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1、第第第第 1 1 页页页页拉普拉斯变换性质第第第第 2 2 页页页页1.1.线性特性线性特性若则 a和b为任意常数。 证：第第第第 3 3 页页页页例第第第第 4 4 页页页页 式中f(0-)及f(n)(0-)分别表示f(t)及f(t)的n阶微分f(n)(t)在t=0-时的值。 原函数微分性质原函数微分性质若若f(t)为单边信号,则f(0-)=0，可简化为第第第第 5 5 页页页页证 依此类推， 可以得到高阶导数的 L 变换 同理，令 则第第第第 6 6 页页页页已知已知 试求试求f1(t)与与f2(t)的拉氏变换。的拉氏变换。 例例第第第第 7 7 页页页页解：第第第第 8 8 页页页页例求
2、函数f(t)=tm的拉普拉斯变换第第第第 9 9 页页页页象函数微分性质象函数微分性质证明：一阶情况证明：一阶情况第第第第 1 10 0 页页页页例：例：t2e-2t (t) ? t2e-2t (t) e-2t (t) 1/(s+2)第第第第 1 11 1 页页页页第第第第 1 12 2 页页页页原函数积分性质原函数积分性质证明：证明：第第第第 1 13 3 页页页页对对s s积分性质积分性质两边对两边对s积分：积分：交换积分次序交换积分次序:证明：证明：第第第第 1 14 4 页页页页例：例：例：例：第第第第 1 15 5 页页页页位移性质位移性质证明：证明：第第第第 1 16 6 页页页页
3、例第第第第 1 17 7 页页页页例第第第第 1 18 8 页页页页例第第第第 1 19 9 页页页页尺度变换性质尺度变换性质证明：证明：第第第第 2 20 0 页页页页 函数f (t-t)与f (t)相比, f (t)从t = 0开始有非零数值.而 f (t-t)是从t =t 开始才有非零数值. 即延迟了一个时间t. 从它的图象讲, f (t-t)是由f (t)沿 t 轴向右平移t 而得, 其拉氏变换也多一个因子e-st.Ottf(t)f(t-t)第第第第 2 21 1 页页页页注意第第第第 2 22 2 页页页页平移（延时）性质平移（延时）性质证明：证明：时移和标度变换都有时时移和标度变换
4、都有时: :第第第第 2 23 3 页页页页解：解： 首先写出首先写出f(t)f(t)的时域函数表达式的时域函数表达式例求图示锯齿波f(t)的拉氏变换。第第第第 2 24 4 页页页页应用拉氏变换的时移特性应用拉氏变换的时移特性, ,有有第第第第 2 25 5 页页页页设设f(t)=sinf(t)=sin0 0t,t,因而因而 , ,若若t t0 00,0,试求下列信号的拉氏变换试求下列信号的拉氏变换: : （1 1）f(t-tf(t-t0 0)=sin)=sin0 0(t-t(t-t0 0);); （2 2）f(t-tf(t-t0 0)u(t)=sin )u(t)=sin 0 0(t-t(t
5、-t0 0)u(t)u(t) （3 3）f(t)u(t-tf(t)u(t-t0 0)=sin )=sin 0 0 tu(t-t tu(t-t0 0);); （4 4）f(t-tf(t-t0 0)u(t-t)u(t-t0 0)=sin)=sin0 0(t-t(t-t0 0)u(t-t)u(t-t0 0) )。 解：四种信号如下图解：四种信号如下图(a)(a)、(b)(b)、(c)(c)、(d)(d)所示。所示。 例第第第第 2 26 6 页页页页第第第第 2 27 7 页页页页 对对于于（1 1）和和（2 2）两两种种信信号号t0t0的的波波形形相相同同, ,因此它们的拉氏变换也相同因此它们的拉
6、氏变换也相同, ,即即第第第第 2 28 8 页页页页 对于信号（对于信号（3 3）, ,它的拉氏变换是它的拉氏变换是第第第第 2 29 9 页页页页 对于信号（对于信号（4 4）, ,它的拉氏变换是它的拉氏变换是第第第第 3 30 0 页页页页例试求图中所示信号例试求图中所示信号f(t)=ef(t)=e-2t-2tu(t-2)-u(t-4)u(t-2)-u(t-4)的拉的拉氏变换。氏变换。解解：为为了了正正确确应应用用拉拉氏氏变变换换的的时时移移特特性性, ,有有时时必必须须对对时时域信号域信号f(t)f(t)进行恒等变形进行恒等变形, ,大家对此应熟练掌握。大家对此应熟练掌握。 第第第第
7、3 31 1 页页页页 求周期函数的单边拉普拉斯变换，或求如图所示单边“周期”函数的拉普拉斯变换。 周期信号的拉氏变换第第第第 3 32 2 页页页页解:令f1(t)、f2(t)、f3(t)、分别表示f(t)第一周期、第二周期、第三周期、的函数。 则 f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+ =f1(t)+f1(t-T)+f1(t-2T)+ 第第第第 3 33 3 页页页页 令 为周期因子， 由以上推导过程中可以得到周期函数的单边拉氏变换基本步 骤为: (1) 求f(t)第一周期的象函数f1(t) F1(s)； (2) 周期函数的单边拉氏变换等于函 数 第 一 周 期 的 象 函 数 乘
8、 以 周 期 因 子 ， 即周期信号的拉氏变换第第第第 3 34 4 页页页页第第第第 3 35 5 页页页页第第第第 3 36 6 页页页页 例例：求求如如图图 ( (a a) )所所示示周周期期的的半半波波整整流流波波形形的单边象函数。的单边象函数。 解解：半半波波整整流流波波形形第第一一周周期期的的波波形形如如图图 (b)(b)所示，所示， 可由两个波形叠加，可由两个波形叠加， 即即 第第第第 3 37 7 页页页页大家可回去做下周期矩形脉冲信号的拉氏变换，大家可回去做下周期矩形脉冲信号的拉氏变换，第第第第 3 38 8 页页页页初值定理初值定理F1（s）为真分式第第第第 3 39 9 页页页页初值定理证明由原函数微分定理可知由原函数微分定理可知第第第第 4 40 0 页页页页例例 即单位阶跃信号的初始值为即单位阶跃信号的初始值为1。例例第第第第 4 41 1 页页页页终值存在的条件终值存在的条件:终值定理终值定理证明：证明：根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式第第第第 4 42 2 页页页页举例例：例：例：例：
