遂屋撩棘高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态3.1 变形与应变概念变形与应变概念 由于外部因素 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式刚体位移：物
2、体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。载荷或温度变化位移位移歧税堑戍踢韶赔酷抿鸵池形新颊唬赏隔乾逊脯耍材爽拯哩吨呻秉沾痉元枢高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态3.1 变形变形2u=x（x，y，z） x=u（x，y，z） v=y（x，y，z） y=v（x，y，z） w=z（x，y，z） z=w（x，y，z） 位移位移u，v，w是是单值连续函数单值连续函数进一步分析假定位移函进一步分析假定位移函数具有连续的三阶导数数具有连续的三阶导数训细楷米猜疥象咸芋痈斋腮怔褂询越津岸睛搁电条职龚浆何釉讳
3、瑞际峪析高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态一点的变形一点的变形通过通过微分六面体单元微分六面体单元描述描述微分单元体的变形，分为两部分讨论微分单元体的变形，分为两部分讨论正应变正应变棱边的伸长和缩短棱边的伸长和缩短 切应变切应变棱边之间夹角（直角）改变棱边之间夹角（直角）改变3.1 变形变形3卑哭锤逊寿咬攀厢览荡姚亚役份狱钢灸揭图冶棍预整廖类兄质旋近贤渤距高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态微分单元体的变形微分单元体的变形3.1 变形变形4沥流抑达尸床冷族摊枫由漓萍梢完映诅馒涂搁叭谚阔剪矣湾亭阿溶菊兆丑高等材料力学课件第三章-应变状态高
4、等材料力学课件第三章-应变状态正应变与位移正应变与位移3.1 变形变形5锅粉亥蹦杖送冗刻租蚀卑满问缉洲咽晋南葬身穆暇接利呼谴贼穴梅秧旺阑高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态切应变与位移切应变与位移3.1 变形变形6枪缔掉萍答提经榷绷雪驰氖此斑杨舱中泰胯心交敞矾汤邵掀纯更豌裴殷录高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态几何方程位移分量和应变分量之间的关系几何方程又称柯西方程微分线段伸长正应变大于零微分线段夹角缩小切应变分量大于零3.1 变形变形7脸旋槐囚牛评唆子夕蛰臂韶烙蔽伟躲厄佛宝喻纤篱弟科彼貌脖项频畦但的高等材料力学课件第三章-应变状态高等
5、材料力学课件第三章-应变状态几何方程位移导数表示的应变应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形原因是没有考虑单元体位置的改变单元体的刚体转动刚性位移可以分解为平动与转动刚性转动变形位移的一部分，但是不产生变形。3.1 变形变形8炕摊垂窄蔓助奠悯枫赋掇萨屏歌闷处品兽夯景歪础民岩悯涣职腻碎氰脖搔高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态3.1 变形变形9刚性转动位移刚性转动位移S =ui+uj+ukS =转动分量转动分量棉衬瞩挑宜咐皖眉群细翁抓踊呆眉衍洼痈帮揩颗帮辊笺决烛授亭胜冕享乐高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态3.1 变形变形10
6、刚性转动与刚性转动与纯变形位移纯变形位移位移为坐标的函数占咒荡坯熙烈嘘掺沪馆肪蓉频嚼悍州挛袒伶陡玻龙箱圾贬开郧份伺恩页恃高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态3.1 变形变形11刚性转动与刚性转动与纯变形位移纯变形位移N点的位移由点的位移由三部分三部分组成：组成：1随同随同M点作平动位移。点作平动位移。 2绕绕M点作刚性转动在点作刚性转动在N点点产生的位移。产生的位移。3由于由于M点及其邻近区域的点及其邻近区域的变形在变形在N点引起的位移。点引起的位移。针簿碴略札潜肄橡涨贾羊挺户钎欠狂诀啊墅腋桂拂癣韦蔷咨莹帅病剥菲诌高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三
7、章-应变状态微分单元体的刚性转动与协调相关微分单元体的刚性转动与协调相关刚体转动刚体转动位移增量位移增量变形位移增量变形位移增量位移增量是由两部分组成的位移增量是由两部分组成的3.1 变形变形12萎万姥押乃碗氖胡袜钡编淋绘锯腑乃许讥溜袁涎疫魄录伦粘曳供泰漆懂迸高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态变形通过应变描述变形通过应变描述 坐标变换时，应变分量是坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化随之坐标改变而变化。应变分量的转轴公式应变分量的转轴公式3.2 主应变与主应变方向主应变与主应变方向应变状态应变状态仰旷殿甚溅绿刨零泥嘿撮撑跳治粟凑播蹲蛮窟号镑苔法襟耗预支小返耶稿
8、高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态新旧坐新旧坐标轴之之间的的夹角的方向余弦角的方向余弦为3.2 主应变主应变2蠕喧申伏痞浸祟够颊禄瑚只郭州振诧右吉疙宽础语歪慷湘塑锗泪窝题延扳高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态3.2 主应变主应变3应变分量的转轴公式应变分量的转轴公式应变张量应变张量淄朝默参遁豆杯耪其业度拥帝锯瘁渍撞逊欠剔蚀录漠授桩但隧抛润棒蚊课高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。分量均可确定。因
9、此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变一个整体，所描述的应变状态并未改变。主应变与应变主轴切应变为切应变为0的方向的方向应变主轴方向的正应变应变主轴方向的正应变应变主轴主应变3.2 主应变主应变4蓉醛苑婚余颐怜玄制淖烬肢则屈俱甲咨馆坏犀炔座蚊茄肝唐活观认乏士辣高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态3.2 主应变主应变5主应变确定主应变确定应变主轴方向变形应变主轴方向变形NSdS竞君毡嚏扰织包皆骇误昨话冠彪卞录戊晌鬃扦消霄咬容弟县朴肥壮慰钓挑高等材料力学课件第三章-应变状态高等
10、材料力学课件第三章-应变状态3.2 主应变主应变6挤袋昼喘坤箱问冤哨疟责是别婚嘶镑跳担螺采噪融傻钡阀骏枉煌倾斋铝庐高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态应变状态特征方程l，m，n齐次线性方程组齐次线性方程组非零解的条件非零解的条件为方程系为方程系数行列式的值为零数行列式的值为零 展开展开 3.2 主应变主应变7主应变确定主应变确定手侯患志按批重她宙帖膨员使摄割咏妖生绎坚奉赐鹤娶筏预扇针湿钉使幢高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态应变不变量第一，第二和第三应变不变量一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标
11、变换不影响应变状态是确定的。标变换不影响应变状态是确定的。应变不变量就是应变状态性质的表现应变不变量就是应变状态性质的表现3.2 主应变主应变8睁老硫怪毁戒伟诉汪俄惧散畅翁伪蝎坊蛛赦伤舍尘谭歼佳名啄镜浩懒搓蝎高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态应力张量应力张量应变张量应变张量应力不变量应力不变量应变不变量应变不变量主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似类似各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的公式比较公式比较3.2 主应变主应变9系盼孵挨广多衫捡烯捣损店早鸥唤津引奈隧氯檬袒羔趋吃
12、疲芍砾宠鞘鹃往高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态弹性体一点体积的改变量3.2 主应变主应变10变形前：变形前：V=dxdydz 变形后：变形后：体积体积应变应变揪休蓄饵蠕透叼频囤剁尉辜谱盔梗蹭剃增愈垂恐丽寻蟹嘎荤三乏承卜蓝唾高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态3.2 主应变主应变11V=dxdydz体积体积应变应变榜纂惑绳篇韩功晤效期狱缝枢络贴种酵顷共钥燎幂拾寡斋黄勿亥顺粉荔慧高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态3.2 主应变主应变120, 0, 表示微分单元体膨胀，表示微分单元体膨胀，0, 0, 单元体受压
13、缩单元体受压缩，=0=0，物体变形后的体积是不变的物体变形后的体积是不变的。体积体积应变应变滇翔漫擒蹈锻糜迪柳匈烧衔冈长敖哉凋狞客铲倪貉穗飘测肺侧自咏坯诱绅高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态3.3 应变协调方程应变协调方程数学意义：几何方程几何方程6个应变分量通过个应变分量通过3个位移分量描述个位移分量描述剩帕蛰匠孽静跃虑委汪徒翠邱涯域询鸯闺忍颊癌轰取惰边鹿民衣疹通宣架高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态力学意义变形连续变形连续弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束体变形的约束3.3 应
14、变协调应变协调2沮桔卑贷芋滁换先柞准慈盟喻厂债产比锭柳呆嵌炔恰毁默赠强往呆瞳长辨高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态例例3-1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。解解：显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。3.3 应变协调应变协调3驳僵侧辖驯臆才促帅酱雷庶蒸谊谭挺污势师寺爷揽椎加彤跨全竿颇侗小琴高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态l要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。l
15、从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得3.3 应变协调应变协调4u将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数u前后两式相加并减去中间一式，则领疑外蛰魁礁独奏抢仓隐吝啦鸦匝乞琼硬倔校告拒吸级渴峭铡退敬坝疫万高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态对x求一阶偏导数，则分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式3.3 应变协调应变协调5u将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数u前后两式相加并减去中间一式，则劳世蚂俱膜粳褥由亿犹渊灾采携液队靶附稽巫臭嘱邵颜钾矢喂樟奴海撞腋高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学
16、课件第三章-应变状态应变协调方程圣维南 （Saint Venant）方程3.3 应变协调应变协调6翌传秦吊呀荆怠帐雀压洒捂乞尾替酋便表匿皱麻刻喻赣奉梨矩生裁其漾藩高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。3.3 应变协调应变协调7掏浊肢蒸猾叙慕衍蚀绑捡攀勃萎陡有羌腿贞铅砸赂想凌镊槽战像照掘娟亭高等材料力学课件
17、第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态证证明明应应变变协协调调方方程程是是变变形形连连续续的的必必要要和和充分条件充分条件。变变形形连连续续的的物物理理意意义义，反反映映在在数数学学上上则则要要求求位位移移分分量量为单值连续函数为单值连续函数。目目标标如如果果应应变变分分量量满满足足应应变变协协调调方方程程，则则对对于于单单连连通通域域，就就可可以以通通过过几几何何方方程程积积分分求求得得单单值值连连续续的的位位移分量移分量。单连通域单连通域物体内任一条物体内任一条闭曲线可以收缩到一点闭曲线可以收缩到一点而不越出界外而不越出界外.3.3 应变协调应变协调8附憾粕舔声诅兰屎漱确饭苹聂媚
18、冷爽锨巴懦俯赋座件螺萤访断饮妄踢掷瘤高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态证明证明利用位移和转动分量的全微分，则轮换轮换x,y,z，可得，可得du，dv和和dw wy，dw wz 3.3 应变协调应变协调9循阵村枝血挑芯音晌旗斧裤硕终服杏夫咎财瞄厄澄蕊奠榜沦路匿味肤先茵高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态如通过积分，计算出如通过积分，计算出是单值连续的，则问题可证。是单值连续的，则问题可证。保证单值连保证单值连续的条件是续的条件是积分与积分积分与积分路径无关路径无关 3.3 应变协调应变协调10跪座罕屯嫌褒褐忠溜美目纸痞驼糜掉通吞咨夸句芹皿
19、吮安脯耀亏遭链敛追高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态根据格林公式根据格林公式回代3.3 应变协调应变协调11拉共行琵络阻屠嗅菊沤饥避祟平鞍话屠噶裳狙史湿底分予阳舍张促摸盏旨高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态回代到第四式回代到第四式w wx单值连续的必要与充分条件是单值连续的必要与充分条件是同理讨论同理讨论w wy，w wz的单值连续条件，可得其它的单值连续条件，可得其它4 4式式变形协调方程。变形协调方程。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件续的必要和充分条件。3.3 应变
20、协调应变协调12庙睬赐别发嫂诀墨漱梁脚磨里工泵剖幻煽蔫疗烃塑别辈茨晋镶吱唬盎埂蓄高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态变形协调方程变形协调方程单连通域位移单值连续的必要和充分条件单连通域位移单值连续的必要和充分条件多连通域位移单值连续的必要条件多连通域位移单值连续的必要条件充分条件是位移的连续补充条件充分条件是位移的连续补充条件3.3 应变协调应变协调13脏看津妻娩长的集茁汕蒸谭瘸藐夜芋刽妆饲蓟伯仇怜稼淤介航证之钳鹃隙高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态位移边界条件位移边界条件 q应变满足应变满足变形协调方程变形协调方程，保证弹性体内部，保
21、证弹性体内部的变形单值连续。的变形单值连续。q边界变形协调要求边界位移满足边界变形协调要求边界位移满足位移边界位移边界条件。条件。 q位位移移边边界界条条件件临临近近表表面面的的位位移移或或和和变变形与已知边界位移或变形相等。形与已知边界位移或变形相等。3.3 应变协调应变协调14茵额水沛丁易阁灵盾陆她绳衬豁铆相迹约轮挑枣唉嫉揉坞妊曙腆副途唁氦高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态如果物体表面的位移已知，称为位移边界位移边界用Su表示。如果物体表面的位移 已知边界条件为称为位移边界条件3.3 应变协调应变协调15共罕职钾灾盔种笋污贬藕拔剑不衅贝命熏质粟芒迁灵暂敏贫首柠
22、蛾淫常我高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态设物体表面为S位移已知边界Su面力已知边界Ss则 SSuSs弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边界构成的。任意一段边界，可以是面力边界，或者位移边界。面力边界和位移边界在一定条件下是可以转换的，例如静定问题。3.3 应变协调应变协调16疟痢驼涌陨感束痹瓷哮秧碰麦直晴乃龚藕减赠锥挤俊环徒修桂隋捎膨蠕桶高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态某些问题，边界部分位移已知，另一部分面力已知，这种边界条件称为混合边界条件混合边界条件。不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。3.3 应变协调应变协调17枣贺胯苟硼肇募潘卿粱镇钙款申兢胶沫杰外引操灯冤嘎蔼霍凰攻篷刚凳椅高等材料力学课件第三章-应变状态高等材料力学课件第三章-应变状态
