《高等数学第58节课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学第58节课件（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.5 1.5 函数的极限函数的极限一、数列的极限一、数列的极限二、函数的极限二、函数的极限1高等数学第58节一、数列的极限一、数列的极限1 1、引例、引例 截丈问题截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”.”.2高等数学第58节2 2、数列、数列 例如例如3高等数学第58节3 3、数列的极限、数列的极限例如例如定义定义2 2或或如果数列没有极限如果数列没有极限, ,就说数列是发散的就说数列是发散的. .4高等数学第58节例如例如则称则称收敛于收敛于1 1，或称，或称1 1是数列是数列的极限的极限. .数列极限的精确定义数列极限的精确定义或或5高等数学第58节数列极
2、限的几何意义数列极限的几何意义如果如果则任给则任给的一个的一个邻域，邻域， 总存在总存在N N当当n n大于大于N N的所有的所有项都在此邻域里项都在此邻域里. .例例1 1例例2 2例例3 3 可以证明可以证明对于数列对于数列若若6高等数学第58节二、函数的极限二、函数的极限1 1、时函数时函数 的极限的极限则称则称以以2 2为极限，记作为极限，记作再如再如 上式表明，函数不论在上式表明，函数不论在1 1点是否有定义，极限都点是否有定义，极限都可能存在可能存在. .7高等数学第58节如果存在常数如果存在常数趋于趋于定义定义4 4，使得当，使得当的极限的极限, ,时函数时函数设函数设函数在点在
3、点的某个空心邻域内有定义的某个空心邻域内有定义, ,时时, ,无限无限则称则称为为记作记作或或例如例如下面给出函数极限的精确定义下面给出函数极限的精确定义8高等数学第58节定义定义5 5记作记作或或9高等数学第58节(3) (3) 几何意义几何意义10高等数学第58节2 2、时函数时函数 的极限的极限定义定义6 6，当，当的极限的极限, ,时函数时函数设函数设函数和常数和常数时时, ,无限无限趋于趋于则称则称为为记作记作或或例如例如下面给出函数极限的精确定义下面给出函数极限的精确定义11高等数学第58节几何解释几何解释: :12高等数学第58节13高等数学第58节3 3、函数极限的其它情况、函
4、数极限的其它情况（1 1）左极限与右极限）左极限与右极限左极限左极限右极限右极限14高等数学第58节例例4 4 设函数设函数显然显然所以所以15高等数学第58节例例5 5 设函数设函数(1)(1)求求(2)(2)当当 为何值时为何值时, ,极限极限(1)(1)(2)(2) 由由即即所以当所以当时时, ,极限极限16高等数学第58节(2)(2)与与的极限的极限, ,时函数时函数若当若当无限无限趋于常数趋于常数则称则称为为记作记作沿沿轴的正向轴的正向( (或负向或负向) )趋于无穷时趋于无穷时, ,函数函数对于对于这三个不同这三个不同的极限的极限, ,有结论有结论17高等数学第58节例例6 6 求
5、极限求极限解解因为因为不存在不存在. .所以所以18高等数学第58节1.6 1.6 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、一、 无穷小量的概念与性质无穷小量的概念与性质二、二、 无穷大量的概念与性质无穷大量的概念与性质19高等数学第58节一、一、 无穷小量的概念与性质无穷小量的概念与性质1 1、 无穷小量的概念无穷小量的概念例如例如20高等数学第58节注意注意（1 1）无穷小是变量）无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;（2 2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数. .定理定理1 1 其中其中是当是当时的无穷小时的无穷小. .2 2、 无穷小量的
6、性质无穷小量的性质性质性质1 1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小. .注意注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .21高等数学第58节性质性质2 2 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. .性质性质3 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .例例1 1 求极限求极限解解因为因为所以所以是有界函数，是有界函数，又当又当时，时，是无穷小量，是无穷小量， 所以由性质所以由性质3 3知，知，22高等数学第58节二、二、 无穷大量的概念与性质无穷大量的概念与性质1 1、
7、无穷大量的概念无穷大量的概念23高等数学第58节注意注意 1 1）无穷大是变量）无穷大是变量, ,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; ;3 3）无穷小与无穷大的关系）无穷小与无穷大的关系24高等数学第58节2 2、 无穷小量的性质无穷小量的性质性质性质1 1 无穷大量与有界函数的代数和仍是无穷大量无穷大量与有界函数的代数和仍是无穷大量. .性质性质2 2 两个无穷大量的乘积仍是无穷大量两个无穷大量的乘积仍是无穷大量. .例例2 2 求极限求极限解解因为因为是有界函数，是有界函数，所以由性质所以由性质1 1知，知，25高等数学第58节1.7 1.7 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则一
8、、一、 极限的性质极限的性质二、极限的运算法则二、极限的运算法则26高等数学第58节一、一、 极限的性质极限的性质性质性质1 (1 (唯一性唯一性) ) 若极限存在若极限存在, ,则极限值唯一则极限值唯一. .性质性质2 2 有极限的数列必有界有极限的数列必有界. .性质性质3 3 若若存在存在, ,则函数则函数在在的某空心的某空心邻域内有界邻域内有界. .性质性质4(4(局部保号性局部保号性) )27高等数学第58节性质性质5 5二、极限的运算法则二、极限的运算法则1 1、极限的四则运算法则、极限的四则运算法则定理定理1 1证证28高等数学第58节由无穷小运算法则由无穷小运算法则, ,得得推
9、论推论1 1推论推论2 2推论推论3 3且则29高等数学第58节2 2、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则且对满足 定理定理2 2则复合函数则复合函数当当的极限存在的极限存在, ,且且 极限的复合运算法则是求极限的一个重要法则极限的复合运算法则是求极限的一个重要法则, ,具有广泛的应用性具有广泛的应用性. .30高等数学第58节3 3、求极限方法举例、求极限方法举例例例1 1解解31高等数学第58节解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系, ,得得例例2 232高等数学第58节解解例例3 3( (消去零因子法消去零因子法) )33高等数学第58节
10、例例4 4解解( (无穷小因子分出法无穷小因子分出法) )34高等数学第58节小结小结: :35高等数学第58节例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限. .36高等数学第58节例例6 6解法解法 1 1原式原式=解法解法 2 2原式原式=37高等数学第58节例例7 7 求极限求极限解解 作变量代换作变量代换, ,设设则则38高等数学第58节1.8 1.8 极限存在性准则与两个重要极限极限存在性准则与两个重要极限一、一、 极限存在性准则极限存在性准则二、两个重要的极限二、两个重要的极限39高等数学第58节一、一、 极限存在性准则极限存在性准则准则准则1 1 称为称为夹逼准则夹逼准则. .准则
11、准则 设在设在的某空心邻域的某空心邻域, ,有有那末那末存在存在, , 且等于且等于注意注意(1)(1)对于对于等其他函数极限的情况等其他函数极限的情况, ,也有类似的结果也有类似的结果; ;40高等数学第58节(2)(2)对于数列的夹逼定理为对于数列的夹逼定理为例例1 1 求极限求极限解解 由于由于又因为又因为由夹逼定理知由夹逼定理知41高等数学第58节例例2 2解解由夹逼定理得由夹逼定理得42高等数学第58节准则准则 单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列. .几何解释几何解释准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .43高等数学第58节例例
12、3 3证证( (舍去舍去) )44高等数学第58节二、两个重要的极限二、两个重要的极限AOB AOB 的面积的面积圆扇形圆扇形AOBAOB的面积的面积 AOCAOC的面积的面积45高等数学第58节46高等数学第58节例例6 6解解例例5 547高等数学第58节解解:48高等数学第58节2 2、重要极限、重要极限49高等数学第58节类似地类似地, ,50高等数学第58节再证再证时, 设则则当当51高等数学第58节当当则则从而有从而有故故说明说明: :时时, 令令52高等数学第58节例例6 6解解例例7 7解解53高等数学第58节解解54高等数学第58节例例9 9 求极限求极限解解55高等数学第58节
