1542因式分解公式法

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1、八年级数学（上册）八年级数学（上册）课前小测：课前小测：1.选择题：选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A.4X+y B. 4 x- (-y) C. -4 X-y D. - X+ y2)-4a +1分解因式的分解因式的结果果应是是 （ ）A.-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)C.-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)D.2. 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：E.1）18-2b 2) x4 1 DD1)原式原式=2（3+b)(3-b)2)原式原式=(x+1)(x+1)(x-1)因式分

2、解的基本方法因式分解的基本方法2运用公式法运用公式法 把乘法公式反过来用把乘法公式反过来用,可以把符合公式可以把符合公式特点的多项式因式分解特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法这种方法叫公式法. (1) 平方差公式：平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式：完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2平方差公式反平方差公式反过来就是说：过来就是说：两个数的平方两个数的平方差，等于这两差，等于这两个数的和与这个数的和与这两个数的差的两个数的差的积积a - b = (a+b)(a-b)因式分解因式分解平方差公式：平方差公式：(a+b

3、)(a-b) = a - b整式乘法整式乘法将下面的多项式分解因式将下面的多项式分解因式1) m - 16 2) 4x - 9ym - 16= m - 4 =( m + 4)( m - 4) a - b = ( a + b)( a - b )4x - 9y=(2x)-(3y)=(2x+3y)(2x-3y)例例1.把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1）16a- 1 ( 2 ) 4x- mn ( 3 ) x - y 925116( 4 ) 9x + 4解：解：1）16a-1=(4a) - 1 =(4a+1)(4a-1)解：解：2） 4x- mn =(2x) - (mn) =（2x+mn)(2x

4、-mn)例例2.把下列各式因式分解把下列各式因式分解1)( x + z )- ( y + z )2)4( a + b) - 25(a - c)3)4a - 4a4)(x + y + z) - (x y z )5)a - 212解：解：1.原式原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z) =(x+y+2z)(x-y)解：解：2.原式原式=2(a+b)-5(a-c) =2(a+b)+ 5(a-c)2(a+b)- 5(a-c) =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)解：解：3.原式原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)解：解：4.原式原式=(x+y+z)+(x-y-z) (x+y

5、+z)- (x-y-z) =2 x ( 2 y + 2 z) =4 x ( y + z )巩固练习：巩固练习：1.选择题：选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A.4X+y B. 4 x- (-y) C. -4 X-y D. - X+ y2)-4a +1分解因式的分解因式的结果果应是是 （ ）A.-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)C.-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)D.2. 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：E.1）18-2b 2) x4 1 DD1)原式原式=2（3+b)(3-

6、b)2)原式原式=(x+1)(x+1)(x-1)完全平方公式完全平方公式现在我们把这个公式反过来现在我们把这个公式反过来很显然，我们可以运用以上这很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把个公式来分解因式了，我们把它称为它称为“完全平方公式完全平方公式”我们把以上两个式子我们把以上两个式子叫做叫做完全平方式完全平方式“头头” 平方平方, “尾尾” 平方平方, “头头” “尾尾”两倍中间放两倍中间放.判别下列各式是不是判别下列各式是不是完全平方式完全平方式是是是是是是是是完全平方式的特点完全平方式的特点：1、必须是三项式2、有两个平方的“项”3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍下列各

7、式是不是下列各式是不是完全平方式完全平方式是是是是是是否否是是否否请补上一请补上一项，使下列多项项，使下列多项式成为式成为完全平方式完全平方式我们可以通过以上公式把我们可以通过以上公式把“完全平方式完全平方式”分解因式分解因式我们称之为：我们称之为：运用完全平运用完全平方公式分解因式方公式分解因式例题：把下列式子分解因式例题：把下列式子分解因式4x4x2 2+12xy+9y+12xy+9y2 2=(首首尾尾)2请运用完全平方公式把下请运用完全平方公式把下列各式分解因式：列各式分解因式：练习题：练习题：1 1、下列各式中，能用完全平方公式、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（分解的是（ ）A

8、A、a a2 2+b+b2 2+ab +ab B B、a a2 2+2ab-b+2ab-b2 2 C C、a a2 2-ab+2b-ab+2b2 2 D D、-2ab+a-2ab+a2 2+b+b2 22 2、下列各式中，不能用完全平方公下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（式分解的是（ ）A A、x x2 2+y+y2 2-2xy -2xy B B、x x2 2+4xy+4y+4xy+4y2 2 C C、a a2 2-ab+b-ab+b2 2 D D、-2ab+a-2ab+a2 2+b+b2 2DC3 3、下列各式中，能用完全平方公式、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（分解的是（ ）A

9、 A、x x2 2+2xy-y+2xy-y2 2 B B、x x2 2-xy+y-xy+y2 2 C C、 D D、4 4、下列各式中，不能用完全平方公下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（式分解的是（ ）A A、x x4 4+6x+6x2 2y y2 2+9y+9y4 4 B B、x x2n2n-2x-2xn ny yn n+y+y2n2n C C、x x6 6-4x-4x3 3y y3 3+4y+4y6 6 D D、x x4 4+x+x2 2y y2 2+y+y4 4DD5 5、把、把 分解因式得分解因式得 （ ）A A、 B B、6 6、把把 分解因式得分解因式得 （ ）A A、 B

10、B、BA7 7、如果、如果100x100x2 2+kxy+y+kxy+y2 2可以分解为可以分解为（10x-y)10x-y)2 2, ,那么那么k k的值是（的值是（ ）A A、20 20 B B、-20 -20 C C、10 D10 D、-10-108 8、如果如果x x2 2+mxy+9y+mxy+9y2 2是一个完全平方式，是一个完全平方式，那么那么m m的值为的值为（ ）A A、6 6 B B、6 6 C C、3 D3 D、3 3 BB9 9、把、把 分解因式得分解因式得（ ）A A、 B B、C C、 D D、1010、计算计算 的的结果是（结果是（ ）A A、 1 B1 B、-1-

11、1C C、 2 D2 D、-2-2CA思考题思考题: :1 1、多项式、多项式: :(x+y)(x+y)2 2-2(x-2(x2 2-y-y2 2)+(x-y)+(x-y)2 2能能用用完全平方公式分解吗完全平方公式分解吗? ?2 2、在括号内补上一项，使多项、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：式成为完全平方式：X X4 4+4x+4x2 2+( )+( )小结：小结：1、是一个二次三项式、是一个二次三项式2、有两个、有两个“项项”平方平方,而且有而且有这两这两“项项”的的积的两倍或负两积的两倍或负两倍倍3、我们可以利用、我们可以利用完全平方公完全平方公式式来进行因式分解来进行因式分解

12、完全平方式具有：完全平方式具有：1.1.利用因式分解计算：利用因式分解计算：1001002 2-99-992 2+98+982 2-97-972 2+96+962 2-95-952 2+ + +2+22 2-1-12 2【解析解析】原式原式= =（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） + + +(2+1)(2-1)+(2+1)(2-1) =199+195+191 + =199+195+191 + +3+3 =5050 =50502.(20102.(2010江西中考江西中考) )因式分解因式分解:2a:2a2 28

13、 8_._.【解析解析】 原式原式= = 答案：答案：3.(20103.(2010珠海中考珠海中考) )因式分解因式分解: =_.: =_.【解析解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；先提公因式，再利用平方差公式分解因式；即即a a（x x2 2y y2 2）=a=a（x+yx+y）（）（x xy y）答案答案: :a(x+y)(xa(x+y)(xy) y) 4.4.（20102010东阳中考）东阳中考） 因式分解：因式分解：x x3 3-x=_.-x=_.【解析解析】x x3 3-x=x(x-x=x(x2 2-1)=x(x+1)(x-1)-1)=x(x+1)(x-1) 答案答案: x(

14、x+1)(x-1)x(x+1)(x-1) 5.5.（20102010盐城中考）因式分解盐城中考）因式分解: =_.: =_. 【解析解析】 原式原式= =（x+3x+3）(x-3).(x-3).答案答案: :（x+3x+3）(x-3).(x-3).6.6.（20102010杭州中考）分解因式杭州中考）分解因式 m m3 3 4m = 4m = . .7.7.（20102010黄冈中考）黄冈中考）分解因式分解因式:x:x2 2-x=_.-x=_.【解析解析】原式原式=x=x（x-1x-1）. . 答案答案: : x x（x-1x-1）. .【解析解析】m m3 3 4m =m(m+2)(m-2)

15、. 4m =m(m+2)(m-2). 答案：答案：m(m+2)(m-2)m(m+2)(m-2)8.8. 计算计算: 765: 7652 217172352352 2 1717 【解析解析】7657652 217172352352 2 1717 =17(765 =17(7652 2 2352352 2)=17(765+235)(765 )=17(765+235)(765 235)235) =17 =17 1000 1000 530=9010000530=90100009.20109.20102 2+2010+2010能被能被20112011整除吗整除吗? ? 【解析解析】201020102 2+

16、2010=2010(2010+1)=2010 2011+2010=2010(2010+1)=2010 2011 2010 20102 2+2010+2010能被能被20112011整除整除. .10.10.（20102010眉山中考）把代数式眉山中考）把代数式 分解因式，下分解因式，下列结果中正确的是（列结果中正确的是（ ）A A B B C C D D11.11.（20102010黄冈中考）黄冈中考）分解因式：分解因式：2a2a2 24a+24a+2【解析解析】选选D . =mD . =m（x x2 26x6x9)=9)=m(xm(x3)3)2 2. .【解析解析】2a2a2 24a+2=2

17、4a+2=2（a a2 22a +12a +1）=2=2（a a1 1）2 2 答案：答案：2 2（a a1 1）2 2 12.12.（20102010杭州中考）杭州中考）因式分解：因式分解：9x9x2 2y y2 24y4y4 4_13.13.（20102010常德中考）分解因式：常德中考）分解因式：【解析解析】原式是一个完全平方式，所以原式是一个完全平方式，所以x x2 2+6x+9=+6x+9= 答案：答案： 【解析解析】 9x9x2 2y y2 24y4y4=9x4=9x2 2（y y2 2+4y+4+4y+4）= = 答案：答案：b a 将将一一个个正正方方形形的的一一角角剪剪去去一

18、一个个小小正正方方形形，观观察察剪剪剩剩下下的的部部分分，你你能能在在只只能能剪剪一一刀刀的的情情况况下下，将将剩剩余余部部分分重重新拼接成一个特殊四边形吗？新拼接成一个特殊四边形吗？=a2-b2(a+b) (a-b)1414、用平方差公式进行简便计算、用平方差公式进行简便计算: :（1 1）999999 -998-998 （2 2）229229 -171-171 （3 3）91918989（4）把）把9991分解成两个整数的积。分解成两个整数的积。15、找规律 32-12=81， 52-32=82，（1） 72-52=_，（2） 9 92 2-7-72 2=_（3）（）（ ）2-92=85;

19、请归纳上述各式所反映的一般规律，并请归纳上述各式所反映的一般规律，并加以说明理由。加以说明理由。838411（2n+1)2-(2n-1)2=8n1616、（、（20052005年浙江省）在日常生活中如上网等年浙江省）在日常生活中如上网等都需要密码，有一种因式分解法产生的密码方都需要密码，有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译。便记忆又不易破译。例如例如用多项式用多项式x x4 4-y-y4 4因式分解的结果因式分解的结果（x-y)(x+y)(xx-y)(x+y)(x2 2+y+y2 2) )来设置密码，当取来设置密码，当取x=9,y=9x=9,y=9时，可得时，可得一一个六位数的密码个六

20、位数的密码“018162018162”。你知。你知道这是怎么来的吗道这是怎么来的吗? ?小明选用多项式小明选用多项式4x4x3 3-xy-xy2 2，取，取x=10,y=10x=10,y=10时。用时。用上述方法产生的密码是什么上述方法产生的密码是什么? ?( (写出一个即可写出一个即可) )2、计算、计算： 25 26521352 25选做题：选做题：1、分解因式：、分解因式：4、已知、已知x+y=7,x-y=5,求代数式求代数式 x2-y2-2y+2x的值的值.5 5、若、若n n是整数是整数, ,证明证明(2n+1)(2n+1)2 2-(2n-1)-(2n-1)2 2是是8 8的倍数的倍数. .3、1993-199能被能被200整除吗整除吗?还能被哪些整数整除还能被哪些整数整除?6、英国数学家狄摩根在青年时代、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他曾有人问他:“今今年多大年龄？年多大年龄？”狄摩根想了想说：狄摩根想了想说：“今年，我的年今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为假设狄摩根的年龄为x岁，他岁，他弟弟的年龄为弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？岁，你能算出他们的年龄吗？