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1、第七节数学归纳法及其应用第七节数学归纳法及其应用1数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数明一个与正整数n有关的命有关的命题，可按下列步，可按下列步骤进行：行：(1)(归纳奠基奠基)证明当明当n取取_时命命题成立；成立；(2)(归纳递推推)假假设nk(kn0，k N*)时命命题成成立立，证明明当当_时命命题成立成立只只要要完完成成这两两个个步步骤，就就可可以以断断定定命命题对从从n0开开始始的的所所有有正正整整数数n都成立都成立第一个值第一个值n0(n0 N*)nk12数学归纳法的框图表示数学归纳法的框图表示1数数学学归纳法法的的第第一一步步n取取第第一一个个值n0(n N*)是是否否一一定定为1
2、呢呢？【提提示示】不不一一定定n0的的取取值值应应取取命命题题成成立立的的第第1个个值值，不不一一定是定是1.2数学数学归纳法的两个步法的两个步骤的作用分的作用分别是什么？是什么？【提示提示】数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推两者缺一不可另外，在第二步中证明推两者缺一不可另外，在第二步中证明nk1时命题成时命题成立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法 【解析解析】三角形是边数最少的凸多边
3、形，三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验故第一步应检验n3.【答案答案】C【解析解析】k为偶数，则为偶数，则k2为偶数，选为偶数，选B.【答案答案】B【答案答案】C【思路点拨思路点拨】(1)第一步验证第一步验证n1时等式成立时等式成立(2)第第二二步步假假设设nk(k N*)时时等等式式成成立立，证证明明nk1时时，等等式式成成立立用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式 1用用数数学学归归纳纳法法证证明明等等式式问问题题，首首先先应应弄弄清清等等式式的的结结构构特特征征，即即弄弄清清等等式式两两边边的的构构成成规规律律，等等式式两两边边各各有有多多少少项项，初初始始值值n0是多少是多少
4、2用用数数学学归归纳纳法法证证明明等等式式的的关关键键是是由由nk时时命命题题成成立立，递递推推出出nk1时时，命命题题也也成成立立，为为此此可可写写出出目目标标式式nk1时时，命命题题是是什什么么，并并找找出出与与nk时时，命命题题的的差差别别，明明确确变变形形的的目目标标，充分利用假设，进行合理变形，正确写出证明过程充分利用假设，进行合理变形，正确写出证明过程用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 当当nk1时，不等式成立，时，不等式成立，根据根据(1)，(2)知不等式对知不等式对nN*都成立都成立1用用数数学学归归纳纳法法证证明明与与n有有关关的的不不等等式式一一般般有有两两种种形
5、形式式：一一是是直直接接给给出出不不等等式式，按按要要求求进进行行证证明明；二二是是给给出出两两个个式式子子，按按要要求求比比较较它它们们的的大大小小对对第第二二类类形形式式往往往往要要先先对对n取取前前几几个个值值的的情况分别验证比较，猜想出结论，并用数学归纳法证明情况分别验证比较，猜想出结论，并用数学归纳法证明2用用数数学学归归纳纳法法证证明明不不等等式式的的关关键键是是由由nk时时命命题题成成立立得得nk1时时命命题题也也成成立立，在在归归纳纳假假设设使使用用后后可可运运用用比比较较法法、综综合合法法、分析法、放缩法等来加以证明分析法、放缩法等来加以证明【思路点拨思路点拨】根据求出的前根
6、据求出的前n项，抽象出一般性的规律，然项，抽象出一般性的规律，然后利用数学归纳法证明后利用数学归纳法证明归纳归纳猜想猜想证明证明 1猜猜想想an的的通通项项公公式式是是一一个个由由特特殊殊到到一一般般的的过过程程，通通过过计计算算a1，a2，a3发现规律，有时可能要多算几项才行发现规律，有时可能要多算几项才行2“归归纳纳猜猜想想证证明明”的的模模式式，是是不不完完全全归归纳纳法法与与数数学学归归纳纳法法综综合合应应用用的的解解题题模模式式，这这种种方方法法在在解解决决探探索索性性问问题题、存存在在性性问问题题时时起起着着重重要要作作用用，它它的的模模式式是是先先由由合合情情推推理理发发现现结结
7、论论，然然后后经经逻逻辑辑推推理理证证明明结结论论的的正正确确性性，这这种种思思维维方方式式是是推推动动数数学学研研究和发展的重要方式究和发展的重要方式从近两年的高考从近两年的高考试题来看，用数学来看，用数学归纳法法证明与正整数明与正整数有关的命有关的命题以及与数列有关的命以及与数列有关的命题是高考的是高考的热点，点，题型型为解答解答题，主要考，主要考查用数学用数学归纳法法证明数学命明数学命题的能力，分析的能力，分析问题、解决解决问题的能力，的能力，难度度为中、高档在求解中、高档在求解时，应注意答注意答题步步骤的的规范化范化(12分分)(2012汕尾模拟汕尾模拟)已知已知ABC的三的三边长是有
8、理数是有理数(1)求求证：cos A都是有理数；都是有理数；(2)求求证：对任意正整数任意正整数n，cos nA是有理数是有理数规范解答之十一巧用数学归纳法证明三角问题规范解答之十一巧用数学归纳法证明三角问题(2)用数学归纳法证明用数学归纳法证明cos nA和和sin Asin nA都是有理数都是有理数当当n1时，由时，由(1)知知cos A是有理数，是有理数，从而有从而有sin Asin A1cos 2A也是有理数也是有理数.6分分假假设设当当nk(k1)时时，cos kA和和sin Asin kA是是有有理理数数当当nk1时，则时，则cos (k1)Acos Acos kAsin Asin
9、 kA，sin Asin (k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，10分分由由和和归归纳纳假假设设，知知cos (k1)A与与sin Asin (k1)A都都是是有有理理数即当数即当nk1时，结论成立时，结论成立综合综合、可知，对任意正整数可知，对任意正整数n，cos nA是有理数是有理数.12分分【解题程序解题程序】第一步：利用余弦定理证明第一步：利用余弦定理证明cos A是有理数；是有理数；第二步：证明第二步：证明n1时，时，cos nA，sin Asin nA是有理数；是有理数；第第三三
10、步步：假假设设nk时时，cos kA，sin Asin kA是是有有理理数数；证证明明nk1时，时，cos(k1)A是有理数是有理数易易错错提提示示：(1)不不能能将将cos A与与三三角角形形边边长长联联系系起起来来，无无法法证证明明第第(1)小小题题；(2)在在用用数数学学归归纳纳法法证证明明第第(2)小小题题时时，对对sin Asin kA束手无策，思维受阻，无法求解束手无策，思维受阻，无法求解防防范范措措施施：(1)角角A是是ABC的的内内角角，且且ABC的的三三边边长长是是有有理理数数，可联想到用边长表示可联想到用边长表示cos A，即余弦定理，即余弦定理(2)在在证证明明cos(k1)A是是有有理理数数时时，需需要要用用到到结结论论“sin Asin kA是有理数是有理数”，但此结论需要证明，但此结论需要证明【解析解析】当当nk时，左边时，左边123k2，当当nk1时时，左左边边123k2(k21)(k22)(k1)2，选，选D.【答案答案】D2(2012珠海模拟珠海模拟)在数列在数列an，bn中，中，a12，b14，且，且an，bn，an1成等差数列，成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列成等比数列(n N*)，求求a2，a3，a4及及b2，b3，b4，由此猜，由此猜测an，bn的通的通项公式，公式，并并证明你的明你的结论课时知能训练课时知能训练
