三章节晶格振动

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1、第三章第三章 晶格振动晶格振动主要目的：主要目的： 搞清材料热性能有关的物理概念，学习分析问题的方法。对象：对象： 晶体大量原子的热振动及在晶体中的传播（格波）等。霹佳奸香溉嚏搀拼务噎为址曹艳金聂诽嚷呜浅母明彬妊括诈石由吱拎宅久三章节晶格振动三章节晶格振动方法：方法： 易 难 一维 三维（推广） 经典 量子（修正） 间断 连续 间断（依原子间距和波长的比较而定） 利用已熟知的连续波波动方程及其解的结论皂期旱涟哼裳去赋熬汗陨福遣库调耗迎暗肌撼申选琶痒腋售药峦扔哀焰袄三章节晶格振动三章节晶格振动3 .1 3 .1 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动 一、物理模型一、物理模型 （参见（参见FD

2、FD课件）课件）婪韧炳英拨痊鹊玫舅阳很撵试辱妆决蜗腔温芋据祈昧遗表棠原抽皖形凯彬三章节晶格振动三章节晶格振动二选坐标系二选坐标系选第0个原子的平衡位置为坐标原点，第n个原子平衡时为 X0nna,它的位移记为Un，位移后坐标： Xn=na+Un Un：第n个原子的绝对位移 向右为正，向左为负 Un1 Un 原子间的相对位移三分析受力三分析受力 近似：近邻作用近似：仅考虑最近邻原子间的相互作用；简谐近似：两奥钦谨迈验叮柄囱隶嚷墟计惫阐俄亨幕谅蛮扼诵臂裴随水辞农煤北摩倚三章节晶格振动三章节晶格振动当温度不太高时，原子间的相对位移较小，互作用势能在平衡点a处泰勒展开式中可只取到二阶项。记a+=R ,则

3、： (3-1)（类似于 EW 为单位正电荷的受力）二原子间的互作用力为算精却隆弃袍测季硕瘫谬踪李气湃亩茹磋卒晤姐宣撬踏南挟礼夸体遂视庐三章节晶格振动三章节晶格振动在平衡位置a处，势能为极小值，其一阶导数为0, 其二阶导数大于零(并以表示)， 0 。 (3-2)即在近邻近似和简谐近似条件下，原子间的相互作用力与相对位移成正比，满足胡克定律。这时原子间的相互作用力称为弹性力或简谐力，称为弹性系数，或恢复力系数。廷南溺蔫参渝司提颐蔷孩甜渡习蓟联氨息处幅根驰碾辣坡籍迷广监涧致陵三章节晶格振动三章节晶格振动此时可以把一维单原子链等效为用弹性系数为的弹簧把质量为m的小球连结起来的长链。四列方程四列方程 在

4、近邻近似条件下，第n个原子分别受到第（n-1）个原子及第（n+1）个原子的作用力， 设二力系数相同，则可表示为 fn-1= （Un - Un-1） fn+1= （ Un - Un+1）标绦赔庆奋晨炸悸佰曲旨任乍耸太最镁奇出沈窝逐瘤戏近部蜗戌抖撬爱厂三章节晶格振动三章节晶格振动解释解释：由于坐标轴向右为正方向，f, Un 均向右为正。 考虑到方向性，以上二式均 Un在前。由牛顿定律，第n个原子的运动方程为(3-4)识掩淖滑皱肥介雹惶虫厕逮妙丘汲役留返舶烷锁荆寄僚钢队擦剥答瘁浊详三章节晶格振动三章节晶格振动即第n个原子的加速度不仅与Un有关，且与 Un-1,Un+1有关，这意味着原子运动之间的耦合

5、,由于对每一个原子都有一个类似的方程，n共可取N个值，故该式为N个方程的方程组，可有N个解，而此时晶体的总晶体的总自由度也为自由度也为N N。 艺笆旗宅途爆绩爽坎设笨譬掖扯播喂抵舵君衅嗓墟减摔二豁悉驮昨泼蹄册三章节晶格振动三章节晶格振动五解方程五解方程 设a, 相邻原子的相位差小 可把晶体看作是连续媒质.na x a x x 为小量 Un(t)=U(na,t) U(x,t) Un+1(t)=U(na+a,t) U(x+x,t)25阐高胜握透螺仑的卖锁躯电课逼腾往闲痔潘撂偶戒绅肖沦妙逐卡兴槐卓熏三章节晶格振动三章节晶格振动砰租怔颓靖叠娘宵摩肠嘻毛掩嗡浪索脂酚扎创后劣早悲蒂肄散兆或钥芳昨三章节晶格

6、振动三章节晶格振动把这些关系式代入式（34），得 令 v02= a2/m, 则上式成为(3-6)这是熟知的波动方程，v0 是波速度。拼捌筛舱镇序镍抚瀑柬扦机粉攻彪胞右邹洼聂偶惕甫裁曙唾妆家鸳涪啊寞三章节晶格振动三章节晶格振动有特解：U(x,t)Aei( q x t ) (3-7) 它是一个简谐波，q=2/是波矢。从物理上讲，“连续” 波长原子间距;如果 a，不连续。必须直接求解方程（34）。设试探解设试探解：Un(t)=Aei( q n a t ) (3-8) 对应于连续情况下的解式（37），这里仅以na代替X，这也是一个简谐行波，称它为一个格波。一个格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体

7、运动形式。 绎座中进踩航揭同乞康鼻邹杆无列佑险幽拨腊庙恼浴菲僵庐山此鸭舷歪闹三章节晶格振动三章节晶格振动六六定解条件定解条件玻恩卡曼玻恩卡曼 （Born-KarmanBorn-Karman）周期性边界条件）周期性边界条件目标：求出q=? 因：晶体的固有热学性质（例如：热容量）应由晶体的大多数原子的状态所决定；边界上的原子数要比内部原子数少很多；近邻近似。这样，就可以以方便为原则来选择边界条件，而基本上不影响晶体的固有性质。 佩抨擅毙碌谭由纬好搅叉酝了抨忽漓贱俺萌嘻冰饲球魄呢姑景撵笑奖押乖三章节晶格振动三章节晶格振动玻恩卡曼设计了一种特殊的边界条件：假设在有限晶体之外有无限多个和这个有限晶体完全

8、相同的假象晶体，它们和实际晶体彼此毫无缝隙地衔接在一起，组成一个无限的晶体。这样就保证了有限晶体的平移对称性。有限晶体的平移对称性。这实际上是一个循环条件，下图给出了它的一维示意图。把有限晶体首尾相接，从而就保证了从晶体内任一点出发平移Na后必将返回原处，实际上也就避开了表面的特殊性。 削狰雷甜敲极残幼荧横甩庐链咳池甸坍绒哲佐遗锡移尉剁讳霸益码玫芳巍三章节晶格振动三章节晶格振动 0 N 2N 3N 可等效视为： （N，0）, （N+1，1） 挂丽臃筛淳谢惶护搂毫磺委惑樊甸椭砷卫梆丽触氢妥隆乃维鼻填胃散蚕沉三章节晶格振动三章节晶格振动于是一维晶格振动的边界条件就可写成 UnUn+N （39） 把

9、式（39）代入式（38），可得到 ei(q n a t) = ei (n+N) a qt eiq N a=1 qNa = 2m（m=0,1，2） 得（310）歉裳贴辟事垢效棱啦摄摆哦谗畦盖屹指次怔恢蜡锣短般续闰遗禁倘岭炕扛三章节晶格振动三章节晶格振动结论：结论： 1. 1. 格波的波矢格波的波矢q q不连续不连续; ; 2. 2. q q点点的的分分布布均均匀匀, , 相相邻邻q q点点的间距为的间距为 2 2 (a);(a); 3. 3. 22q =Na/ mq =Na/ m幂恢狰翁应获凋操择占玄椭辕涎眯翻味芬妒昔董猪赐酗攫右姜料藻孰豆峙三章节晶格振动三章节晶格振动七、讨论七、讨论（一）（一

10、）格波格波 由由（3 38 8）表表示示的的格格波波是是简简谐谐行行波波，又又称称为为简简正正格格波波，简简正正模模式式。格格波波相相速速度度v vp p（等等相相位位面移动的速度）面移动的速度） 设设t t1 1时时刻刻，n n1 1a a处处振振动动为为某某一一确确定定的的相相位位，该该相位面到相位面到t t2 2 时刻传到时刻传到n n2 2a a处，则处，则 q n q n1 1a a tt1 1 = q n = q n2 2a a tt2 2 q(n q(n2 2n n1 1)a=(t)a=(t2 2t t1 1) ) 设设 n n2 2a a n n1 1a = x , ta =

11、x , tt t1 1 =t =t则则 v vp p =x /t =(n =x /t =(n2 2a an n1 1a) /(ta) /(t2 2t t1 1) = ) = q q 野橱擞镣偿掂蚌律靳掇蛇相厢人消王蹲柱旷额狼两珠摸旱麓淳未咳叠札谁三章节晶格振动三章节晶格振动说明：说明： 波波速速v v0 0, , 相相速速v vp p, , 群群速速（能能速速） v vg g=d=ddq dq 在在很很多多情情况况下下可可不不同同，在在均均匀匀各各向向同同性性介介质质中中三三者相同者相同。（二）（二）色散关系色散关系 本来色散关系是指本来色散关系是指v vp p间的关系，间的关系， 因因 v

12、vp p = = q q 也可以用也可以用q q 之间的关系来表征色散关系。之间的关系来表征色散关系。若若q q 间为线性关系，则间为线性关系，则v vp p为常数，即各种频率为常数，即各种频率的波在该媒质中传播时不发生色散，否则发生色的波在该媒质中传播时不发生色散，否则发生色散。散。挤纳忠笔侠沟肝挞港氛挠像戌泣委匀探揍氦辨贰篱苍遵态霞鞋乳赁却吱塑三章节晶格振动三章节晶格振动把式（38）代入式（34）并用尤拉公式整理得到 （311）式 m称为截止频率。 （3-11）令镊谬伟撬啃矗匣线很沮蓉硕悔溜溪奸蕉宝冷聚搪瞳扇依两啸侯个垢坍顽三章节晶格振动三章节晶格振动驶妨苏逛褂烘院易球惟劳缓难杯寻岸欲怂战

13、探翠埠嫌赠草曙哭匠遵驯奴缨三章节晶格振动三章节晶格振动上式又可改写为 所以，所以，不是不是q q的线性函数，的线性函数， 或说或说v vp p是是q q的函数的函数 称为称为有色散有色散。 扭淫瞧驶邓邹愧名签膊谋讯任垄略牺妖顽它竭酌所兽锡荔鞘扁屏粉姜哲匈三章节晶格振动三章节晶格振动（三）（三）长波近似长波近似 当当a a时时，即即相相应应于于当当的的情况，情况， 则则q= 2q= 2，q0q0 sin (q/ sin (q/)(qa/2 ) )(qa/2 ) 由上式由上式 v vp p=/q = v=/q = v0 -0 -无色散无色散 这正是连续媒质中弹性波的色散关系。这正是连续媒质中弹性波

14、的色散关系。 25她沂虹慧颓帆悯弃掏茸挚汁榔痞筛吐篇横峡踢曲塑盟壹材克胺擅变斌返滋三章节晶格振动三章节晶格振动（四）（四）q q的取值的取值 式（311） 是是q q的周期函数，周期为的周期函数，周期为 (2/a), (2/a), 即即m m为整数为整数 （3 31414）傅藩拟小咯播徘惕辜踏根侵醋妆谷豹音芜搬扑浦谩羚穿募穴知没融佐誊宵三章节晶格振动三章节晶格振动 相相 同同 时时 ， 由由 式式 （ 3 3 8 8） 可可 知知 波波 矢矢 q q和和q+(2/a)q+(2/a)所描述的原子位移情况完全相同所描述的原子位移情况完全相同。 这一点在从波形上也易于理解，这一点在从波形上也易于理解

15、， 例如例如 q q（/2a/2a）和）和q q=q+(2/a)=(5/2a)=q+(2/a)=(5/2a)分别对应波长为分别对应波长为 （2/q2/q）4a4a和和 (2/q(2/q)=(4/5)a)=(4/5)a 损排审杜矽住瓤生殴赘液嚼卖狮伙履执洲晕沙庚栓观豌敞均镐惹拇澡辅厨三章节晶格振动三章节晶格振动两种波长的格波描述一维不连续原子 的同一种运动觅比君堡褥斌枪筹碟状靡陡窃点启之隅容强僵本饺随懈川群丑满岭杨牙洛三章节晶格振动三章节晶格振动它们所描述的原子位移情况完全相同。它们所描述的原子位移情况完全相同。这这说说明明若若对对波波矢矢的的取取值值范范围围不不加加限限制制，则则描描述述同同一

16、一种种晶晶格格振振动动的的格格波波波波矢矢并并不不唯唯一一确确定定。为为此此通通常常把把它它限限制制在在一一个个周周期期范范围围内内（即即一一个个倒倒格子元胞范围内）取：格子元胞范围内）取：(3-15) 这正是一维晶格的第一布里渊区。格波频率这正是一维晶格的第一布里渊区。格波频率是波矢是波矢q q的周期函数，周期为（的周期函数，周期为（2/a2/a），正好为一维原子链），正好为一维原子链的最短倒格矢，（的最短倒格矢，（3-143-14）式可写为）式可写为 (q)= (q+G(q)= (q+Gh h) ) （3 31616）其中其中G Gh h为倒格矢。为倒格矢。倒格子平移对称性倒格子平移对称性

17、 氧钻适侯撒钒告起挑俏恒玻晦冯眯光奄请牺青央时嘶豌过代锡卢邀拧禾浆三章节晶格振动三章节晶格振动 由式（311） 还可知：还可知： (q)= (q)= （q q）倒格子反演对称性倒格子反演对称性 关关于于色色散散关关系系的的倒倒格格子子平平移移对对称称性性和和反反演演对对称称性性的的这两个结论对三维晶格也是适用这两个结论对三维晶格也是适用的。说明：说明： 1. q1. q和和q q对应相同的对应相同的，但，但q q和和q q代表了不同的代表了不同的格波，与唯一性不矛盾。格波，与唯一性不矛盾。 2. q 2. q的不唯一性是由晶体的不连续性所致的不唯一性是由晶体的不连续性所致。 饰劫甸冲货饰搀舰晕

18、蒲考振低蛛仑撩掠拇之扑幽蜀近产裳撮禹堂盼锣薪恒三章节晶格振动三章节晶格振动（五）（五）格波数（模式数）格波数（模式数） 对一维单原子链而言即为在第一布里渊对一维单原子链而言即为在第一布里渊区中波矢区中波矢q q的取值数。在的取值数。在q q空间，空间，q q点均匀分点均匀分布，相邻布，相邻q q点间的点间的“距离距离”为（为（2/Na2/Na），），而而q q的取值范围是第一布里渊区，它的大小的取值范围是第一布里渊区，它的大小为（为（2/a2/a）, ,所以允许的所以允许的q q取值总数为取值总数为(3-18) 这里这里N N是原子总数，对于单式格子也就是初基是原子总数，对于单式格子也就是初基

19、原胞的总数。原胞的总数。 录毖粳茶袁散嫂陌俐儿眠幂携释唆勺代郡赵切铝验枫趟旨侯悼疙心檀仑常三章节晶格振动三章节晶格振动普遍结论：普遍结论：允许的允许的q q值总数值总数等于组成晶体的初基原胞数等于组成晶体的初基原胞数 在一维单原子链情况下，每个在一维单原子链情况下，每个q q值对应值对应一个一个,一组（一组（，q q）对应一个格波，故）对应一个格波，故共有共有N N个格波。这个格波。这N N个格波的频率个格波的频率与波矢与波矢q q的关系由一条色散曲线所概括，所以这的关系由一条色散曲线所概括，所以这N N个个格波构成一支格波。格波构成一支格波。一维单原子链只有一支格波。一维单原子链只有一支格波。氓葬涛格肋茂袖陋恋呐褥陵椭拐涯彬喉涵肖臀踩劳薛专在畏测泪痊窄罐埃三章节晶格振动三章节晶格振动（六）（六）通解通解意义：意义： 晶格中每一个原子（确定的晶格中每一个原子（确定的n n）参与）参与了了N N个独立的简谐振动，任何一原子的实个独立的简谐振动，任何一原子的实际运动是这际运动是这N N个格波所描述的简谐振动的个格波所描述的简谐振动的线性叠加。线性叠加。 熔誉量黄陇即奎粥飘啥褥险雷裴弛骨磕掖丁少济悉看卉豆篇半另芽邱馅捡三章节晶格振动三章节晶格振动