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1、多元函数积分学复习课一、内容提要上页下页铃结束返回首页二、典型例题上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v二重积分的定义 以闭区域D为底 曲面zf(x y)为顶的曲顶柱体的体积为 占有闭区域D 面密度为(x y)的平面薄片的质量为v定理 连续函数在有界闭区域上的二重积分必定存在 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v二重积分的性质v性质1 设c1、c2为常数 则 v性质2 如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2 则 v性质3 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v二重积分的性质v性质5 设M、m分别是 f(x y)在闭区域 D上的最大值和最小值 为D的
2、面积 则有 v性质6(二重积分的中值定理) 设函数 f(x y)在闭区域 D上连续 为D的面积 则在D上至少存在一点( )使得 v性质4 如果在D上 f(x y)g(x y) 则有不等式上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要 如果D是X型区域 D(x y)|1(x)y2(x) axb 则 v化二重积分为二次积分 如果D是Y型区域 D(x y)|y1(y)xy2(y) cyd 则 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v对称性问题 设 D 关于 y 轴对称. (1)若 f(-x, y) -f(x, y), 则 (2)若 f(-x, y) f(x, y), 则 其中 D1 为
3、D 在 y 轴右半部分. 提示: 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v利用极坐标计算二重积分 坐标变换公式: 面积元素: 如果积分区域可表示为D 1()2() 则上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要 设曲面 S: zf(x y) (x y)D, 则 S 的面积为v曲面的面积上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v三重积分的物理意义v三重积分的定义 设物体占有空间区域, 体密度为 f(x, y, z), 则物体的质量为v三重积分的几何意义 的体积为 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页注：当计算二重积分时用极坐标, 则得柱面坐标的计算法.内容提要 设积分区
4、域 : 则 求围定顶 v三重积分计算之投影法上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要 设积分区域为(x y z)|(x y)Dz c1zc2 则v宜用截面法的题型 v三重积分计算之截面法上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要 特殊区域的球面坐标表示 直角坐标与球面坐标的关系 xrsincos yrsinsin zrcos 球面坐标系中的体积元素 dvr2sindrdd 提示: |OP| rsin. v利用球面坐标计算三重积分上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v对弧长的曲线积分 设 光 滑 曲 线 弧 L的 参 数 方 程 为 xx(t) yy(t) (t) 则有
5、v对坐标的曲线积分 设 L: xx(t) yy(t), 起点和终点对应的参数分别为和 则有上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 格林公式 v格林公式内容提要上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 设 P(x y), Q(x y)在单连通区域 D 内具有连续偏导数 则在 D 内下列条件等价: v格林公式的应用内容提要(2) 曲线积分 (3) 存在函数 u(x, y), 使 (1) 与路径无关; 函数 u(x, y) 的计算公式上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页
6、例1 比较积分与的大小,解在内有故于是因此典型例题知识点其中 D 是闭圆域:积分区域 D 在直线 xy3 的右上方,上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 解 积分区域如图示, 例2 计算 提示: 的计算较繁, 考虑改换积分次序.表示为Y型区域:知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 例3 改换下列二次积分的积分次序. 解 积分区域如图示, 表示为Y型区域:提示: 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 例4 改换下列二次积分的积分次序. 解 积分区域如图示, 分为D1和D2两部分,知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 解 积分区域如图示, 表示为 型区域:提示:
7、例5 化 为极坐标形式的二次积分,其中知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例6 化 为极坐标形式的二次积分.提示: 抛物线 yx2x 在点(0, 0)处的切线方程为解 积分区域如图知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 例7 设区域 计算 解 积分区域如图示, 记 D1 为 D 的右半部分, 则有 D1知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页解1 积分区域如图 例8 设 计算知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页记区域 例8 设 计算解2 积分区域如图知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 在 xOy 面的投影区域 D 的边界曲线为 解 D 的底面 的顶
8、面 例9 化 为三次积分,其中由以下曲面所围:求围定顶 知识点作图 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 在 zOx 面的投影区域为 解 Dzx 例9 化 为三次积分,其中由以下曲面所围: 讨论: 化为先 y 再 x 后 z 的三次积分.知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 思考: 化为先 x 再 y 后 z 的三次积分. 解1 提示: 的后底 前顶 或在yOz面的投影区域如图示. 例9 化 为三次积分,其中由以下曲面所围:知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 例9 化 为三次积分,其中由以下曲面所围: 思考: 化为先 x 再 y 后 z 的三次积分.水平截面法 解2
9、知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页提示 的上边界曲面为z4 下边界曲面为zx2y2 用极坐标可表示为z2 所以 2z4 提示 在xOy面上的投影区域为x2y24 用极坐标表示为 02 02 解1 2z4 02 02 由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域 例10 闭区域可表示为 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页闭区域可表示为 解2 由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域 例10 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 在 xOy 面的投影区域 D 解 例11 求由以下曲面所围立体的体积:知识点作图 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 在 xOy 面的
10、投影区域 D 解 例12 求由以下曲面所围立体的体积:知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 例13 已知曲面S1与曲面S2, 它们的方程为 (1) 求两曲面所围成的立体的体积V; (2) 求立体的S1部分的表面积A. 在 xOy 面的投影区域为 解 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 例13 已知曲面S1与曲面S2, 它们的方程为 (1) 求两曲面所围成的立体的体积V; (2) 求立体的S1部分的表面积A. 解 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例14 已知 L 为圆周 x2y22ax (a0), 计算 解1 利用圆的标准参数方程来计算. 知识点上页下页结束返
11、回首页上页下页结束返回首页例14 已知 L 为圆周 x2y22ax (a0), 计算 解2 利用圆的极坐标方程来计算. 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页记 D 为圆域 x2y22x, 解 由格林公式有 例15 设 L 是正向圆周 x2y2 2x 计算 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例16 已知 L 为圆周 x2y22y 上从原点 O 按逆时针方向到点 A(0,2) 的圆弧, 计算 解 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例17 已知 L 为上半圆周 x2y22x 上从原点 O 到点 A(1,1) 的圆弧, 计算 解 记 所以曲线积分与路径无关. 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 例18 验证 在整个xOy面内 记 解 所以存在u(x,y), 使 是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 知识点
