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1、9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 压压压压杆受临界力杆受临界力杆受临界力杆受临界力F F F Fcrcrcrcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平平平平衡时，横截面上的压应力可按衡时，横截面上的压应力可按衡时，横截面上的压应力可按衡时，横截面上的压应力可按 = = F F/ /A A 计算计算计算计算. .一、临界应力和柔度一、临界应力和柔度一、临界应力和柔度一、临界应力和柔度1. 1.欧拉公式临界应力欧拉公式临界应力欧拉公式临界应力欧拉公式临界应力 按各种支承情况下压杆临
2、界力的欧拉公式算出压杆横截面按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为上的应力为上的应力为上的应力为9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力i i 为为为为压杆横截面对中性轴的惯性半径压杆横截面对中性轴的惯性半径压杆横截面对中性轴的惯性半径压杆横截面对中性轴的惯性半径. . 称为称为称为称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l
3、l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响临界应力的影响临界应力的影响临界应力的影响. . 越大，相应的越大，相应的越大，相应的越大，相应的 crcr 越小，压杆越容易失稳越小，压杆越容易失稳越小，压杆越容易失稳越小，压杆越容易失稳. .令令令令令令令令则则则则则则则则 若若若若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计
4、算在各平面内失稳时的柔度计算在各平面内失稳时的柔度计算在各平面内失稳时的柔度计算在各平面内失稳时的柔度 ，并按较大者计算压杆的临界应，并按较大者计算压杆的临界应，并按较大者计算压杆的临界应，并按较大者计算压杆的临界应力力力力 cr cr cr cr 。9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力二、二、二、二、 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 只有在只有在只有在只有在 cr cr p p 的的的的范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的计算压杆的计算压杆的计算压杆的临界压力临界压力
5、临界压力临界压力 F Fcrcr（临界应力（临界应力（临界应力（临界应力 cr cr ）. .9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 即即即即 p p（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围范围范围范围. . p p 的大小取决于压杆材料的力学性能的大小取决于压杆材料的力学性能的大小取决于压杆材料的力学性能的大小取决于压杆材料的力学性能. . 例如，对于例如，对于例如，对于例如，对于Q235Q235钢，钢，钢，钢，可取可取可取可取 E E=206GPa
6、=206GPa， p p=200MPa=200MPa，得，得，得，得9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力三三三三. . . . 中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力式中：式中：式中：式中：a a 和和和和 b b是与材料有关的常数，可查表得出是与材料有关的常数，可查表得出是与材料有关的常数，可查表得出是与材料有关的常数，可查表得出. .直线公式直线公式直线公式直线公式或或或或令令令令9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力四、四、四、四、压杆的分类及临界应力总图压杆的分类及临界应力总图压杆的分类及临界应力总图压杆的分类
7、及临界应力总图1.1.1.1.压杆的分类压杆的分类压杆的分类压杆的分类（1 1 1 1）大柔度杆大柔度杆大柔度杆大柔度杆（2 2 2 2）中柔度杆中柔度杆中柔度杆中柔度杆（3 3 3 3）小小小小柔度杆柔度杆柔度杆柔度杆9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力2.2.2.2.临界应力总图临界应力总图临界应力总图临界应力总图9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力例题例题例题例题1 1 压杆截面如图所示压杆截面如图所示压杆截面如图所示压杆截面如图所示. . 两端为柱形铰链约束，若绕两端为柱形铰链约束，若绕两端为柱形铰链约束，若绕两端为柱形铰链约束，若绕 y y 轴失轴失轴失轴
8、失稳可视为两端固定，若绕稳可视为两端固定，若绕稳可视为两端固定，若绕稳可视为两端固定，若绕 z z 轴失稳可视为两端铰支轴失稳可视为两端铰支轴失稳可视为两端铰支轴失稳可视为两端铰支. . 已知，杆长已知，杆长已知，杆长已知，杆长l l=1m =1m ，材料的弹性模量，材料的弹性模量，材料的弹性模量，材料的弹性模量E E=200GPa=200GPa， p p=200MP=200MPa. a. 求压杆的临界求压杆的临界求压杆的临界求压杆的临界应力应力应力应力. .30mm20mmyz解：解：解：解：9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力30mm20mmyz 因为因为因为因为 z z y
9、 y ，所以压杆绕，所以压杆绕，所以压杆绕，所以压杆绕 z z 轴先失稳，且轴先失稳，且轴先失稳，且轴先失稳，且 z z =115 =115 p p，用，用，用，用欧拉公式计算临界力欧拉公式计算临界力欧拉公式计算临界力欧拉公式计算临界力. .9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力例题例题例题例题2 2 外径外径外径外径 D D = 50 mm= 50 mm，内径，内径，内径，内径 d d = 40 mm = 40 mm 的钢管，两端铰支，的钢管，两端铰支，的钢管，两端铰支，的钢管，两端铰支，材料为材料为材料为材料为 Q235 Q235钢，承受轴向压力钢，承受轴向压力钢，承受轴向压力
10、钢，承受轴向压力 F F. . 试求试求试求试求（1 1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；）能用欧拉公式时压杆的最小长度；）能用欧拉公式时压杆的最小长度；）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2 2）当压杆长度为上述最小长度的）当压杆长度为上述最小长度的）当压杆长度为上述最小长度的）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 3/4 时，压杆的临界应力时，压杆的临界应力时，压杆的临界应力时，压杆的临界应力. . 已知：已知：已知：已知： E E = 200 GPa = 200 GPa， p p= 200 MPa = 200 MPa ， s s = 240 MPa = 240 MPa ，用直，用直，用直，用直
11、线公式时，线公式时，线公式时，线公式时，a a = 304 MPa = 304 MPa， b b =1.12 MPa. =1.12 MPa.9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力解：（解：（解：（解：（1 1）能用欧拉公式时压杆的最小长度）能用欧拉公式时压杆的最小长度）能用欧拉公式时压杆的最小长度）能用欧拉公式时压杆的最小长度压杆压杆压杆压杆 = 1 = 19-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力（2 2）当）当）当）当 l l = 3/4 = 3/4 l lmin min 时，时，时，时，F Fcrcr=?=?用直线公式计算用直线公式计算用直线公式计算用直线公式计算9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
