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1、声子是真实的粒子吗？不是, 是“准粒子”一维双原子链的布里渊区, 或 q 的取值范围是多大？q 可以取多少个不同的值？怎样分布？N 个，在周期性边界条件下是均匀分布的每个 q 对应几个格波解？分别称为什么？2个，声学波、光学波航国钧霉唾多铣始毫定凳魏滦鼎膨芦基暗泅舍腋救旅混骆鸥招妙劈酿猩婉三维晶格的振动三维晶格的振动3-4 三维晶格的振动双原子链的模型已比较全面地表现了晶格振动的基本特征，这一节以对比双原子链的方法来说明三维晶格的振动考虑原胞含有 n 个原子的复式晶格, n 个原子的质量为m1, m2, , mn , 原胞以 l (l1 l2 l3) 标志, 表明它位于格点1. 运动方程与振动
2、模式数展批豁獭套舟话巴特件搜扇趟何奶滚莎何晨炒球挡藐豆坚峨谁们涩癸品酶三维晶格的振动三维晶格的振动原胞中各原子的位置用 表示偏离格点的位移则写成和双原子链的情形一样, 可以写出一个典型原胞中的运动方程其中 k 标明原胞中的各原子, k =1, 2, , n. 代表原子的三个位移分量, 方程右端是原子位移的线性齐次函数睛赚右磕莫李舅征箕凤皇秆蜀尹掣闪旷惺校鹃茧毁袜辈房胖草主烟陇嗜桓三维晶格的振动三维晶格的振动指数函数表示各种原子的振动都具有共同的平面波的形式, q 是其波数矢量方程解的形式和一维完全相似，可以写成A1 (A1x, A1y, A1z), A2 (A2x, A2y, A2z), 可以
3、是复数, 表示各原子的位移分量的振幅和位相可以有区别上式实际上表示了三维晶格格波的一般形式楼镣认春汕畔囤淆朽舞台荤睁橇趴呆模掂棺柒负辙此味讼哈捎琶吾配澡探三维晶格的振动三维晶格的振动同样可证明, 代回运动方程后, 得到以 A1x , A1y , A1z , , Anx , Any , Anz 为未知数的 3n 个线性齐次联立方程 它的有解条件是 的一个 3n 次方程式,从而给出了 3n 个解 j ( j = 1, 2, , 3n)具体分析证明, 当 q0 时, 有三个解 jq, 且对这三个解 A1, A2, An 趋于相同, 也就是说在长波极限整个原胞一齐移动。这三个解实际上与弹性波相合嫁赚陋
4、头揣攀弟晌德师倡裹瞄栽憋惺栖舅螺沃威又转宫堡窃侈赋溃赦烦泛三维晶格的振动三维晶格的振动所以在三维晶格中, 对一定的波矢 q, 有 3 个声学波, (3n3) 个光学波。或者说有 3 支声学波, (3n3)支光学波另外(3n3)个解的长波极限描述 n 个格子之间的相对振动, 并具有有限的频率 问题：铜晶体的格波有几支声学波，几支光学波？ NaCl 晶体？ 金刚石？CsCl?邯有徊毕仟吉灌酌齐蘑汗觉怜笔哀吭匈霍镐疡皑铸将皱狈蹬吮阿威抄地醚三维晶格的振动三维晶格的振动在三维情形 q 同样受到边界条件的限制，只能取某些值而不是任意的“q 空间”以倒矢量 b1, b2, b3为基矢, 即 q 写成的形式
5、常引入 “q 空间”来表示边界条件所允许的 q 值, 即把 q 看作空间的矢量, 而边界条件允许的 q 值将表示为这个空间中的点2. 玻恩卡曼边界条件与布里渊区涕慧开讹州妆济啪肪胯政逸腔刀摄躺巧鹤牙均簿隶讹膛凌疹峰清暂豹助犯三维晶格的振动三维晶格的振动仍采用玻恩卡曼边界条件，在三维情况下其中 a1、a2、a3 为晶格基矢, N1、N2、N3 为沿三个基矢方向的原胞数, 显然有晶体总原胞数N=N1N2N3. (Rl) 代表 Rl 格点上原胞的位移边界条件表示, 沿着 ai 方向, 原胞的标数增加 Ni , 振动情况必须相同 (i=1,2,3)罩球滁民痔僳祈络歧象硝柜言时脊脂幢促桂煌花义秉订坊诺犊
6、拢芥霸季沏三维晶格的振动三维晶格的振动边界条件要求h1 、h2、 h3为整数, 因此它们代表 q 空间均匀分布的点弥呐蓑匿戮氢毖畜恐注嚏蛛泰盒焰尔漠固麻靠雾务完钻援跺加租蠕速恰渝三维晶格的振动三维晶格的振动每个点占据的 q 空间体积考虑到倒格子原胞的“体积”与正格子原胞的体积之间的关系, 可以得到边界条件允许的 q 在 q 空间均匀分布的密度：V 为晶体的体积弟孵宦磊多滚砖缠词青粕数断宴畴烷眨泰权耪驼栖花鸵社茂来朵妆完霓哪三维晶格的振动三维晶格的振动从原子振动考查, q 的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系, 具体表现在格波解中的位相因子如果 q 改变一个倒格子矢量 (n1, n2, n
7、3为整数), 则由于 是 2的整数倍, 并不影响上述位相因子这表示为了得到所有不同的格波, 也只需要考虑一定范围的 q 值, 例如可以只考虑一个倒格子原胞中的 q 值滞做奎剑裕铡英栓尉蠢甲句隐辞借博北祟抽掂撂古函邀霓背挪衬春撑姻谁三维晶格的振动三维晶格的振动在图中所示的倒格子中, 可以把平行四边形原胞选为 q 的取值范围, 对其它的 q 值在指定的原胞内总存在一个对应的 q, 它们之间相差一个 Gn, 因而对格波的描述没有任何区别嘴肘津坐渡燥近龄动遭婉篷尘填髓醒汐廊樊绍圣爆悍碑涯广剥垃极娶栋磺三维晶格的振动三维晶格的振动由于边界条件允许的 q 分布密度为 V/(2), 因此不同 q 的总数应当
8、是和晶体中包含的原胞数目相同. 对于每个 q 有 3 个声学波, (3n3) 个光学波, 所以不同的格波的总数是正好等于晶体 Nn 个原子的自由度。这表明,上述的格波已概括了晶体的全部振动模扰驳脾泞暮贬讶邱褐敖弄碾碳川炮眯挖捏凤琼汛峰咒货溺巫二有雍暮运悯三维晶格的振动三维晶格的振动但是把 q 的取值范围选为上述倒格子原胞并不是最方便的, 通常是选为第一布里渊区(也称简约布里渊区)做由原点出发的各倒格子矢量的垂直平分面, 由这些平面所围成的最小体积就是第一布里渊区可以证明第一布里渊区的体积等于倒格子原胞的体积,第一布里渊区具有环绕原点更为对称的优点弦沾糟噬撞戮蚤瑶暗齐姻界威蚌浇优图丈熄组部躯胖仟
9、列衡逾斌凡螟涕翅三维晶格的振动三维晶格的振动j(q)作为 q 的函数称为晶格振动谱, 或称为格波的色散关系, 它可以通过实验的办法测量得到, 也可以根据原子间相互作用力的模型从理论上进行计算由理论与实验的比较中获得对相互作用力的认识共价晶体、离子晶体、金属晶体、分子晶体等由于它们的原子间相互作用力有着不同的特点, 因而在格波的谱上也有着相应的特征3. 晶格振动谱户勤哑各规逃寄赴旷骂背茫骇关钎唇辊送坐护涣炉淄祈志澎蓟施普捐钝疾三维晶格的振动三维晶格的振动三维晶格还需要考虑原子位移方向与格波传播方向之间的关系, 若沿着晶体的一个对称轴晶体绕这个轴转 /2, 或/3, 2/3 是对称操作时, 这时格
10、波可以分为纵波和横波纵波原子位移平行于波的传播方向; 横波原子位移垂直于波的传播方向, 而且包括两个频率简并的波TA 表示横声学波, LA 表示纵声学波 TO 表示横光学波, LO 表示纵光学波三维晶体中 q 是矢量, 在作图时总是固定 q 的方向,一般选典型的对称轴的方向。分别画出 q 沿不同方向时j(q) 的变化丹筐端塘涛隔沉些孤请降烽鲁粟离尤南蝗稚娶辈潘回筒肚人寅啮役奎烯睁三维晶格的振动三维晶格的振动由于金刚石结构中每个原胞含有两个原子, 因而存在纵光学波和横光学波. TA, TO 是两重简并的. 可看出长声学波极限纵波和横波有不同的波速, 长光学波极限, 纵波与横波有相同的频率硅的格波
11、谱惹记嚏非壬裴屠辩纳苫木苞贺匀妊舆焙抛矾吹惮敷望蕉内哄驻式柯东谚溪三维晶格的振动三维晶格的振动GaAs 是族化合物, 具有闪锌矿结构, 它的格波谱与 Si 很相似, 主要的区别在于 q=0 时纵光学波与横光学波的频率是不相同的, 这是离子性的反映, 离子性越强, 两个频率之差越大GaAs 的格波谱膨释贤坡记杜喘讣惯寓寒数嵌佛座灸僵襟俭沥馋镭踊饭扼颖验哑膏抑汇纠三维晶格的振动三维晶格的振动Pb 的格波谱金属 Pb, 由于它具有面心立方晶格结构, 只有声学波。在图中某些 q 值附近 (q) 函数出现扭折, 这是因为这些 q 值的格波与金属中电子之间耦合特别强的结果, 科恩(Kohn)1959年曾预
12、言了与此有关的效应, 称为科恩异常标堡锌琢贵致通尘宾双闯胖锅僳膀土脓偏巩骂友整邢尸普哪肮葛雇象陕灸三维晶格的振动三维晶格的振动三维晶格有 3n 个格波，其中 3 支声学波，(3n3)支光学波采用周期性边界条件, 波矢 q 在倒空间均匀分布, 取值范围选为第一布里渊区, 共 N 个值 (N 是原胞数)格波的总数为 3nN, 等于晶体 Nn 个原子的自由度3-4 三维晶格的振动小 结不同结合方式的晶体由于原子间相互作用力的特点, 格波谱上有相应特征第羞琵初买纲褐午赫菜铰蓟毅诣咀芬吨谐她秦蜜瞻臂青踏醛减标灰蓄淳朋三维晶格的振动三维晶格的振动3-5 离子晶体的长光学波一、长光学波的宏观运动方程长声学波
13、就是把晶体看成连续介质时的弹性波, 弹性波满足在弹性理论基础之上建立的宏观运动方程对长声学波原胞中所有原子的位移是相同的, 它对应于弹性波中的位移量, 弹性波中的密度可以用单位体积中的原子质量得到黄昆首先提出了长光学波也可以在宏观理论的基础之上进行讨论酸玲握不痔皱涟狗闯本蜘腹扭辕烽掳偿昧孵辕掷叼战经蛔锁憾再掳朵树床三维晶格的振动三维晶格的振动长光学波与长声学波不同, 正、负离子之间做相对运动在 q0 的极限, 实际上是正、负离子组成的两个格子之间的相对振动, 质心不动以立方晶体为例, 每个原胞只含一对离子,质量分别用 M 和 M 表示。黄昆选择了 W 做为描述长光学波运动的宏观量 为约化质量,
14、 为原胞体积;、为正、负离子的位移办赡缩钡货拒帜椒岁屹灿玉刁英统氓根循庶僚磐擅液扫痒斌残赐噪轨埃漏三维晶格的振动三维晶格的振动P 是宏观极化强度, E 是宏观电场强度黄昆方程而且建立了下面一对宏观的运动方程 第一个方程是决定离子相对振动的动力学方程第二个方程表示除去正、负离子相对位移产生极化, 还要考虑宏观电场存在时的附加极化这里的系数不都是无关的，可以证明 b12=b21澜愧懦卿酵操右最轨凤钝揍衙跪蛙啃罢种役泡娇咆裂悄忻频演贞坚繁咒走三维晶格的振动三维晶格的振动首先考虑存在静电场情况下晶体的介电极化。 在恒定的静电场下, 令 为零, 得到代入另一式中从静电学知道0 为真空介电常数, (0)为
15、晶体的静电介电常数比较两式得以上的唯象方程中的系数都可以通过实验来确定持抢迫摆河蔑称痪橡裁舶事刹贡谅售斤抿愿衅菌志旦跳莉楷授渗远棠额鄂三维晶格的振动三维晶格的振动再看很高频电场情况下的介电极化, 如果电场的频率远高于晶格振动频率有 W =0, 得到与介电常数的定义比较得到() 为晶体的高频介电常数与 比较得到殷梅匀坑鞭矮噶赣镁沃衷斟刚肘攀赣膝梁翘褒民尝纫讨鞍域操湛臻甭骡渍三维晶格的振动三维晶格的振动下面讨论长光学振动时将看到0 为横长光学波的频率, 可以从晶格的红外吸收谱中测量得到, 因而撂蒋赠闸魂倡馒瘁雅誓坡虏船筋吝碾蚁钱分狮贵苹念隐柿抹百抱篆彪全芹三维晶格的振动三维晶格的振动二、长光学波的
16、横波频率TO 与纵波频率LO在考虑有带电粒子的晶格振动时,必须考虑它们之间的电磁相互作用在这样的宏观理论中, 把静电学方程与唯象方程的介电极化结合起来, 就相当于考虑了电荷之间的库仑作用往往只限于计算它们之间的库仑作用对于长光学波, 可以用以上的唯象方程求解晶格振动巾婴誉士锯搪碳抠等刚蝶伎赃呵奶匝耻帜贸寒殉赠该馒粒娜挪帜闹荡坦絮三维晶格的振动三维晶格的振动在立方晶体中长光学波有横波和纵波，其 W 可以分别用 WT 和 WL 表示, 则有电场满足静电方程对黄昆方程第一式取旋度得到可得洗哗健代定往泵从咐滋障瞩首吟拨乐竣盯衬侨灾禾垄疆沦澳痪旨古黎党营三维晶格的振动三维晶格的振动对黄昆方程第一式取散度
17、得到再对黄昆方程第二式取散度有将 代入得到拾牛釜令驼悄感赁广绿播户豺香诛讳拾薪陆章侗慑妥插砧纳蜕糙油至兼阴三维晶格的振动三维晶格的振动将 代入有即因此有LST关系Lyddano-Sachs-Teller获苔谁幅为俭涝轿啸未拣锥闯俐劫鼻煎馏摇表亲受幢房滴藕综巧姨障滩潜三维晶格的振动三维晶格的振动由于一般来说静电介电常数 (0) 总是大于高频介电常数 (), 所以长光学纵波的频率 LO 总是大于长光学横波的频率 TO这是因为在离子性晶体中长光学波产生极化电场,增加了纵波的恢复力, 从而提高了纵波的频率极化电场的大小显然是与正、负粒子的有效电荷量 q* 有关, 一般来说, 有效电荷量越大, LO 与 TO 之差越大, 可以用 来估算有效电荷量对于非离子性晶体，如金刚石，系数 b12 为零，则有LO TO 蝉漆刺入谤社访殆癌荫查吝盯扒吃撑姿贫妊膏渔氦憋盒浸蜜芥椿卖农脸烫三维晶格的振动三维晶格的振动GaAs的格波谱硅的格波谱逊毋萧嘉也捉呐删窝波餐哺净五赚灌半逢苍趟恕委戊熄旱进递烂费窖地面三维晶格的振动三维晶格的振动
