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1、一、单项选择题一、单项选择题（每小题（每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 答案：C1、下列命题,正确的是： （A） 是单位向量 （B） 不是单位向量 （C） （D） 答案：B（A） （D） 2、设三个向量 满足关系式 则 （ B） （ C） 答案：C3、旋转曲面 的旋转轴是 （A） 轴（B） 轴（C） 轴 （D）直线 答案：A4、下列方程中是二阶微分方程的是 ：（A） （D） （B） （C） 答案：B5、曲线 （A） （D） （B） （C） 经过点 且满足微分方程 则当 时，答案：C6、函数 （A） （D） （B） （C） 的定义域是： 答案：B7、计算 （A） （D） （B） （C）
2、答案：A8、设 （A） （D） （B） （C） 其中 是由圆周 所围成，则 无法判定 答案：C9、当级数 （A） （D） （B） （C） 答案：D10、设 （A） （D） （B） （C） 是圆域 的正向边界，则 收敛时，级数 与必同时收敛 必同时发散 可能不同时收敛 不可能同时收敛 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共10小题，每小题小题，每小题2 分，共分，共20 分）分）1、过原点且与直线 垂直的平面方程 为2、点到平面的距离为3、曲线在处的切线方程为4、曲面在处的切平面方程为5、若则6、若则7、级数的和是8、微分方程满足的特解是9、若则10、设曲线是分段光滑的且 则三、计算题（本大题
3、共三、计算题（本大题共7小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 42 分）分）1、求微分方程的通解.解：原方程的特征方程为 特征根为 （1分） 对应的齐次方程的通解为 （1分） 因为不是特征方程的根. 由知，可设（1分） 将 代入原方程,得 即 比较一次项的系数,得 （1分） 代入上式,得 于是,原方程的通解为 （1分） （1分） 解：（3分） (1分)2、已知求 (2分)解：作草图(略). (1分)由直线3、计算二重积分其中及 所围成. （1分） 将积分区域视为 型 （1分） （1分） （1分） （1分） 解：积分曲面 为平面 4、计算曲面积分其中被柱面 所截得的部分. （1分） 其投影
4、域 而（1分） (1分)（1分） 故 (1分) (1分) (1分) (1分)解： 为有向闭折线 5、计算其中而 依次为 （1分） （2分） (1分) (1分) (2分)解：因为 为球面 6、计算其中的外侧. （2分） （2分） 由高斯公式得 其中为球体 (1分)（利用球面坐标 ） (1分)解：由比值判别法有 7、求级数 的收敛域. （1分） （1分） (1)当 原级数绝对收敛 .即 或 时,（1分） (2)当 原级数绝对发散 .即 时,（1分） (3)当 收敛 ，故级数的收敛域为 或 当 时，级数为 发散 ，当 时，级数为 （1分） （1分） 四、应用题（本大题共四、应用题（本大题共 2 小题
5、，每小题小题，每小题6分，共分，共12分）分）1、将一长度为解方程组 (2分)解：设三段长度分别为 的细杆分为三段,试问如何分才能使三段长度之乘积为最大. 则它们的乘积为 其中 且 (2分)(1分) 得唯一驻点为 (1分)所以,当三段长度都为 它们的乘积最大且为 时,解：根据对称性有 所围成区域 2、求曲线和 的面积.（1分） 其中 （1分） 是 在第一象限内的部分 利用极坐标变换由 （1分） 联立 解得交点 （1分）故所求面积 （1分）（1分）五、证明题五、证明题(本大题共本大题共1小题，共小题，共6 分分) 证明：所以由级数性质知 (1分)又因为 所以由比较判别法知级数 绝对收敛. (1分)1、若级数 及 收敛，证明：级数 也收敛.因为级数 和 都收敛，也收敛.(1分)故由级数性质知 (2分)而 也收敛.(1分)
