中值定理及其应用

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1、中值定理及其应用中值定理及其应用中值定理中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理T 与 l 平行这样的可能有好多高了低了到了一个特殊的例子：假设从A点运动到B点，那么有许多种走法，首先我们来看一个例子。行走的典型路线如下：这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0. 几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.典型情形的证明思想结论: Rolle定理一、罗尔(Rolle)定理例如例如,几何解释几何解释: :证证注意注意: 罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中

2、有一个不满足,其结论可其结论可能不成立能不成立.例如例如,又例如又例如,f (x)满足条件(2), (3),但不满足条件(1), 在(0, 1)内,例如例如: (i) y=f (x)=1 , x = 1, x0, 1) 图3-1-2 x y011f (x)在-1, 1上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当 x 时, f (x)= 1. x 时, f (x)= 1. x=0时, f (0)不存在. (ii)0x y111图3-1-3y = |x|(iii) y=f (x)=x, x1, 2, f (x)在1, 2上满足条件(1), (2),但不满足条件(3),在(1, 2)内,f (

3、x)=1. 02112xy图3-1-4y=x 例例1 设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 不求导数,试判 断方程 f x 有几个实根, 它们分别在何区间? 解解: f (x)在1, 2上连续, 在(1, 2)上可导,且 f (1)= f (2);由罗尔定理: 1 , 使 f (1; 同理,2, , 注意到f (x)=0为二次方程, 使 f (2;它至多有两个实根,故 1, 2是 f (x)=0 的全部实根. 例例2 2证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理T 与 l 平行更广泛情形的证明思想:同

4、一点几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论2 证明证明 推论推论1例例3 3证证例例4 4证证由上式得由上式得例例5. 设 ab0 n1. 证明证明:令 f (x)= x n 显然 f (x)

5、在 b, a上满足拉格朗日定理条件, 证明: nbn1(ab) an bn nan1(a b)有 f (a) f (b)=f ( )(ab) (b a)即 an bn = n n1(a b)又 0b 1所以 bn1 n1 an1 nbn1 (a b)n n 1 (a b) nan1 (a b) 即 nbn1(ab) an bn nan1(a b)三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数例例6 6证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理2 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯

6、西中值定罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；理之间的关系；1 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中条件是充分的，但不是必要的条件是充分的，但不是必要的.3 证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔定理定理.4 应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明一些不等式一些不等式.思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.思考题解答思考题解答不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.