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1、第二讲第二讲 参参 数数 方方 程程1、参数方程的概念、参数方程的概念（1）在在取取定定的的坐坐标标系系中中，如如果果曲曲线线上上任任意意一一点点的的坐坐标标x 、y都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即并并且且对对于于t的的每每一一个个允允许许值值，由由上上述述方方程程组组所所确确定定的的点点M（x,y）都都在在这这条条曲曲线线上上，那那么么上上述述方方程程组组就就叫叫做做这这条条曲曲线线的的参参数数方方程程 ，联联系系x、y之之间间关关系系的的变变数数叫叫做做参参变变数数，简简称称参参数数。参参数数方方程程的的参参数数可可以以是是有有物物理理、几几何何意意义义的的变变数数，也也可可
2、以以是是没没有有明明显显意意义义的的变数。变数。（2） 相相对对于于参参数数方方程程来来说说，前前面面学学过过的的直直接接给给出出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程。（4 4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程. .参数方程求法参数方程求法参数方程求法参数方程求法: : （1 1）建立直角坐标系）建立直角坐标系）建立直角坐标系）建立直角坐标系, , 设曲线上任一点设曲线上任一点设曲线上任一点设曲线上任一点P P坐标为坐
3、标为坐标为坐标为; ;（2 2）选取适当的参数）选取适当的参数）选取适当的参数）选取适当的参数; ; （3 3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, , 物理意义物理意义物理意义物理意义, , 建立点建立点建立点建立点P P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式; ;sin=cos=tan=cot=yrxryxxy1三角函数定义三角函数定义A(x,y)yxorsec=rxcsc=ry一一 复习回顾复习回顾并且对于并且对于 的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组所所确定的
4、点确定的点P(x,y),都在圆都在圆O上上. 5o思考思考1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？的圆的参数方程是什么呢？ 我们把方程组我们把方程组叫做圆心在原点、半径为叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，的圆的参数方程，是参数是参数.观察观察2(a,b)r又又所以所以圆心为原点半径为圆心为原点半径为圆心为原点半径为圆心为原点半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程. . 其中参数其中参数其中参数其中参数 的几何意义是的几何意义是的几何意义是的几何意义是OMOM0 0绕点绕点绕点绕点OO逆时针旋转到逆时针旋转到逆时针旋转到逆时针旋转
5、到OMOM的位置时，的位置时，的位置时，的位置时，OMOM0 0转过的角度转过的角度转过的角度转过的角度 圆心为圆心为圆心为圆心为 ，半径为半径为半径为半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。例例1 1、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2
6、 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为(为参数为参数)练习：练习： 1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是(0 2 )如果圆上点如果圆上点P所对应的参数所对应的参数 ，则点，则点P的坐标是的坐标是 A的圆，化为标准方程为（2，-2）1xMPAyO解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的
7、轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin 圆圆x2+y2=16的参数方程为的参数方程为例例2. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公
8、式得: 点点P的坐标为的坐标为(2x- -12,2y)(2x- -12)2+(2y)2=16即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x- -6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO例例2. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动上动点，求（点，求（1） x2+y2 的最值，的最值， （2）x+y的最值，的最值， （3
9、）P到直线到直线x+y- 1=0的距离的距离d的最值。的最值。 解：圆解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为用参数方程表示为由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），），（1） x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).(其中其中tan =3/2) x2+y2 的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14- 2 。(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ） x+y的最大值为的最大值为5+ ，最小值为
10、，最小值为5 - 。 (3)显然当显然当sin（ + ）= 1时，时，d取最大值，最取最大值，最小值，分别为小值，分别为 ， 。参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化 把它化为我们熟悉的普通方程，有把它化为我们熟悉的普通方程，有把它化为我们熟悉的普通方程，有把它化为我们熟悉的普通方程，有 cos=x-3, sin=y; cos=x-3, sin=y; 于是于是于是于是(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1，轨迹是什么就很清楚了轨迹是什么就很清楚了轨迹是什么就很清楚了轨迹是什么就很清楚了 在例在例在例在例1 1中，由参数方程中，由参数方程中，由参数方程中，由参数方程直接判断点
11、直接判断点直接判断点直接判断点MM的轨迹是什么并不方便，的轨迹是什么并不方便，的轨迹是什么并不方便，的轨迹是什么并不方便， 一般地一般地一般地一般地, , 可以通过消去参数而从参数方程得到普通可以通过消去参数而从参数方程得到普通可以通过消去参数而从参数方程得到普通可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；方程；方程；方程； 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. . 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方
12、程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取的取的取的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的值范围保持一致，否则，互化就是不等价的值范围保持一致，否则，互化就是不等价的值范围保持一致，否则，互化就是不等价的. .把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程： 例例例例1 1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？各表示什么曲线？各表示什么曲线？各表示什么曲线？解解解解: : (1)(1)
13、由由由由得得得得代入代入代入代入得到得到得到得到这是以（这是以（这是以（这是以（1 1，1 1）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；所以所以所以所以把把把把得到得到得到得到(1)(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2(1) (x-2)2+y2=9(2) y=1- 2x(2) y=1- 2x2 2（- 1x1- 1x1）(3) x2- y=2（x2或或x- 2）练习、练习、将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。B B例例例例2 2 求
14、参数方程求参数方程求参数方程求参数方程表示（表示（表示（表示（ ）（A A）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支, , 这支过点（这支过点（这支过点（这支过点（1, 1/21, 1/2）; ;（B B）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分, , 这部分过（这部分过（这部分过（这部分过（1, 1/21, 1/2）; ;（C C）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支, , 这支过点（这支过点（这支过点（这支过点（1, 1/2);1, 1/2);（D D）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分, , 这部分过（这部
15、分过（这部分过（这部分过（1, 1/2).1, 1/2).例例例例3 3 求椭圆求椭圆求椭圆求椭圆的参数方程：的参数方程：的参数方程：的参数方程：(1)(1)设设设设为参数；为参数；为参数；为参数；(2)(2)设设设设为参数为参数为参数为参数. .为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？在在在在y=xy=x2 2中中中中，x xR, y0R, y0，因而与因而与因而与因而与 y=x y=x2 2不等价；不等价；不等价；不等价；练习练习练习练习: :曲线曲线曲线
16、曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（的一种参数方程是（的一种参数方程是（ ）. .在在在在A A、B B、C C中，中，中，中，x, yx, y的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，而在而在而在而在D D中，中，中，中， x, y x, y范围与范围与范围与范围与y=xy=x2 2中中中中x, yx, y的范围相同，的范围相同，的范围相同，的范围相同，代入代入代入代入y=xy=x2 2后满足该方程，后满足该方程，后满足该方程，后满足该方程，从而从而从而从而D D是曲线是曲线是曲线是曲线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程
17、的一种参数方程的一种参数方程. . 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的的的的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的. .解：解：解：解： 练习练习练习练习 P P是双曲线是双曲线是双曲线是双曲线 (t (t是参数是参数是参数是参数) )上任一点，上任一点，上任一点，上任一点，F F1 1, F, F2 2是该焦点：求是该焦点：求是该焦点：求是该焦点：
18、求F F1 1F F2 2的重心的重心的重心的重心GG的轨迹的普通方程。的轨迹的普通方程。的轨迹的普通方程。的轨迹的普通方程。 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：法有三种：法有三种：法有三种：1. 1.代入法：代入法：代入法：代入法： 利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数t, t,然后代入消去参数然后代入消去参数然后代入消去参数然后代入消去参数2. 2.三角法：三角法：三角法：三角法：
19、 利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数3. 3.整体消元法：整体消元法：整体消元法：整体消元法： 根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征, , 整体上消去整体上消去整体上消去整体上消去 化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为F(x,y)=0F(x,y)=0：在消参过程中：在消参过程中：在消参过程中：在消参过程中注意注意注意注意变量变量变量变量x x、y y取值范围的一致性取值范围的一致性取值范围的一致性取值范围的一致性，必须根据
20、参数的取值，必须根据参数的取值，必须根据参数的取值，必须根据参数的取值范围，确定范围，确定范围，确定范围，确定f(t)f(t)和和和和g(t)g(t)值域得值域得值域得值域得x x、y y的取值范围。的取值范围。的取值范围。的取值范围。小小小小 结结结结小小 结结: :1、圆的参数方程、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：、求轨迹方程的三种方法：相关点点问相关点点问题（代入法）；题（代入法）； 参数法；参数法；定义法定义法5、求最值、求最值解：解：解：解： x x2 2+y+y
21、2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程化为标准方程化为标准方程化为标准方程, (x+1), (x+1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1参数方程为参数方程为参数方程为参数方程为(为参数为参数为参数为参数) )例例例例1 1 已知圆方程已知圆方程已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0,+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。将它化为参数方程。将它化为参数方程。将它化为参数方程。练习：练习：练习：练习： 例例2 如图如图,圆圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点
22、的中点，当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时，求点运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点解：设点解：设点解：设点MM的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(x, y),(x, y),则点则点则点则点P P的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(2cos(2cos ,2sin,2sin ). ).由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得因此，点因此，点因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是例例例例3 3 已知已知已知已知x x、y y满足满足满足满足, ,求求求求的最大值和最小值的最大值和
23、最小值的最大值和最小值的最大值和最小值解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为2 2 点点点点P(x, y)P(x, y)是曲线是曲线是曲线是曲线为参数为参数为参数为参数) )上任意一点，则上任意一点，则上任意一点，则上任意一点，则的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为( )( )A 1 B 2 C DA 1 B 2 C D练习练习练习练习1 P(x, y)1 P(x, y)是曲线是曲线是曲线是曲线(为参数为参数为参数为参数) )上任意一点上任意一点上任意一点上任意一点, ,则则则则的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为( )( )A
24、 AA A36 B36 B6 C6 C26 D26 D2525D D3 3 圆圆圆圆的圆心的轨迹是的圆心的轨迹是的圆心的轨迹是的圆心的轨迹是( )( ) A A圆圆圆圆 B B直线直线直线直线 C C椭圆椭圆椭圆椭圆 D D双曲线双曲线双曲线双曲线A A( ( 为参数为参数为参数为参数) )上任意一点上任意一点上任意一点上任意一点, ,则则则则4 4 点点点点P(x, y)P(x, y)是曲线是曲线是曲线是曲线的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为 . . .5 5 已知点已知点已知点已知点P P是圆是圆是圆是圆 上一个动点上一个动点上一个动点上一个动点, ,定点定点定点定点A(12, 0)
25、A(12, 0)， 点点点点MM在线段在线段在线段在线段PAPA上，且上，且上，且上，且2|PM|=|MA|2|PM|=|MA|，当点，当点，当点，当点P P在圆上运动在圆上运动在圆上运动在圆上运动 时，求点时，求点时，求点时，求点MM的轨迹的轨迹的轨迹的轨迹解：设点解：设点解：设点解：设点MM的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(x, y),(x, y),则点则点则点则点P P的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(4cos(4cos ,4sin,4sin ). ).2|PM|=|MA|, 2|PM|=|MA|, 由题设由题设由题设由题设(x-12, y)=(x-12, y)= 因此，点因此，点因此，
26、点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是 例例例例4 (1)4 (1)点点点点P(m,n)P(m,n)在圆在圆在圆在圆x x2 2+y+y2 2=1=1上运动上运动上运动上运动, ,求点求点求点求点Q(m+n, Q(m+n, 2mn)2mn)的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程; ; (2) (2)方程方程方程方程x x2 2+y+y2 2-2(m+3)x+2(1-4m-2(m+3)x+2(1-4m2 2)y+16m)y+16m4 4+9=0.+9=0.若该方若该方若该方若该方程表示一个圆程表示一个圆程表示一个圆程表示一个圆, , 求求求求mm
27、的取值范围和圆心的轨迹方程的取值范围和圆心的轨迹方程的取值范围和圆心的轨迹方程的取值范围和圆心的轨迹方程. . 已知已知已知已知P(x, y)P(x, y)圆圆圆圆C C：x x2 2+y+y2 26x6x4y+12=04y+12=0上的点。上的点。上的点。上的点。 (1)(1)求求求求 的最小值与最大值的最小值与最大值的最小值与最大值的最小值与最大值(2)(2)求求求求x xy y的最大值与最小值的最大值与最小值的最大值与最小值的最大值与最小值例例例例5 5 最值问题最值问题最值问题最值问题例例例例6 6 参数法求轨迹参数法求轨迹参数法求轨迹参数法求轨迹 已知点已知点已知点已知点A(2, 0
28、),PA(2, 0),P是是是是x x2 2+y+y2 2=1=1上任一点上任一点上任一点上任一点, , 的平分的平分的平分的平分线交线交线交线交PAPA于于于于QQ点点点点, ,求求求求QQ点的轨迹点的轨迹点的轨迹点的轨迹. .AQ:QP=2:1 例例例例7 7 已知已知已知已知A A（11，0 0）、）、）、）、B B（1 1，0 0）,P,P为圆为圆为圆为圆上的一点上的一点上的一点上的一点, ,求求求求 的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应P P点点点点的坐标的坐标的坐标的坐标. . 练习练习练习练习 将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程(2)(2)
