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1、2.4等比数列第1课时等比数列1 11.1.掌握等比数列的概念掌握等比数列的概念. .2.2.掌握等比数列的通项公式，并会应用掌握等比数列的通项公式，并会应用. .3.3.能够应用等比数列的概念判断一个数列为等比数列能够应用等比数列的概念判断一个数列为等比数列. .2 21.1.等比数列的概念等比数列的概念(1)(1)定定义：一个数列从：一个数列从_起，每一起，每一项与它的前一与它的前一项的比的比等于等于_._.(2)(2)公比：公比：这个常数叫做等比数列的公比个常数叫做等比数列的公比. .(3)(3)公比的表示：公比的表示：_._.第第2 2项同一常数同一常数q(q0)q(q0)3 32.2
2、.等比中等比中项如果在如果在a a与与b b中中间插入一个数插入一个数G G，使，使a a，G G，b b成成_，那么那么G G叫做叫做a a与与b b的等比中的等比中项，其，其满足的关系式足的关系式为_._.3.3.等比数列的通等比数列的通项公式公式首首项是是a a1 1，公比是，公比是q(q0)q(q0)的通的通项公式公式为a an n=_(a=_(a1 100，q0).q0).等比数列等比数列ab=Gab=G2 2a a1 1q qn-1n-14 41.1.已知已知aan n 是等比数列，是等比数列，a a1 1=1=1，a a4 4=2 =2 ，则a a3 3=(=() )A.2A.2
3、B.2B.2C.-2C.-2D.4D.4【解析解析】选选B.B.因为因为a a4 4=a=a1 1q q3 3，所以，所以q q3 3= = 所以所以q= q= ，所以，所以a a3 3=a=a1 1q q2 2=2.=2.5 52.2.已知数列已知数列aan n 为等比数列，且等比数列，且a a1 1=2=2，q=3q=3，则a an n= =. .【解析解析】由由a a1 1=2=2，q=3q=3，所以，所以a an n=2=23 3n-1n-1. .答案：答案：2 23 3n-1n-16 63.3.若等比数列若等比数列aan n 的通的通项为a an n= 5= 5n n，则a a1 1
4、= =. .【解析解析】由通项由通项a an n= = 5 5n n，令，令n=1n=1，得，得a a1 1= = 答案：答案：7 74.4.已知数列已知数列aan n 为等比数列，若等比数列，若a a2 2=2=2，a a5 5= = 则q=q=. .【解析解析】由由 得得 解得解得q= q= 答案：答案：8 8一、等比数列的通一、等比数列的通项探究探究1 1：观察等比数列的通察等比数列的通项公式公式a an n=a=a1 1q qn-1n-1，思考下面的，思考下面的问题：(1)(1)公式中的公式中的q q能否能否为零？零？请说明理由明理由. .提示：提示：不能，不能，根据等比数列的定义，公
5、比为每一项与前一项根据等比数列的定义，公比为每一项与前一项的比即：的比即： =q=q，若，若q=0q=0，则，则a an n=0=0，所以数列中每一项都为，所以数列中每一项都为零，所以零，所以a an-1n-1=0=0，这样比值，这样比值 无意义，所以无意义，所以q0.q0.9 9(2)(2)要想确定等比数列的通要想确定等比数列的通项公式，需要具公式，需要具备哪几个条件？哪几个条件？提示提示：由等比数列的通项公式由等比数列的通项公式a an n=a=a1 1q qn-1n-1，要确定其通项公式，要确定其通项公式，必须知道必须知道a a1 1，q q两个条件两个条件. .1010探究探究2 2：
6、根据等比数列的定：根据等比数列的定义，如何推，如何推导出等比数列的通出等比数列的通项公公式？式？提示：提示：由由等比数列的定义，等比数列的定义，以上各式相乘可得以上各式相乘可得a an n=a=a1 1q qn-1n-1(a(a1 100，q0).q0).1111【拓展延伸拓展延伸】等比数列通等比数列通项公式的两种公式的两种证法法(1)(1)归纳法：法：a a1 1=a=a1 1，a a2 2=a=a1 1q q，a a3 3=a=a2 2q=aq=a1 1q q2 2，a a4 4=a=a3 3q=aq=a1 1q q3 3，a an n=a=an-1n-1q=aq=a1 1q qn-1n-
7、1. .(2)(2)迭代法：迭代法：a an n=a=an-1n-1q=aq=an-2n-2q q2 2=a=a2 2q qn-2n-2=a=a1 1q qn-1n-1. .1212【探究总结探究总结】对等比数列通等比数列通项公式的两点公式的两点说明明(1)(1)在等比数列的通在等比数列的通项公式中含有公式中含有4 4个基本量，只要知其中任意个基本量，只要知其中任意3 3个，可求第四个基本量个，可求第四个基本量. .(2)(2)通通项公式的推公式的推导方法采用的是累乘法，方法采用的是累乘法，该方法是求数列通方法是求数列通项公式常用的方法公式常用的方法. .1313二、等比数列的判定二、等比数列
8、的判定探究探究1 1：根据等比数列的定：根据等比数列的定义，判断下面的数列是否，判断下面的数列是否为等比数等比数列？列？(1)1(1)1，3 3，3 32 2，3 33 3，3 3n-1n-1，提示：提示：记数列为记数列为aan n ，显然，显然a a1 1=1=1，a a2 2=3=3，a an n=3=3n-1n-1，由，由于于 =3(n2=3(n2，nNnN* *) )，所以该数列为等比数列，公比，所以该数列为等比数列，公比为为3.3.1414(2)-1(2)-1，1 1，2 2，4 4，8 8，提示：提示：记记数列为数列为aan n ，显然，显然a a1 1=-1=-1，a a2 2=
9、1=1，a a3 3=2=2，由于由于 所以此数列不是等比数列所以此数列不是等比数列. .1515(3)a(3)a，a a2 2，a a3 3，a an n，提示：提示：当当a=0a=0时，数列为时，数列为0 0，0 0，0 0，是，是常数列，不是等比数列；当常数列，不是等比数列；当a0a0时，数列为时，数列为a a，a a2 2，a a3 3，a an n，显然此数列为等比数列且公比为，显然此数列为等比数列且公比为a.a.1616探究探究2 2：在利用等比数列的定：在利用等比数列的定义判定一个数列判定一个数列为等比数列等比数列时应注意什么？注意什么？提示：提示：根据等比数列的定义，要判断一个
10、数列为等比数列需根据等比数列的定义，要判断一个数列为等比数列需要注意：要注意：(1) =q(nN(1) =q(nN* *) )为常数为常数. .(2)(2)比值比值 为同一个常数为同一个常数. .(3)(3)数列中的每一项都不能为数列中的每一项都不能为0.0.1717探究探究3 3：由等比数列的定：由等比数列的定义，要判断一个数列是否，要判断一个数列是否为等比数列，等比数列，只需判断什么？只需判断什么？提示：提示：只需判断只需判断 是否为同一个常数是否为同一个常数. .1818【探究总结探究总结】等比数列判定的三点等比数列判定的三点说明明(1)(1)利用定利用定义判定判定应注意公比注意公比为每
11、一每一项与前一与前一项的比的比. .(2)(2)必必须说明是从第二明是从第二项起每一起每一项与前一与前一项的比的比为同一个常数同一个常数. .(3)(3)若公比若公比为1 1，则该数列数列为常数列，也常数列，也为等比数列等比数列. .1919类型一型一等比数列中基本量的求解等比数列中基本量的求解1.1.已知等比数列已知等比数列aan n 满足足a a1 1+a+a2 2=3=3，a a2 2+a+a3 3=6=6，则a a7 7等于等于( () )A.64A.64B.81B.81C.128C.128D.243D.2432.(20142.(2014天津高考天津高考) )设aan n 是首是首项为
12、a a1 1，公差，公差为-1-1的等差数的等差数列，列，S Sn n为其前其前n n项和，若和，若S S1 1，S S2 2，S S4 4成等比数列，成等比数列，则a a1 1=(=() )A.2A.2B.-2B.-2C.C.D.-D.-3.(20143.(2014济宁高二宁高二检测) )已知数列已知数列aan n 为递增的等比数列，增的等比数列，其中其中a a2 2=9=9，a a1 1+a+a3 3=30.=30.求数列求数列aan n 的通的通项公式公式. .2020【解题指南解题指南】1.1.根据条件根据条件a a1 1+a+a2 2=3=3，a a2 2+a+a3 3=6=6求出公
13、比和首项，再求出公比和首项，再根据等比数列的通项公式求出根据等比数列的通项公式求出a a7 7. .2.2.根据根据S S1 1，S S2 2，S S4 4成等比数列建立关于成等比数列建立关于a a1 1的方程求解的方程求解. .3.3.先根据先根据a a2 2=9=9，a a1 1+a+a3 3=30=30，求出，求出q q，再代入等比数列的通项公式，再代入等比数列的通项公式求得求得. .2121【自主解答自主解答】1.1.选选A.A.因为因为aan n 为等比数列，所以为等比数列，所以 =q=2.=q=2.又又a a1 1+a+a2 2=3=3，所以，所以a a1 1=1.=1.故故a a
14、7 7=1=12 26 6=64.=64.2.2.选选D.D.因为因为S S1 1，S S2 2，S S4 4成等比数列，所以成等比数列，所以S S2 22 2=S=S1 1S S4 4，即即(a(a1 1+a+a1 1-1)-1)2 2=a=a1 1( (4a4a1 1 4 43 3) )，解得，解得a a1 1=- .=- .3.3.设等比数列的公比为设等比数列的公比为q q，又由已知，又由已知a a2 2=9=9，a a1 1+a+a3 3=30=30，可得可得 +9q=30+9q=30，解得，解得q=3q=3或或q=q= 由已知，数列为递增数列，所以由已知，数列为递增数列，所以q=3q
15、=3，即即a an n=a=a2 2q qn-2n-2=9=93 3n-2n-2=3=3n n. .2222【规律总结规律总结】等比数列中任意等比数列中任意项求解的两种方法求解的两种方法(1)(1)若已知若已知a a1 1和和q q，利用通，利用通项公式公式a an n=a=a1 1q qn-1n-1可求等比数列中的任可求等比数列中的任意一意一项. .(2)(2)若已知等比数列中任意两若已知等比数列中任意两项的前提下，利用的前提下，利用a an n=a=am mq qn-mn-m可求等可求等比数列中任意一比数列中任意一项. .2323【变式训练变式训练】在等比数列在等比数列aan n 中，已知
16、中，已知a a1 1= a= an n= q= = q= 则n n为( () )A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5【解析解析】选选C.C.等比数列等比数列aan n 中，中，a a1 1= a= an n= q= = q= 所以所以a an n=a=a1 1q qn-n-1 1= = 所以所以 即即n-1=3n-1=3，n=4.n=4.2424【加固加固训练】在等比数列在等比数列aan n 中，若中，若2a2a4 4=a=a6 6-a-a5 5，则公比公比q q是是. .【解析解析】由已知得由已知得2a2a1 1q q3 3=a=a1 1q q5 5-a-a1 1q q4 4，即
17、，即2=q2=q2 2-q-q，所以所以q=-1q=-1或或q=2.q=2.答案：答案：-1-1或或2 22525类型二型二等比中等比中项及及应用用1.(20141.(2014济宁高二宁高二检测) )已知等比数列已知等比数列aan n 中，中，a a1 1=2=2，a a5 5=18=18，则a a2 2a a3 3a a4 4等于等于( () )A.36A.36B.216B.216C.36C.36D.216D.2162.(20152.(2015兰州高二州高二检测) )已知各已知各项均均为正数的等比数列正数的等比数列aan n 中，中，a a1 1a a2 2a a3 3=5=5，a a7 7
18、a a8 8a a9 9=10=10，则a a4 4a a5 5a a6 6=(=() )A.5 A.5 B.7B.7C.6C.6D.4 D.4 26263.3.已知等比数列已知等比数列aan n 的前三的前三项依次依次为a-1a-1，a+1a+1，a+4a+4，则a an n= =. .2727【解题指南解题指南】1.1.由由a a1 1，a a3 3，a a5 5成等比数列，求出成等比数列，求出a a3 3，再由，再由a a2 2，a a3 3，a a4 4成等比数列，求出成等比数列，求出a a2 2a a4 4. .2.2.根据等比中项得根据等比中项得a a2 2，a a8 8，从而得，
19、从而得q q，进而求出，进而求出a a5 5，得，得a a4 4a a5 5a a6 6. .3.3.由由a-1a-1，a+1a+1，a+4a+4成等比数列，根据等比中项的概念求出成等比数列，根据等比中项的概念求出a a的值，从而得出通项的值，从而得出通项. .2828【自主解答自主解答】1.1.选选B.B.由由a a1 1，a a3 3，a a5 5成等比数列，成等比数列，故故a a3 32 2=a=a1 1a a5 5=36=36，所以，所以a a3 3=6=6或或a a3 3=-6(=-6(舍舍) )，又又a a2 2，a a3 3，a a4 4成等比数列，成等比数列，所以所以a a2
20、2a a4 4= =a a3 32 2，故故a a2 2a a3 3a a4 4= =a a3 33 3=6=63 3=216.=216.2.2.选选A.A.由由a a1 1a a2 2a a3 3=5=5，所以，所以a a2 2= = 又又a a7 7a a8 8a a9 9= =a a8 83 3=10=10，故，故a a8 8= = 所以所以 =q=q6 6= = ，所以，所以q= q= 所以所以a a4 4a a5 5a a6 6= =a a5 53 3=(a=(a2 2q q3 3) )3 3= =a a2 23 3q q9 9=( )=( )3 3( )( )9 9= = 2929
21、3.3.由已知可得由已知可得(a+1)(a+1)2 2=(a-1)(a+4)=(a-1)(a+4)，解得解得a=5a=5，所以，所以a a1 1=4=4，a a2 2=6=6，所以，所以q= q= 所以所以a an n= = 答案：答案： 3030【规律总结规律总结】等比中等比中项应用的三点注意用的三点注意(1)(1)由等比中由等比中项的定的定义可知可知 G G2 2=ab=abG= G= ，所以只，所以只有有a a，b b同号同号时，a a，b b的等比中的等比中项有两个，异号有两个，异号时，没有等比中，没有等比中项. .(2)(2)在一个等比数列中，从第二在一个等比数列中，从第二项起，每一
22、起，每一项( (有有穷数列的末数列的末项除外除外) )都是它的前一都是它的前一项和后一和后一项的等比中的等比中项. .(3)a(3)a，G G，b b成等比数列等价于成等比数列等价于G G2 2=ab(ab0).=ab(ab0).3131【变式训练变式训练】1.1.在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a1 1=-16=-16，a a4 4=8=8，则a a7 7=(=() )A.-4A.-4B.4B.4C.-2C.-2D.2D.2【解析解析】选选A.A.因为数列因为数列aan n 为等比数列，所以为等比数列，所以a a4 42 2=a=a1 1a a7 7，所以所以a a7 7= =-
23、4.= =-4.32322.2.若若a=45a=45，b=80b=80，则a a，b b的等比中的等比中项为. .【解析解析】设设a a，b b的等比中项为的等比中项为G G，则，则G G2 2=ab=45=ab=4580=3 60080=3 600，所以，所以G=G=60.60.答案：答案：60603333【加固加固训练】如果如果-1-1，a a，b b，c c，-9-9成等比数列，那么成等比数列，那么( () )A.b=3A.b=3，ac=9ac=9B.b=-3B.b=-3，ac=9ac=9C.b=3C.b=3，ac=-9ac=-9D.b=-3D.b=-3，ac=-9ac=-9【解析解析】
24、选选B.B.因为因为b b2 2=(-1)=(-1)(-9)=9(-9)=9，且，且b b与首项与首项-1-1同号，所以同号，所以b=-3b=-3，且，且a a，c c必同号必同号. .所以所以ac=bac=b2 2=9.=9.3434类型三型三等比数列的等比数列的证明明1.1.已知已知aan n ，bbn n 都是等比数列，那么都是等比数列，那么( () )A.aA.an n+b+bn n ，aan nb bn n 都一定是等比数列都一定是等比数列B.aB.an n+b+bn n 一定是等比数列，但一定是等比数列，但aan nb bn n 不一定是等比数列不一定是等比数列C.aC.an n+
25、b+bn n 不一定是等比数列，但不一定是等比数列，但aan nb bn n 一定是等比数列一定是等比数列D.aD.an n+b+bn n ，aan nb bn n 都不一定是等比数列都不一定是等比数列2.2.在数列在数列aan n 中，若中，若a an+1n+1=2a=2an n+3(n1+3(n1，nNnN* *) )，证明：数列明：数列aan n+3+3是等比数列是等比数列. .3535【解题指南解题指南】1.1.对于能构成等比数列的利用等比数列的定义对于能构成等比数列的利用等比数列的定义判定，而构不成等比数列的可通过特例说明判定，而构不成等比数列的可通过特例说明. . 2.2.根据等比
26、数列的定义，只需证明根据等比数列的定义，只需证明 等于常数即可等于常数即可. .3636【自主解答自主解答】1.1.选选C.aC.an n+b+bn n 不一定是等比数列，如不一定是等比数列，如a an n=1=1，b bn n= =-1-1，因为，因为a an n+b+bn n=0=0，所以，所以aan n+b+bn n 不是等比数列不是等比数列. .设设aan n ，bbn n 的的公比分别为公比分别为p p，q q，因为，因为 =pq0=pq0，所以，所以aan nb bn n 一定是等比数列一定是等比数列. .2.2.令令a an+1n+1+=2(a+=2(an n+)+)，与已知，与
27、已知a an+1n+1=2a=2an n+3+3比较知比较知=3=3，所以所以a an+1n+1+3=2(a+3=2(an n+3)+3)，即，即 =2=2，所以数列所以数列aan n+3+3是首项为是首项为a a1 1+3+3，公比为，公比为q=2q=2的等比数列的等比数列. .3737【延伸探究延伸探究】题2 2条件不条件不变，若，若a a1 1=2=2，求数列，求数列aan n 的通的通项公式公式. .【解析解析】由由数列数列aan n+3+3是等比数列，当是等比数列，当a a1 1=2=2时，时，a a1 1+3=5+3=5，所以，所以数列数列aan n+3+3是首项为是首项为5 5，
28、公比，公比q=2q=2的等比数列，所以的等比数列，所以a an n+3=+3=5 52 2n-1n-1，即即a an n=5=52 2n-1n-1-3.-3.3838【规律总结规律总结】证明一个数列明一个数列为等比数列的三种方法等比数列的三种方法(1)(1)定定义法：法：验证 =q(=q(常数常数) )是否成立是否成立. .(2)(2)等比中等比中项法：法：证明明a an+1n+12 2=a=an na an+2n+2，注意，注意a an n0.0.(3)(3)通通项公式法：公式法：证明明a an n=a=a1 1q qn-1n-1，这里里a a1 100且且q0.q0.提醒：提醒：利用等比数
29、列的定利用等比数列的定义证明数列明数列为等比数列等比数列时必必须说明明 为同一常数同一常数. .3939类型四型四等比数列中常等比数列中常见项的的设法法1.(20141.(2014绍兴高一高一检测) )在在3 3和和9 9之之间插入两个正数，使前插入两个正数，使前3 3个个数成等比数列，后数成等比数列，后3 3个数成等差数列，个数成等差数列，则这两个正数之和两个正数之和为( () )40402.2.一个等比数列有三一个等比数列有三项，如果把第二，如果把第二项加上加上4 4，那么所得的三，那么所得的三项就成就成为等差数列；如果再把等差数列；如果再把这个等差数列的第三个等差数列的第三项加上加上32
30、32，那么所得的三那么所得的三项又成等比数列又成等比数列. .求原来的等比数列求原来的等比数列. .4141【解题指南解题指南】1.1.根据前根据前3 3个数成等比数列，设出这两个数，再个数成等比数列，设出这两个数，再由后三个数成等差数列列方程求解由后三个数成等差数列列方程求解. .2.2.根据三个数成等比数列，设出这三个数，再根据条件建立方根据三个数成等比数列，设出这三个数，再根据条件建立方程组求解程组求解. .4242【自主解答自主解答】1.1.选选B.B.设这两个正数为设这两个正数为3q3q，3q3q2 2，则，则3q3q，3q3q2 2，9 9成等差数列，所以成等差数列，所以6q6q2
31、 2=3q+9=3q+9，即，即2q2q2 2-q-3=0-q-3=0，解得解得q= q= ，q=-1(q=-1(舍舍) )，所以这两个数为，所以这两个数为 ，其和为，其和为 43432.2.设所求的等比数列为设所求的等比数列为 ，a a，aq.aq.由已知条件，得由已知条件，得化简，得化简，得 解得解得 或或由由q=3q=3，a=6a=6得所求数列为得所求数列为2 2，6 6，18.18.由由q=-5q=-5，a= a= 得所求数列为得所求数列为 经检验，均符合题意，经检验，均符合题意，故所求的等比数列为故所求的等比数列为2 2，6 6，1818或或 4444【规律总结规律总结】几个数成等比
32、数列的几个数成等比数列的设法法(1)(1)三个数成等比数列三个数成等比数列设为 ，a a，aq.aq.推广到一般：奇数个数成等比数列推广到一般：奇数个数成等比数列设为： ， ，a a，aqaq，aqaq2 2(2)(2)四个符号相同的数成等比数列四个符号相同的数成等比数列设为： ， ，aqaq，aqaq3 3. .推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： ， ， ，aqaq，aqaq3 3，aqaq5 54545【变式训练变式训练】有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两差数列，首末两项的和的和为2121，中，中间两两项的和的和为1818，求，求这四个数四个数. .4646【解析解析】设前三个数为设前三个数为 x x，xqxq，第四个数为，第四个数为b b，因为后三个数成等差数列，所以有因为后三个数成等差数列，所以有2xq=x+b2xq=x+b，解得解得b=2xq-x.b=2xq-x.因首末两项的和为因首末两项的和为2121，中间两项的和为，中间两项的和为1818，所以有所以有 解得解得 或或故所求的四个数为故所求的四个数为3 3，6 6，1212，1818或或 47474848
