《全程复习方略高考数学二轮复习专题辅导与训练3.3解三角形的综合问题教学课件课时讲课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全程复习方略高考数学二轮复习专题辅导与训练3.3解三角形的综合问题教学课件课时讲课（83页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三讲解三角形的综合问题1课堂教学【主干知识主干知识】1.1.必记公式必记公式(1)(1)正弦定理正弦定理定理定理变形公式形公式变形形1 1变形形2 2_=2R_=2R(2R(2R为ABCABC外接外接圆的直径的直径) )a=_a=_b=_b=_c=_c=_重要重要结论:abc=sinAsinBsinC:abc=sinAsinBsinC2RsinA2RsinA2RsinB2RsinB2RsinC2RsinC2课堂教学(2)(2)余弦定理余弦定理定理定理推推论a a2 2=_=_b b2 2=_=_c c2 2=_=_ cosA= cosA= cosB=_ cosB=_ cosC=_ cosC=
2、_ b b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAa a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosBa a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC（3 3）面积公式）面积公式S SABCABC bcsin Abcsin A_=_._=_.3课堂教学2.2.易错提醒易错提醒(1)(1)忽视解的多种情况忽视解的多种情况如已知如已知a,ba,b和和A,A,应先用正弦定理求应先用正弦定理求B,B,由由A+B+C=A+B+C=，求，求C C，再由正，再由正弦定理或余弦定理求边弦定理或余弦定理求边c c，但解可能有多种情况，但解可能有多种情况. .（2 2）忽略角的范围）忽
3、略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值（范围）时，要注意应用正、余弦定理求解边、角等量的最值（范围）时，要注意角的范围角的范围. .（3 3）忽视解的实际意义）忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合. .4课堂教学【考题回顾考题回顾】1.(20141.(2014台州模拟）在台州模拟）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C对应的边分别对应的边分别为为a,b,ca,b,c，若，若A=120A=120,a=2,b= ,a=2,b= ,则则B=( )B=( )【解析解析】选选D.D.由于由于A=120A=120为钝角，
4、所以只有一解为钝角，所以只有一解. .由正弦定由正弦定理得：理得：5课堂教学2.2.（20142014绍兴模拟）在绍兴模拟）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c，向量，向量m=(a,b),=(a,b),n=(cos A,-cos B)=(cos A,-cos B)，若，若mn，则，则ABCABC的的形状为（形状为（ ）A.A.等腰三角形等腰三角形 B.B.直角三角形直角三角形C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形6课堂教学【解析解析】选选D.D.因为因为mn，所以所以acos A-b
5、cos B=0,acos A-bcos B=0,由正弦定理得由正弦定理得sin Acos A-sin Bcos B=0,sin Acos A-sin Bcos B=0,所以所以sin 2A=sin 2B,sin 2A=sin 2B,所以所以2A=2B2A=2B或或2A+2B=2A+2B=，所以所以A=BA=B或或A+B=A+B=所以三角形所以三角形ABCABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形. .7课堂教学3.3.（20142014杭州模拟）在杭州模拟）在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别的对边分别是是a,b,ca,b,c，若，若b b2 2-c-c2
6、 2= ac,sin A=2 sin C,= ac,sin A=2 sin C,则则B=B=（ ）A.30A.30 B.60 B.60 C.120C.120 D.150 D.150【解析解析】选选A.A.将将sin A=2 sin C,sin A=2 sin C,利用正弦定理化简得利用正弦定理化简得a=a=2 c,2 c,代入代入b b2 2-c-c2 2= ac,= ac,得得b b2 2-c-c2 2=6c=6c2 2，即，即b b2 2=7c=7c2 2，整理得，整理得b=b= 所以所以cos B=cos B=8课堂教学4.4.（20142014湖北高考）在湖北高考）在ABCABC中，角
7、中，角A A，B B，C C所对的边分别所对的边分别为为a a，b b，c.c.已知已知A= A= ，a=1a=1，b= b= ，则，则B=_.B=_.【解析解析】依题意，由正弦定理知依题意，由正弦定理知由于由于0B0B，所以，所以B=B=答案：答案： 9课堂教学5.5.（20142014北京高考）在北京高考）在ABCABC中，中，a=1a=1，b=2b=2，cos C= cos C= ，则则c=_c=_；sin A=_.sin A=_.【解析解析】由余弦定理得由余弦定理得cos C=cos C=又又a=1,b=2,cos C= ,a=1,b=2,cos C= ,代入得代入得c=2,c=2,而
8、而sin C=sin C=由正弦定理得由正弦定理得答案：答案：10课堂教学6.6.（20142014衢州模拟）在某海滨城市衢州模拟）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市风中心位于城市O O（如图）的东偏南（如图）的东偏南(cos = )(cos = )方向方向300 km300 km的海面的海面P P处，并以处，并以20 km/h20 km/h的速度向西偏北的速度向西偏北4545方向移动，台风侵袭的范围为方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为圆形区域，当前半径为60 km60 km，并以，并以10 km/h10 km/h的速度不断增
9、大，则的速度不断增大，则_小时后，该城市开始受到小时后，该城市开始受到台风的侵袭，受到台风侵袭的时间有台风的侵袭，受到台风侵袭的时间有_小时小时. .11课堂教学【解析解析】设在时刻设在时刻t(h)t(h)台风中心为台风中心为Q Q，此时台风侵袭的圆形区，此时台风侵袭的圆形区域半径为域半径为10t+60(km)10t+60(km)，若在时刻，若在时刻t t城市城市O O受到台风的侵袭，则：受到台风的侵袭，则：OQ10t+60.OQ10t+60.由条件知：由条件知：cosOPQ=cos(-45cosOPQ=cos(-45)=cos cos 45)=cos cos 45+sin sin 45+si
10、n sin 45= = 由余弦定理知：由余弦定理知：OQOQ2 2=(20t)=(20t)2 2+300+3002 2-2-220t20t300300 =20 =202 2t t2 2-9 600t+300-9 600t+3002 2, ,故故20202 2t t2 2-9 600t+300-9 600t+3002 2(10t+60)(10t+60)2 2,t,t2 2-36t+2880,12t24,-36t+2880,12t24,所以所以1212小时后该城市开始受到台风的袭击，受到台风侵袭的时间小时后该城市开始受到台风的袭击，受到台风侵袭的时间有有1212小时小时. .答案：答案：12 12
11、12 1212课堂教学热点考向一热点考向一 正、余弦定理在解三角形及定形中的应用正、余弦定理在解三角形及定形中的应用 【考情快报考情快报】难度度: :基基础题、中档、中档题命命题指数指数:题型型: :选择题、填空、填空题、解答、解答题考考查方式方式: :主要考主要考查利用正、余弦定理利用正、余弦定理进行行边和角、面和角、面积的的计算算, ,三角形形状的判定以及有关范三角形形状的判定以及有关范围的的计算算, ,常与三角恒等常与三角恒等变换综合考合考查13课堂教学【典典题1 1】(1)(2013(1)(2013陕西高考西高考) )设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所所对的的边分分别为a
12、,b,c,a,b,c,若若bcosC+ccosB=asinA,bcosC+ccosB=asinA,则ABCABC的形状的形状为( () )A.A.直角三角形直角三角形 B.B.锐角三角形角三角形C.C.钝角三角形角三角形 D.D.不确定不确定14课堂教学(2)(2)（20142014衢州模拟）在衢州模拟）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别所对的边分别为为a,b,ca,b,c，满足，满足b b2 2+c+c2 2-a-a2 2=bc, =bc, 则则b+cb+c的取值范的取值范围是围是_._.(3)(3)已知已知ABCABC的三个内角的三个内角A A，B B，C C所对
13、的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c，且且求角求角A A的大小的大小; ;若若a= ,cos B= ,a= ,cos B= ,求求ABCABC的面积的面积. .15课堂教学【信息联想信息联想】(1)(1)看到看到bcosC+ccosB=asinA,bcosC+ccosB=asinA,想到想到_._.(2)(2)看到看到b b2 2+c+c2 2-a-a2 2=bc,=bc,想到想到_._.(3)(3)看到看到ABCABC的面积的面积, ,想到想到_._.用正弦定理用正弦定理将边角关系转化为三角函数关系将边角关系转化为三角函数关系余弦定理余弦定理三角形的面积公式三角形的面积公式16课堂教
14、学【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.因为因为bcosC+ccosB=asinA,bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定所以由正弦定理得理得sinBcosC+sinCcosB=sinsinBcosC+sinCcosB=sin2 2A,A,所以所以sin(B+C)=sinsin(B+C)=sin2 2A,sinA=sinA,sinA=sin2 2A,A,sinA=1,sinA=1,所以三角形所以三角形ABCABC是直角三角形是直角三角形. .17课堂教学（2 2）由）由b b2 2+c+c2 2-a-a2 2=bc=bc结合余弦定理，结合余弦定理， 0 0得得B B为钝角，故为
15、钝角，故A+CA+C ,0,0C C , ,由正弦定理由正弦定理可知：可知：b+c=2R(sin B+sin C)=sin B+sin C=b+c=2R(sin B+sin C)=sin B+sin C=答案：答案：18课堂教学(3)(3)由由4sin4sin2 2 -cos 2A=-cos 2A=得得4sin4sin2 2 -(2cos -(2cos2 2A-1)=A-1)=即即cos A= ,cos A= ,因为因为0 0A A,所以所以A=60A=60. .19课堂教学由由cos B= ,cos B= ,得得sin B= ,sin B= ,由正弦定理由正弦定理sin C=sin(A+B)
16、=sin Acos B+cos Asin B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=所以所以ABCABC的面积的面积S=S=20课堂教学【互互动探究探究】题(1)(1)中条件中条件变为“(a(a2 2+b+b2 2)sin(A-B)sin(A-B)=(a=(a2 2-b-b2 2)sin(A+B)sin(A+B)”, ,则ABCABC的形状如何的形状如何? ?【解析解析】方法一方法一: :由已知由已知(a(a2 2+b+b2 2)sin(A-B)sin(A-B)=(a=(a2 2-b-b2 2)sin(A+B),)sin(A+B),得得a a2 2sin(A
17、-B)-sin(A+B)sin(A-B)-sin(A+B)=b=b2 2-sin(A+B)-sin(A-B),-sin(A+B)-sin(A-B),所以所以2a2a2 2cosAsinB=2bcosAsinB=2b2 2cosBsinA.cosBsinA.由正弦定理得由正弦定理得sinsin2 2AcosAsinB=sinAcosAsinB=sin2 2BcosBsinA,BcosBsinA,即即sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.21课堂教学因为因为0A,0B,0A,0B,所以所以sin2A=sin2B,sin2A=
18、sin2B,所以所以2A=2B2A=2B或或2A=-2B,2A=-2B,即即A=BA=B或或A+B= .A+B= .所以所以ABCABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形. .方法二方法二: :同方法一可得同方法一可得2a2a2 2cosAsinB=2bcosAsinB=2b2 2cosBsinA,cosBsinA,由正、余弦定理得由正、余弦定理得 所以所以a a2 2(b(b2 2+c+c2 2-a-a2 2)=b)=b2 2(a(a2 2+c+c2 2-b-b2 2),),即即(a(a2 2-b-b2 2)(c)(c2 2-a-a2 2-b-b2 2)=0.)=0.所以所以a
19、=ba=b或或c c2 2=a=a2 2+b+b2 2, ,所以所以ABCABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形. .22课堂教学【规律方法规律方法】1.1.解三角形常见类型及解法解三角形常见类型及解法在三角形的六个元素中要知三个在三角形的六个元素中要知三个( (除三角外除三角外) )才能求解才能求解, ,常见类常见类型及其解法见下表型及其解法见下表: :已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法一边和二角一边和二角( (如如a,B,C)a,B,C)正弦定理正弦定理由由A+B+C=180A+B+C=180, ,求角求角A;A;由正弦定理由正弦定理求出求出b b与与c;S=
20、 acsinB,c;S= acsinB,在有解时在有解时只有一解只有一解 两边和夹角两边和夹角( (如如a,b,C)a,b,C)余弦定理余弦定理由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c;c;由正弦定理由正弦定理求出一边所对的角求出一边所对的角, ,再由再由A+B+CA+B+C=180=180求出另一角求出另一角.S= absinC,.S= absinC,在有解时只有一解在有解时只有一解 23课堂教学已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法三边三边(a,b,c)(a,b,c)余弦定理余弦定理由余弦定理求出角由余弦定理求出角A,B,A,B,再利用再利用A+BA+B+C=180+C=180求出
21、角求出角C.S= absinC,C.S= absinC,在在有解时只有一解有解时只有一解 两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角( (如如a,b,A)a,b,A)正弦定理正弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B:B:由由A+B+C=A+B+C=180180求出角求出角C;C;再利用正弦定理求再利用正弦定理求出出c c边边.S= absinC,.S= absinC,可有两解、一可有两解、一解或无解解或无解 24课堂教学2.2.确定三角形的形状主要的途径及方法确定三角形的形状主要的途径及方法途径一途径一: :化边为角化边为角途径二途径二: :化角为边化角为边主主要要方方法法(1)(1)通过正弦
22、定理实现边角互化通过正弦定理实现边角互化(2)(2)通过余弦定理实现边角互化通过余弦定理实现边角互化(3)(3)通过三角变换找出角之间的关系通过三角变换找出角之间的关系(4)(4)通过三角函数值的符号以及正、余弦通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界性判断三角形形状函数有界性判断三角形形状25课堂教学【变式训练变式训练】1.(20141.(2014江西高考江西高考) )在在ABCABC中，内角中，内角A,B,CA,B,C所对所对的边分别是的边分别是a,b,ca,b,c，若，若c c2 2=(a-b)=(a-b)2 2+6,C= +6,C= 则则ABCABC的面积为的面积为 ( )( )26课
23、堂教学【解析解析】选选C.C.由已知得由已知得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2ab+6-2ab+6，而余弦定理中而余弦定理中c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcos C-2abcos C，故故-2abcos C=-2ab+6-2abcos C=-2ab+6，即即-ab=-2ab+6-ab=-2ab+6，得，得ab=6ab=6，所以所以ABCABC的面积为的面积为27课堂教学2.2.已知已知ABCABC的周长为的周长为 +1+1，且，且sin A+sin B= sin C.sin A+sin B= sin C.(1)(1)求边求边ABAB的长的长. .(2)(2)若若A
24、BCABC的面积为的面积为 sin C,sin C,求角求角C.C.28课堂教学【解析解析】（1 1）由题意及正弦定理得：）由题意及正弦定理得：AB+BC+AC= +1,BC+AC= ABAB+BC+AC= +1,BC+AC= AB，两式相减得两式相减得AB=1.AB=1.(2)(2)由由S SABCABC= BC= BCACACsin C= sin Csin C= sin C，得得BCBCAC= ,AC= ,由余弦定理得，由余弦定理得，cos C=cos C=29课堂教学【加固训练加固训练】（20132013西城模拟）在西城模拟）在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别
25、为的对边分别为a a，b b，c.c.已知已知（1 1）求）求 的值的值. .（2 2）若）若cos B= cos B= ，b=2,b=2,求求ABCABC的面积的面积. .30课堂教学【解析解析】（1 1）由正弦定理得）由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,所以所以即即sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B,sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B,即有即有sin(A+B)=2sin(B+C),si
26、n(A+B)=2sin(B+C),即即sin C=2sin A,sin C=2sin A,所以所以31课堂教学（2 2）由（）由（1 1）知）知: =2,: =2,即即c=2a.c=2a.又因为又因为b=2,b=2,所以由余弦定理得：所以由余弦定理得：b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2accos B,-2accos B,即即2 22 2=4a=4a2 2+a+a2 2-2a-2a2a2a , ,解得解得a=1(a=1(负值舍去负值舍去),),所以所以c=2.c=2.又因为又因为cos B= cos B= ，所以，所以sin B=sin B=故故ABCABC的面积为的面积为32课堂教学
27、热点考向二热点考向二 正、余弦定理的实际应用正、余弦定理的实际应用 【考情快报考情快报】难度度: :中档中档题命命题指数指数:题型型: :以解答以解答题为主主考考查方式方式: :主要考主要考查利用正、余弦定理解决一些利用正、余弦定理解决一些现实生活中航生活中航海海( (空空) )测量、量、设计问题, ,体体现知知识的的应用能力用能力33课堂教学【典典题2 2】(2014(2014浙江高考浙江高考) )如如图, ,某人在垂直于水平地面某人在垂直于水平地面ABCABC的的墙面前的点面前的点A A处进行射行射击训练. .已知点已知点A A到到墙面的距离面的距离为AB,AB,某目某目标点点P P沿沿墙
28、面的射面的射击线CMCM移移动, ,此人此人为了准确瞄准目了准确瞄准目标点点P,P,需需计算由点算由点A A观察点察点P P的仰角的仰角的大小的大小( (仰角仰角为直直线APAP与平与平面面ABCABC所成的角所成的角).).若若AB=15m,AC=25m,BCM=30AB=15m,AC=25m,BCM=30, ,则tantan的最的最大大值是是( () )34课堂教学35课堂教学【信息联想信息联想】看到题中所给图象及看到题中所给图象及tantan的最大值的最大值, ,想到构造三想到构造三角形角形, ,利用勾股定理求出边长利用勾股定理求出边长, ,进而转换为函数问题求解进而转换为函数问题求解.
29、 .36课堂教学【规范解答规范解答】选选C.C.由勾股定理可得，由勾股定理可得，BC=20 mBC=20 m，过，过P P作作PPBCPPBC，交，交BCBC于于PP，连接连接APAP，如图，则，如图，则tan =tan =设设BP=xBP=x，则，则CP=20CP=20x x，由由BCM=30BCM=30得，得，PP=CPtan 30PP=CPtan 30= (20= (20x).x).在在RtABPRtABP中，中，AP=AP=37课堂教学38课堂教学【规律方法规律方法】应用正、余弦定理解决实际问题的步骤及流程应用正、余弦定理解决实际问题的步骤及流程(1)(1)解题步骤解题步骤读题读题.
30、.分析题意分析题意, ,准确理解题意准确理解题意, ,分清已知与所求分清已知与所求, ,尤其要理解尤其要理解题中的有关名词、术语题中的有关名词、术语, ,如坡度、仰角、俯角、方位角等如坡度、仰角、俯角、方位角等; ;图解图解. .根据题意画出示意图根据题意画出示意图, ,并将已知条件在图形中标出并将已知条件在图形中标出; ;建模建模. .将所求解的问题归结到一个或几个三角形中将所求解的问题归结到一个或几个三角形中, ,通过合理通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解; ;验证验证. .检验解出的结果是否具有实际意义检验解出的结果是否具有实际意义,
31、 ,对结果进行取舍对结果进行取舍, ,得出正确答案得出正确答案. .39课堂教学(2)(2)思维流程思维流程40课堂教学【变式式训练】1.1.如如图, ,在某灾区的搜救在某灾区的搜救现场, ,一条搜救犬从一条搜救犬从A A点点出出发沿正北方向行沿正北方向行进xmxm到达到达B B处发现生命迹象生命迹象, ,然后向右然后向右转105105, ,行行进10m10m到达到达C C处发现另一生命迹象另一生命迹象, ,这时它向右它向右转135135回到出回到出发点点, ,那么那么x=x=m.m.41课堂教学【解析解析】由题图可知，由题图可知，ABABx x，ABCABC1801801051057575，
32、BCABCA1801801351354545. .因为因为BCBC1010，BACBAC180180757545456060，答案：答案：42课堂教学2.2.（20142014烟台模拟）如图，某广场中间有一块扇形状绿地烟台模拟）如图，某广场中间有一块扇形状绿地OABOAB，其中，其中O O为扇形所在圆的圆心，为扇形所在圆的圆心，AOB=60AOB=60，广场管理部，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在门欲在绿地上修建观光小路：在 上选一点上选一点C C，过，过C C修建与修建与OBOB平行的小路平行的小路CDCD，与，与OAOA平行的小路平行的小路CECE，问，问C C应选在何处，才能使应选
33、在何处，才能使得修建的道路得修建的道路CDCD与与CECE的总长最大，并说明理由的总长最大，并说明理由. .43课堂教学【解析解析】由题意知由题意知, ,四边形四边形ODCEODCE是平行四边形是平行四边形. .因为因为AOB=60AOB=60, ,所以所以ODC=120ODC=120. .连接连接OC,OC,设设OC=r,OD=x,OE=y,OC=r,OD=x,OE=y,则则CE=x,CD=y.CE=x,CD=y.在在ODCODC中中, ,由余弦定理由余弦定理, ,得得OCOC2 2=OD=OD2 2+DC+DC2 2-2OD-2ODDCcos120DCcos120, ,即即r r2 2=x
34、=x2 2+y+y2 2+xy.+xy.44课堂教学所以所以(x+y)(x+y)2 2=r=r2 2+xyr+xyr2 2+ +解得解得x+y ,x+y ,当且仅当当且仅当x=y= rx=y= r时取等号时取等号, ,所以所以x+yx+y的最大值为的最大值为 , ,此时此时C C为为 的中点的中点, ,即点即点C C应选在应选在 的中点处，才能使得修建的道路总长最大的中点处，才能使得修建的道路总长最大. .45课堂教学【加固加固训练】1.(20141.(2014北京模北京模拟) )如如图, ,A,CA,C两两岛之之间有一片暗礁有一片暗礁, ,一艘小船于某日上午一艘小船于某日上午8 8时从从A
35、A岛出出发, ,以以1010海里海里/ /小小时的速度的速度, ,沿北偏沿北偏东7575方向直方向直线航行航行, ,下午下午1 1时到达到达B B处. .然后以同然后以同样的速度的速度, ,沿北偏沿北偏东1515方向直方向直线航航行行, ,下午下午4 4时到达到达C C岛. .(1)(1)求求A,CA,C两两岛之之间的直的直线距离距离. .(2)(2)求求BACBAC的正弦的正弦值. .46课堂教学【解析解析】(1)(1)在在ABCABC中中, ,由已知由已知,AB=10,AB=105=50(5=50(海里海里),),BC=10BC=103=30(3=30(海里海里),),ABC=180ABC
36、=180-75-75+15+15=120=120. .据余弦定理据余弦定理, ,得得ACAC2 2=50=502 2+30+302 2-2-250503030cos120cos120=4900,=4900,所以所以AC=70(AC=70(海里海里).).故故A,CA,C两岛之间的直线距离是两岛之间的直线距离是7070海里海里. .47课堂教学48课堂教学2.(20132.(2013江江苏高考高考) )如如图, ,游客从某旅游景区的景点游客从某旅游景区的景点A A处下山至下山至C C处有两种路径有两种路径. .一种是从一种是从A A沿直沿直线步行到步行到C,C,另一种是先从另一种是先从A A沿索
37、沿索道乘道乘缆车到到B,B,然后从然后从B B沿直沿直线步行到步行到C.C.现有甲、乙两位游客从有甲、乙两位游客从A A处下山下山, ,甲沿甲沿ACAC匀速步行匀速步行, ,速度速度为50m/min.50m/min.在甲出在甲出发2min2min后后, ,乙乙从从A A乘乘缆车到到B,B,在在B B处停留停留1min1min后后, ,再从再从B B匀速步行到匀速步行到C.C.假假设缆车匀速直匀速直线运运动的速度的速度为130m/min,130m/min,山路山路ACAC长为1260m,1260m,经测量量, ,cosA= ,cosC= .cosA= ,cosC= .49课堂教学(1)(1)求索
38、道求索道ABAB的长的长. .(2)(2)问问: :乙出发多少分钟后乙出发多少分钟后, ,乙在缆车上与甲的距离最短乙在缆车上与甲的距离最短? ?(3)(3)为使两位游客在为使两位游客在C C处互相等待的时间不超过处互相等待的时间不超过3 3分钟分钟, ,乙步行的乙步行的速度应控制在什么范围内速度应控制在什么范围内? ?50课堂教学【解析解析】（1 1）在）在ABCABC中，因为中，因为cos A= ,cos C= ,cos A= ,cos C= ,所以所以sin A= ,sin C= .sin A= ,sin C= .从而从而sin B=sinsin B=sin-(A+C)-(A+C)=sin
39、(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=1 040(m).=1 040(m).所以索道所以索道ABAB的长为的长为1 040 m.1 040 m.51课堂教学(2)(2)假设乙出发假设乙出发t t分钟后，甲、乙两游客距离为分钟后，甲、乙两游客距离为d,d,此时，甲行此时，甲行走了走了(100+50t)m(100+50t)m，乙距离，乙距离A A处处130t m130t m，所以由余弦定理得，所以由余弦定理得d d2 2=(100+50t)=(100+50t)2 2+(130t)+(130t)2 2-2-2130t13
40、0t(100+50t)(100+50t)=200(37t=200(37t2 2-70t+50),-70t+50),因因0t ,0t ,即即0t8,0t8,故当故当t= (min)t= (min)时，甲、乙两游客距离最短时，甲、乙两游客距离最短. .52课堂教学(3)(3)由正弦定理由正弦定理乙从乙从B B出发时，甲已走了出发时，甲已走了5050(2+8+1)=550(m)(2+8+1)=550(m)，还需走，还需走710 m710 m才能到达才能到达C.C.设乙步行的速度为设乙步行的速度为v m/minv m/min，由题意得，由题意得-3-3所以为使两位游客在所以为使两位游客在C C处互相等
41、待的时间不超过处互相等待的时间不超过3 3分钟，乙步分钟，乙步行的速度应控制在行的速度应控制在 （单位：（单位：m/min)m/min)范围内范围内. .53课堂教学热点考向三热点考向三 正、余弦定理与三角函数、正、余弦定理与三角函数、 平面向量的交汇问题平面向量的交汇问题 【考情快报考情快报】高频考向高频考向多维探究多维探究难度度: :中档中档命命题指数指数:题型型: :以解答以解答题为主主考考查方式方式: :主要考主要考查正、余弦定理及三角函数的正、余弦定理及三角函数的图象、性象、性质与与平面向量的平面向量的综合合应用用, ,体体现在知在知识交交汇点命点命题的思想的思想54课堂教学命题角度
42、一命题角度一 与三角函数的综合与三角函数的综合【典题典题3 3】（20142014温州模拟）设温州模拟）设R,f(x)=cos x(sin xR,f(x)=cos x(sin x-cos x)+cos-cos x)+cos2 2( -x)( -x)满足满足f(- )=f(0).f(- )=f(0).(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的对称轴和单调递减区间的对称轴和单调递减区间. .(2)(2)设设ABCABC三内角三内角A A，B B，C C所对边分别为所对边分别为a,b,ca,b,c且且求求f(x)f(x)在在(0,A(0,A上的值域上的值域. .55课堂教学【现场答案现场答案】56课
43、堂教学【纠错析因纠错析因】找出以上现场答案的错误之处，分析原因并给出找出以上现场答案的错误之处，分析原因并给出正确答案正确答案. .提示：提示：以上解析中在（以上解析中在（1 1）处的两个结果中均忽视了）处的两个结果中均忽视了kZkZ的条的条件；在（件；在（2 2）处由）处由x(0, )x(0, )求求f(x)f(x)范围时对范围时对2x- 2x- 的范围认定的范围认定不准确导致不准确导致f(x)f(x)的范围求错的范围求错. .57课堂教学【规范解答规范解答】（1 1）f(x)=sin xcos x-cosf(x)=sin xcos x-cos2 2x+sinx+sin2 2x=x= sin
44、 2x-cos 2x, sin 2x-cos 2x,因为因为f(- )=f(0),f(- )=f(0),所以所以=2 ,=2 ,所以所以f(x)=2sin(2x- )f(x)=2sin(2x- )，对称轴为：，对称轴为：x= (kZ),x= (kZ),所以所以f(x)=2sin(2x- )f(x)=2sin(2x- )的单调递减区间为的单调递减区间为58课堂教学(2)(2)因为因为 由正弦定理得由正弦定理得可变形为：可变形为：sin(A+B)=-2cos Asin C,sin(A+B)=-2cos Asin C,所以所以cos A=- ,cos A=- ,又又0 0A A,所以所以A= ,A=
45、 ,所以所以x(0, x(0, ，2x- (- , ,2x- (- , ,所以所求值域为所以所求值域为-1,2-1,2. .59课堂教学命题角度二命题角度二 与平面向量的综合与平面向量的综合【典题典题4 4】（1 1）（）（20142014成都模拟）成都模拟）ABCABC的三内角的三内角A A，B B，C C所对边的长分别为所对边的长分别为a,b,c,a,b,c,设向量设向量p=(sin B,a+c),=(sin B,a+c),q=(sin C-=(sin C-sin A,b-a).sin A,b-a).若若RR，使，使p=q，则角，则角C C的大小为（的大小为（ ）(2)(2)（201420
46、14宜春模拟）已知在宜春模拟）已知在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对边的对边长分别为长分别为a,b,ca,b,c，已知向量，已知向量m=(sin A+sin C,sin B-sin A),=(sin A+sin C,sin B-sin A),n=(sin A-sin C,sin B),=(sin A-sin C,sin B),且且mn. .求角求角C C的大小的大小; ;若若a a2 2=b=b2 2+ c+ c2 2，试求，试求sin(A-B)sin(A-B)的值的值. .60课堂教学【信息联想信息联想】(1)(1)看到看到p=q, ,想到想到_,_,进而想到进而想到_._
47、.(2)(2)看到看到mn, ,想到想到_,_,进而想到进而想到_._.pq, ,即即(b-a)sinB-(a+c)(b-a)sinB-(a+c)(sinC-sinA)=0(sinC-sinA)=0正、余弦定理正、余弦定理mn=0=0正、余弦定理正、余弦定理61课堂教学【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.因为因为 R,R,使使p=q, ,所以所以pq, ,所以有所以有(b-a)sinB-(a+c)(sinC-sinA)=0,(b-a)sinB-(a+c)(sinC-sinA)=0,由正弦定理得由正弦定理得:b:b2 2-ab-c-ab-c2 2+a+a2 2=0,=0,cosC= .c
48、osC= .又又C(0,),C(0,),所以所以C= .C= .62课堂教学(2)(2)由题意得由题意得: :mn=(sin=(sin2 2A-sinA-sin2 2C)+(sinC)+(sin2 2B-sinAsinB)=0,B-sinAsinB)=0,即即sinsin2 2C=sinC=sin2 2A+sinA+sin2 2B-sinAsinB,B-sinAsinB,由正弦定理得由正弦定理得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-ab,-ab,再由余弦定理得再由余弦定理得cosC= ,cosC= ,因为因为0C,0Ccac，已知，已知 =2=2，cos B=cos B=b=3b=3，求：
49、（，求：（1 1）a a和和c c的值的值. .（2 2）cos(B-C)cos(B-C)的值的值. .68课堂教学【解析解析】（1 1）由）由 =2=2，cos B= cos B= 得得 =cacos B=2=cacos B=2，所以所以ac=6ac=6；又由；又由b=3b=3及余弦定理得及余弦定理得b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos B-2accos B，所以所以a a2 2+c+c2 2=13=13，结合，结合acac，解得，解得a=3,c=2.a=3,c=2.（2 2）由）由a=3,b=3,c=2a=3,b=3,c=2得得cos C=cos C=69课堂教学2.2.
50、（20142014绍兴模拟）已知向量绍兴模拟）已知向量m=(2sin x,1),=(2sin x,1),n=( cos x,=( cos x,2cos2cos2 2x)x)，函数，函数f(x)=f(x)=mn-t.-t.(1)(1)若方程若方程f(x)=0f(x)=0在在x0, x0, 上有解，求上有解，求t t的取值范围的取值范围. .(2)(2)在在ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分别是分别是A A，B B，C C所对的边，当所对的边，当(1)(1)中的中的t t取最大值且取最大值且f(A)=-1,b+c=2f(A)=-1,b+c=2时，求时，求a a的最小值的最小值. .70课堂
51、教学【解析解析】(1)f(x)=2sin(2x+ )+1-t,(1)f(x)=2sin(2x+ )+1-t,f(x)=0f(x)=0，即，即2sin(2x+ )+1=t,2sin(2x+ )+1=t,当当x0, x0, 时，时，2x+ 2x+ sin(2x+ )- ,1sin(2x+ )- ,12sin(2x+ )+12sin(2x+ )+10,30,3, ,所以所以0t3.0t3.(2)(2)由（由（1 1）知）知t=3,t=3,所以所以f(x)=2sin(2x+ )-2,f(x)=2sin(2x+ )-2,f(A)=-1f(A)=-1A= ,A= ,a a2 2=b=b2 2+c+c2 2
52、-2bccos A=b-2bccos A=b2 2+c+c2 2-bc=(b+c)-bc=(b+c)2 2-3bc=4-3bc-3bc=4-3bc4- =4-3=14- =4-3=1a1a1a aminmin=1.=1.71课堂教学【加固训练加固训练】(2014(2014郑州模拟）已知向量郑州模拟）已知向量m=(sin x,-1)=(sin x,-1)，向量向量n=( cos x,- )=( cos x,- )，函数，函数f(x)=(f(x)=(m+ +n) )m. .(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期T.T.(2)(2)已知已知a,b,ca,b,c分别为分别为ABCAB
53、C内角内角A A，B B，C C的对边，的对边，A A为锐角，为锐角，a=2 ,c=4,a=2 ,c=4,且且f(A)f(A)恰是恰是f(x)f(x)在在0, 0, 上的最大值，求上的最大值，求A A和和b.b.72课堂教学【解析解析】(1)f(x)=(1)f(x)=(m+ +n) )m=sin=sin2 2x+1+ sin xcos x+x+1+ sin xcos x+(2)(2)由由(1)(1)知知：f(x)=sin(2x- )+2,xf(x)=sin(2x- )+2,x0, 0, 时时，- - 2x2x- - , ,所以当所以当2x-2x- = = 时时,f(x),f(x)取得最大值取得
54、最大值3 3，此时此时x=x=所以由所以由f(A)=3f(A)=3得得A=A= 由余弦定理由余弦定理，得得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos A-2bccos A，所以所以12=b12=b2 2+16-2+16-24b4b , ,所以所以b=2.b=2. 73课堂教学建模思想建模思想解决与三角形相关的实际问题解决与三角形相关的实际问题【思想诠释思想诠释】解决与三角形相关的实际问题中应用建模思想的常见类型解决与三角形相关的实际问题中应用建模思想的常见类型1.1.与测量有关的山高、堤坝、土地面积与测量有关的山高、堤坝、土地面积: :求解时求解时, ,运用所学的解运用所学的解三角
55、形知识三角形知识, ,构建可解的三角形模型构建可解的三角形模型, ,利用正、余弦定理求解利用正、余弦定理求解. .74课堂教学2.2.与航海有关的运行问题与航海有关的运行问题: :求解时作出符合题意的示意图求解时作出符合题意的示意图, ,构建构建可解三角形模型可解三角形模型, ,利用正、余弦定理求解利用正、余弦定理求解. .3.3.图形设计问题图形设计问题: :求解时求解时, ,根据设计要求根据设计要求, ,构建可解三角形模型构建可解三角形模型, ,利用正、余弦定理及解三角形的其他知识求解利用正、余弦定理及解三角形的其他知识求解. .4.4.与三角形有关的最优化问题与三角形有关的最优化问题:
56、:求解时选择适当的量为变量求解时选择适当的量为变量, ,先先构建可解三角形模型构建可解三角形模型, ,利用解三角形知识利用解三角形知识, ,构建函数模型或大小构建函数模型或大小比较模型求解比较模型求解. .75课堂教学【典例分析典例分析】【典题典题】（20142014厦门模拟）如图所厦门模拟）如图所示，扇形示，扇形AOBAOB，圆心角，圆心角AOBAOB的大小等的大小等于于 , ,半径为半径为2 2，在半径，在半径OAOA上有一动上有一动点点C C，过点，过点C C作平行于作平行于OBOB的直线交弧的直线交弧ABAB于点于点P.P.(1)(1)若若C C是半径是半径OAOA的中点，求线段的中点
57、，求线段PCPC的大小的大小. .(2)(2)设设COP=COP=，求，求POCPOC周长的最大值及此时周长的最大值及此时的值的值. .76课堂教学【思想联想思想联想】（1 1）求线段）求线段PCPC，联想到构建以，联想到构建以PCPC为边的三角形为边的三角形模型，利用正、余弦定理求解模型，利用正、余弦定理求解. .(2)(2)涉及求涉及求POCPOC周长的最大值，联想到构建函数模型，利用函周长的最大值，联想到构建函数模型，利用函数性质求解数性质求解. . 77课堂教学【规范解答规范解答】78课堂教学79课堂教学【能力迁移能力迁移】某城市有一块不规则的绿地如图所示某城市有一块不规则的绿地如图所
58、示, ,城建部门欲在该地上建造一个底座为城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志三角形的环境标志, ,小李、小王设计的小李、小王设计的底座形状为底座形状为ABC,ABD,ABC,ABD,经测量经测量AD=AD=BD=14,BC=10,AC=16,C=D.BD=14,BC=10,AC=16,C=D.(1)(1)求边求边ABAB的长度的长度. .(2)(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比若建造环境标志的费用与用地面积成正比, ,不考虑其他因素不考虑其他因素, ,小李、小王谁的设计使建造费用较低小李、小王谁的设计使建造费用较低, ,请说明理由请说明理由. .80课堂教学【思想联想思想联
59、想】(1)(1)根据已知求根据已知求AB,AB,可联想到构建以可联想到构建以ABAB为一边的可为一边的可解三角形模型求解解三角形模型求解. .(2)(2)涉及两人谁的建造费较低涉及两人谁的建造费较低, ,可联想到建立大小比较模型可联想到建立大小比较模型. .81课堂教学【解析解析】(1)(1)在在ABCABC中中, ,由余弦定理得由余弦定理得ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2-2AC-2ACBCcosC=16BCcosC=162 2+10+102 2-2-2161610cosC,10cosC,在在ABDABD中中, ,由余弦定理及由余弦定理及C=D,C=D,整理得整理得,AB,
60、AB2 2=AD=AD2 2+BD+BD2 2-2AD-2ADBDcosDBDcosD=14=142 2+14+142 2-2-214142 2cosC,cosC,则则,14,142 2+14+142 2-2-214142 2cosC=16cosC=162 2+10+102 2-2-2161610cosC,10cosC,解得解得cosC= ,cosC= ,又又C C为三角形的内角为三角形的内角, ,所以所以C=60C=60, ,又又C=D,AD=BD,C=D,AD=BD,所以所以ABDABD是等边三角形是等边三角形, ,即边即边ABAB的长度为的长度为14.14.82课堂教学(2)(2)小李的设计使建造费用较低小李的设计使建造费用较低. .理由如下理由如下: :S SABDABD= AD= ADBDsinD,BDsinD,S SABCABC= AC= ACBCsinC.BCsinC.因为因为ADADBDACBDACBC,BC,所以所以S SABDABDSSABCABC, ,由已知建造费用与用地面积成正比由已知建造费用与用地面积成正比, ,故选择故选择ABCABC建造环境标志建造环境标志费用较低费用较低. .即小李的设计使建造费用较低即小李的设计使建造费用较低. . 83课堂教学
