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1、1n力雅可比 机器人与外界环境相互作用时，接触的地方产生的力f f和力矩n n，统称为末端广义力（操作力）矢量，记为： 在静止状态下，广义操作力矢量F与各个关节的驱动力或力矩相平衡。n个关节的驱动力或力矩组成n维矢量（关节力矢量）：2 令各关节的虚位移 ，末端执行器相应的虚位移则关节力所作虚功：末端执行器所作虚功：由虚功原理： 称为操作臂的雅可比，它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。3可以看出操作臂的力雅可比 为运动雅可比 的转置，因此静力传递关系与速度传递关系紧密相关。 n为关节数量；m为操作空间的维数。对给定的q，J(q)的值域空间R(J(q)代表运动所能够产生的全部操作
2、速度的集合。4当J(q)退化时，操作臂处于奇异行位J(q)的零空间N(J(q)表示不产生操作速度的关节速度的集合。如果零空间N(J(q)不止含有0，则对于给定的操作速度，关节速度的反解有无限多。 速度映射是从n维关节空间向m维操作空间的映射。5 静力映射是从m维操作空间向n维关节空间的映射。静力映射的零空间N(JT(q)表示不需要任何关节驱动力或力矩而能承受的所有操作力的集合，末端操作力完全由机构本身承受。而值域空间R(JT(q)表示操作力能平衡的所有关节力的集合。6速度映射的零空间N(J (q)是静力映射的值域空间R(JT(q)在n维关节空间的正交补，反之亦然。其物理意义是在不产生操作速度的这些关节速度方向上，关节力矩不能被操作力所平衡。在m维操作空间中存在相似的对偶关系。7利用瞬时运动和静力的对偶关系，可以从瞬时运动关系推导出相应的静力关系。8n奇异性操作臂的雅可比依赖行位q，关节空间的奇异行位q定义为操作臂6n的雅可比J(q)的秩不是满秩的这些关节矢量q，即满足：相应的操作空间中的点x=x(q)为工作空间的奇异点，在奇异点处，操作臂丧失一个或多个操作自由度。机器人的奇异形位主要分为两类：（1）边界奇异形位（2）内部奇异形位910
