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1、1第七章存储论v第1节 存储论的基本概念v第2节 确定性存储模型21.1存储问题的提出v生产过程中经常会出现供应与需求之间的不协调，一般表现为供应量与需求量或供应时期与需求时期的不一致性，出现供不应求或供过于求的情况。例如(1) 水电站在雨季到来之前，水库蓄水量问题(2)工厂生产所需原料的储存量(3) 在商店里存储商品的数量v在供应与需求这两个环节之间加入储存环节，就能起到缓解供应与需求之间不协调的问题v利用运筹学的方法可以用最合理、最经济方式解决存储问题。v专门研究这类有关存储问题的科学已经构成运筹学的一个分支存储论(inventory)或库存论。31.2 存储论的基础知识v1.需求由于需求
2、，从存储中取出一定的数量，使存储量减少，造成存储的输出。需求的形式o间断式需求（图7-1）o连续均匀的需求（图7-2）o确定性需求o随机性需求。如果经过大量统计后能会发现统计规律，称之为有一定随机分布的需求。图7-1图7-241.2 存储论的基本概念v2. 补充(订货或生产)存储由于需求而不断减少，必须加以补充，否则最终将无法满足需求。补充就是存储的输入补充就是存储的输入。补充的办法可能是向其他工厂购买，从订货到货物进入“存储” 需要的时间称为备货时间备货时间。o备货时间可能很长，也可能很短，可能是随机性的，也可以是确定性的。为了在某一时刻能补充存储，必须提前订货，这段时间称之为提提前时间前时
3、间(lead-time)。存储策略：存储策略：决定多少时间补充一次以及每次补充数量的策略。51.2 存储论的基本概念v3. 费用(1) 存储费存储费：包括货物占用资金应付的利息以及使用仓库、保管货物、货物损坏变质等支出的费用。(2) 订货费：订货费：包括两项费用o订购费用(固定费用)如手续费、电信往来、派人员外出采购等费用。订购费与订货次数有关而与订货数量无关。o货物的成本费用，它与订货数量有关(可变费用)，如货物本身的价格，运费等。(3) 生产费生产费：由本厂自行生产需要支出两项费用。o一项是装配费用(或称准备、结束费用，是固定费用)，如更换模、夹具需要工时，或添置某些专用设备等属于这项费用
4、，也用C3表示。o另一项是与生产产品的数量有关的费用如材料费、加工费等(可变费用)。(4) 缺货费缺货费：当存储供不应求时所引起的损失。如失去销售机会的损失、停工待料的损失以及不能履行合同而缴纳罚款等。o在不允许缺货的情况下，在费用上处理的方式是缺货费为无穷大。61.2 存储论的基本概念v4.存储策略决定何时补充，补充多少数量的办法称之为存储策略存储策略，常见的策略有三种类型。o(1) t0-循环策略，每隔t0时间补充存储量Q。o(2) (s,S)策略，每当存储量xs时不补充。当xs时补充存储。补充量Q=S-x(即将存储量补充到S)。o(3) (t,s,S)混合策略，每经过t时间检查存储量x，
5、当xs时不补充。当xs时，补充存储量使之达到S。如何确定存储策略o将实际问题抽象为数学模型 o将复杂的条件加以简化o用数学的方法加以研究，得出数量结论o到实践中加以检验、研究和修改7第七章 存储论v第1节 存储论的基本概念v第2节 确定性存储模型8第2节 确定性存储模型v2.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短v2.2 模型二：允许缺货，备货时间很短v2.3 模型三：不与许缺货，生产需一定时间v2.4 模型四：允许缺货(需补足缺货)、生产需一定时间v2.5 模型五：价格有折扣的存储问题92.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短v假设：(1) 缺货费用无穷大；(2) 当存储降至零时，可以立即得到
6、补充(即备货时间或拖后时间很短，可以近似地看作零)；(3) 需求是连续的、均匀的，设需求速度R(单位时间的需求量)为常数，则t时间的需求量为Rt；(4) 每次订货量不变，订购费不变(每次备货量不变，装配费不变)；(5) 单位存储费不变。102.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短v存储量变化情况v立即得到补充，不出现缺货，不考虑缺货费用。v用总平均费用来衡量存储策略的优劣：在需求确定的情况下，每次订货量多，则订货次数可以减少，从而减少了订购费。但是每次订货量多，会增加存储费用。11v假定每隔t时间补充一次存储，那么订货量必须满足t时间的需求Rt，记订货量为Q，Q= Rt ，订购费为C3，货物单
7、价为K，则订货费为C3+K Rt ；t时间的平均订货费为C3/t+KR，vt时间内的平均存储量为 单位时间内单位物品的存储费用为C1，t时间内所需平均存储费用为1/2（RtC1）。 t时间内总的平均费用为C(t)总费用=订货费+存储费122.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短v只需对式利用微积分求最小值的方法。令： 得： v因 ，即每隔t0时间订货一次可使费用C(t)达到最小。v订货批量为132.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短v(7-3)式即为存储论中著名的经济订购批量经济订购批量(economic ordering quantity)公式公式,简称为E.O.Q公式，也称平方根公式，或
8、经济批量(economic lot size)公式。v由于Q0、t0皆与K无关，所以此后在费用函数中可略去KR这项费用。如无特殊需要不再考虑此项费用，(7-1)式改写为v将t0代入(7-4)式得出最佳费用 142.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短v从费用曲线(见图7-4)也可以求出t0，Q0，C0。存储费用曲线 订购费用曲线 总费用曲线 vC(t)曲线的最低点(minC(t)的横坐标t0与存储费用曲线、订购费用曲线交点横坐标相同。即v解出 152.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短v例例1 某厂按合同每年需提供D个产品，不许缺货。假设每一周期工厂需装配费C3元，存储费每年每单位产品为C1
9、元，问全年应分几批供货才能使装配费，存储费两者之和最少。解解 设全年分n批供货，每批生产量Q=D/n，周期为1/n年(即每隔1/n年供货一次)。每个周期内平均存储量为 每个周期内的平均存储费用为 全年所需存储费用 全年所需装配费用 全年总费用(以年为单位的平均费用)： 162.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短v为求出C(Q)的最小值，把Q看作连续的变量。v即 ， Q0为经济订购批量。v最佳批次 (取近似的整数)v最佳周期 答 全年应分n0次供货可使费用最少。172.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短v例例2 某轧钢厂每月按计划需产角钢3000吨，每吨每月需存储费5.3元，每次生产需调整机
10、器设备等，共需准备费25000元。若该厂每月生产角钢一次，生产批量为3000吨。每月需总费用 5.31/23000+25000=10450(元/月)全年需费用 1045012=125400(元/年)v按E.O.Q公式计算每次生产批量182.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短v利用Q0计算出全年应生产n0次两次生产相隔的时间t0=（365/21.4）17(天)17天的单位存储费(5.3/30)17=3.00(元/吨)共需费用5.3/30171682+25005025(元)按全年生产21.5次(两年生产43次)计算，全年共需费用502521.5=108037(元/年)。v两者相比较，该厂在利用E
11、.O.Q公式求出经济批量进行生产即可每年节约资金125400-108037=17363(元)192.2 模型二：允许缺货，备货时间很短v假设：允许缺货，并把缺货损失定量化来加以研究。o由于允许缺货，所以企业可以在存储降至零后，还可以再等一段时间然后订货。这就意味着企业可以少付几次订货的固定费用，少支付一些存储费用。一般地说当顾客遇到缺货时不受损失，或损失很小，而企业除支付少量的缺货费外也无其他损失，这时发生缺货现象可能对企业是有利的。 其余条件与模型一相同 202.2 模型二：允许缺货，备货时间很短v设设 单位时间单位物品存储费用为C1，每次订购费为C3，缺货费为C2(单位缺货损失)，R为需求
12、速度。求最佳存储策略，使平均总费用最小(图7-7)。假设最初存储量为S，可以满足t1时间的需求，t1时间的平均存储量为S/2，在(tt1)时间的存储为零，平均缺货量为 。由于S仅能满足t1时间内的需求S=Rt1，有t1=S/R在t时间内所需存储费 在t时间内的缺货费 订购费为C3平均总费用 212.2 模型二：允许缺货，备货时间很短v利用多元函数求极值的方法求C(t,S)的最小值。222.2模型二：允许缺货，备货时间很短v将(7-10)式中S值代入上式，消去Sv将(7-10)式代入(7-11)式解出Sv将(7-10)式，(7-11)式代入C(t,S)232.2 模型二：允许缺货，备货时间很短v
13、当C2很大时(即不允许缺货) 所得结果与(7-2)式，(7-3)式，(7-5)式相同v允许缺货最佳周期t0为不允许缺货周期t的 1倍，订货间隔时间延长了。v在不允许缺货情况下，为满足t0时间内的需求，订货量Q0=Rt0v在允许缺货情况下，存储量只需达到S0即可242.2 模型二：允许缺货，备货时间很短v显然Q0S0，它们的差值表示在t0时间内的最大缺货量。v在允许缺货条件下，经过研究而得出的存储策略是隔t0时间订货一次，订货量为Q0，用Q0中的一部分补足所缺货物，剩余部分S0进入存储。很明显，在相同的时间段落里，允许缺货的订货次数比不允许缺货时订货次数减少了。252.2 模型二：允许缺货，备货
14、时间很短v例例5 已知需求速度R=100件，C1=4元，C2=1.5元，C3=50元，求S0及C0。解解 利用(7-12)式，(7-13)式即可计算答：S0=26(件)，C0=104.45(元)262.2 模型二：允许缺货，备货时间很短不允许缺货生产需要时间很短条件下 不允许缺货、生产需一定时间条件下 在允许缺货、生产需时间很短条件下 最大存储量S0=Q0272.2 模型二：允许缺货，备货时间很短模型一模型二模型三282.3 模型三：不允许缺货，生产需一定时间v假设：生产需要一定时间其余与模型一相同v已知设生产批量为Q，所需生产时间为T，则生产速度为P=Q/T。已知需求速度为R，(RP)。生产
15、的产品一部分满足需求，剩余部分才作为存储 。存储变化如图7-5 。292.3 模型三：不允许缺货，生产需一定时间v在0，T区间内，存储以(P-R)速度增加，在T，t区间内存储以速度R减少。T与t皆为待定数。(P-R)T=R(t-T)，即PT=Rt(等式表示以速度P生产T时间的产品等于t时间内的需求)，并求出T=Rt/P。t时间内的平均存储量为t时间内所需存储费为t时间内所需装配费为C3单位时间总费用(平均费用)为C(t)302.3 模型三：不允许缺货，生产需一定时间设min C(t)=C(t0)，利用微积分方法可求得v相应的生产批量v利用t0可求出最佳生产时间312.3 模型三：不允许缺货，生
16、产需一定时间v将前面求t0，Q0的公式与(7-6)式，(7-7)式相比较，即知它们只差一个因子 。v当P相当大时， 趋近于1，则两组公式就相同了。v进入存储的最高数量322.3 模型三：不允许缺货，生产需一定时间v例例3 某厂每月需甲产品100件，每月生产率为500件，每批装配费为50元，每月每件产品存储费为4元，求E.O.Q及最低费用。解解 已知C3=50，C1=4，P=500，R=100，将各值代入公式(7-7)及(7-8)得答答 每次生产批量为56件，每次生产所需装配费及存储费最低为179元。 332.3 模型三：不允许缺货，生产需一定时间v例例4 某商店经售甲商品成本单价500元，年存
17、储费用为成本的20%，年需求量365件，需求速度为常数。甲商品的定购费为20元，提前期为10天，求E.O.Q及最低费用。解 只需在存储降至零时提前10天订货即可保证需求。利用模型一的E.O.Q公式计算：最低费用 ：342.3 模型三：不允许缺货，生产需一定时间v一般设t1为提前期提前期，R为需求速度，当存储降至L=Rt1的时候即要订货。L称为“订购点订购点”(或称订货点)。v确定多少时间订一次货，虽可以用E.O.Q除以R得出t0(t0=Q0/R)，但求解的过程中并没有求出t0，只求出订货点L即可。v存储策略是：不考虑t0，只要存储降至L即订货，订货量为Q0，称这种存储策略为定点定货定点定货。相
18、对地每隔t0时间订货一次称为定时订货定时订货，每次订货量不变则称为定量订货定量订货。 352.4 模型四：允许缺货(需补足缺货)、生产需一定时间v假设条件除允许缺货生产需一定时间外，其余条件皆与模型一相同，其存储变化如图7-8所示。取0，t为一个周期，设t1时刻开始生产。0,t2时间内存储为零，B表示最大缺货量。t1,t2时间内除满足需求外，补足0,t1时间内的缺货。t2,t3时间内满足需求后的产品进入存储，存储量以(P-R)速度增加。S表示存储量，t3时刻存储量达到最大，t3时刻停止生产。t3,t时间存储量以需求速度R减少。图7-8362.4 模型四：允许缺货(需补足缺货)、生产需一定时间v
19、最大缺货量B=Rt1，或B=(P-R)(t2-t1)；即Rt1=(P-R)(t2-t1)，得 v最大存储量 S=(P-R)(t3-t2)，或S=R(t-t3)，即(P-R)(t3-t2)=R(t-t3)，得 v在0，t时间内所需费用：存储费 ： 将(7-16)式代入消去t3，得缺货费： 将(7-15)式代入消去t1，得 372.4 模型四：允许缺货(需补足缺货)、生产需一定时间v装配费：C3在0,t时间内总平均费用为：v令 ， 解出t1,t2v由(7-18)式得 382.4 模型四：允许缺货(需补足缺货)、生产需一定时间v由(7-17)式得 v将(7-19)式代入上式消去t2得v求得： ；可记
20、作t0 v由(7-19)有v依数学分析的知识可以断定C(t,t2)在t=t0， 时有最小值。392.4 模型四：允许缺货(需补足缺货)、生产需一定时间v相应地得到 vS0(最大存储量)vB0(最大缺货量)v最小费用： 402.5 价格有折扣的存储问题v价格有折扣的存储问题是指：货物单价可能随订购(或生产)数量而变化的存储策略。v除去货物单价随订购数量而变化外，其余条件皆与模型一的假设相同v记货物单价为K(Q)，设K(Q)按三个数量等级变化(见图7-9)图7-9412.5 价格有折扣的存储问题v当订购量为Q时，一个周期内所需费用为：v平均每单位货物所需费用C(Q)为：(见图7-10)图7-104
21、22.5 价格有折扣的存储问题v设最佳订购批量为Q*，在给出价格有折扣情况下，求解步骤如下：(1) 对C(Q)(不考虑定义域)求得极值点为Q0(2) 若Q0Q1，计算：由minC(Q0)，C(Q1)，C(Q2)得到单位货物最小费用的订购批量Q*。例如minC(Q0)，C(Q1)，C(Q2)=C(Q1)，则取Q*=Q1(3) 若Q1Q0Q2，计算C(Q0)、C(Q2)。由minC(Q0)，C(Q2)决定Q*(4) 若Q2 Q0，则取Q*=Q0。432.5 价格有折扣的存储问题v以上步骤易于推广到单价折扣分m个等级的情况。v比如说订购量为Q，其单价K(Q)：v对应的平均单位货物所需费用为：v对C1(Q)求得极值点为Q0，若Qj-1 Q0Qj，求minCj(Q0),Cj+1(Qi)，Cm(Qm-1)，设从此式得到的最小值为Cl(Ql-1)，则取Q*=Ql-1442.5 价格有折扣的存储问题v例例6 某厂每年需某种元件5000个，每次订购费C3=500元，保管费每件每年C1=10元，不允许缺货。元件单价K随采购数量不同而有变化。v解解 利用E.O.Q公式得到 分别计算每次订购707个和1500个元件所需平均单位元件所需费用：v因为C(1500)C(707)知最佳订购量Q=1500
