直线的参数方程

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1、向量共线定理向量共线定理 ： 向量向量 与非零向量与非零向量 共线当且仅当共线当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数l l，使得，使得 = .= .1、直线的方向向量、直线的方向向量结论结论：平面中的任意一条直线：平面中的任意一条直线l的位置可以由的位置可以由l上上 的以及的以及 确定。确定。A问题问题：如图所示，过点：如图所示，过点A且与向量且与向量 所在直线平行的直所在直线平行的直线有几条线有几条?定义：直线定义：直线l上的向量上的向量 以及以及与与 共线的向量叫做直线共线的向量叫做直线l的的方方向向量向向量。一个定点一个定点A一个定方向一个定方向直线方向向量求法直线方向向量求法（1）已知直

2、线）已知直线l过点过点A(1,1)，B(2,2)，求直线的一个方向向量。求直线的一个方向向量。（2）已知直线）已知直线l的斜率是的斜率是1，求，求直线的一个方向向量。直线的一个方向向量。（3）已知直线）已知直线l的倾斜角为的倾斜角为45o，求直，求直线的一个方向向量。线的一个方向向量。变形变形：(1)已知直线已知直线l的斜率是的斜率是k，求直线的一个方向向量。，求直线的一个方向向量。(2)已知直线已知直线l的倾斜角为的倾斜角为a a，求直线的一个方向向量。，求直线的一个方向向量。变形变形1：已知直线已知直线l的倾斜角为的倾斜角为45o，可求其一个方向向量，可求其一个方向向量为为 =(sin45

3、o,cos45o)，已知直线，已知直线l上的点上的点A(1,1)，B(2,2)，可求其，可求其方向向量为方向向量为 =(1,1)，判断向量，判断向量 与与 是否共线。是否共线。变形变形2：已知直线已知直线l的倾斜角为的倾斜角为45o，可求其一个方向向量，可求其一个方向向量为为 =(sin45o,cos45o)， 是直线是直线l的一个方向向量，其模长为的一个方向向量，其模长为t，判断向量判断向量 与与 是否共线。是否共线。变形变形4：已知直线已知直线l的两个方向向量分别为的两个方向向量分别为 和和 ，其中其中 ，且，且 ，则，则t的几何意义是什么？的几何意义是什么？变形变形3：已知直线已知直线l

4、的倾斜角为的倾斜角为a a，可求其一个方向向量，可求其一个方向向量为为 =(sina a,cosa a)， 是直线是直线l的一个方向向量，其模长为的一个方向向量，其模长为t，判断，判断向量向量 与与 是否共线。是否共线。直线的普通方程直线的普通方程1、已知直线、已知直线l斜率为斜率为k且过点且过点A(xo,yo)，则直线，则直线l的方程为的方程为 。2、已知直线、已知直线l倾斜角为倾斜角为a a且过点且过点A(xo,yo)，则直，则直线线l的方程为的方程为 。直线的参数方程直线的参数方程？问题问题：经过点：经过点M0(x0,y0),倾斜角为倾斜角为a a（a ap p/2)的直线的直线l的的普

5、通方程是普通方程是y-y0=tana a(x-x0)，怎样建立直线，怎样建立直线l的参数方程的参数方程？解：在直线上解：在直线上任任取一点取一点M(x，y)，则，则设设 是直线是直线l的单位方向向量，则的单位方向向量，则M于是：于是：即即 （t为参数）为参数）因为因为 ，所以存在实数，所以存在实数t R，使，使 ，即，即直线直线l的参的参数方程数方程M2、由、由 ，你能得到直线，你能得到直线l的的参数方程参数方程 (t为参数为参数)中参数中参数t的几何意义吗？的几何意义吗？1、判断直线、判断直线l的方向向量的方向向量 （a a为倾斜角）的方向是向上还是向下？为倾斜角）的方向是向上还是向下？Mt

6、的绝对值等于动点的绝对值等于动点M到定点到定点M0的距离的距离1、已知直线、已知直线l的倾斜角的倾斜角a a=45o且过点且过点(1,2)，求直线，求直线l的参数方程和普通方程。的参数方程和普通方程。2、已知直线、已知直线l的方程为的方程为 ，求直线的，求直线的参数方程。参数方程。1.（1） （a为参数）为参数）2.（2） （t为参数）为参数）3.（3） （t为参数）为参数）3、将下列参数方程化为普通方程、将下列参数方程化为普通方程问题问题：一条直线：一条直线的参数方程唯一的参数方程唯一吗？吗？1、标准式、标准式：直线过点：直线过点M0(x0,y0),倾斜角为倾斜角为a a（a ap p/2)

7、 的的参数方程为参数方程为 。2、一般式、一般式：直线过点：直线过点M0(x0,y0), 斜率为斜率为k=b/a的的参数方程为参数方程为 。t的几何意义的几何意义： 。t的绝对值等于直线上动点的绝对值等于直线上动点M到定点到定点M0的距离的距离C2、已知直线的参数方程为、已知直线的参数方程为 （t为参数），为参数），则它的倾斜角为则它的倾斜角为 。1、直线、直线 的倾斜角（的倾斜角（ ）变形变形：直线：直线l的参数方程为的参数方程为 (t为参数为参数)，l上的点上的点M1对应用的参数是对应用的参数是t1，则点，则点M1与点与点M0(a,b)之间的之间的距离距离是是 .3、直线、直线l的参数方程

8、为的参数方程为 (t为参数为参数)，l上的点上的点M1对应用的参数是对应用的参数是t1，则点，则点M1与点与点M0(a,b)之间的距离之间的距离是是 .4、直线的参数方程为、直线的参数方程为 （t为参数）对应的为参数）对应的t=0,t=1两点的距离两点的距离 。5、若直线的参数方程为、若直线的参数方程为 （t为参数），则直线为参数），则直线的斜率为的斜率为 。6、若直线、若直线l1: （t为参数）与直为参数）与直线线l2: （s为参数）垂直，则为参数）垂直，则k= 。1、标准式、标准式：直线过点：直线过点M0(x0,y0),倾斜角为倾斜角为a a（a ap p/2) 的的参数方程为参数方程为

9、。2、一般式、一般式：直线过点：直线过点M0(x0,y0), 斜率为斜率为k=b/a的的参数方程为参数方程为 。t的几何意义的几何意义： 。t的绝对值等于直线上动点的绝对值等于直线上动点M到定点到定点M0的距离的距离3、 直线的方程（直线的方程（普通方程与参数方程普通方程与参数方程）的应用）的应用：根据题目情况，有意识地选用方程，一般情况下选择普根据题目情况，有意识地选用方程，一般情况下选择普通方程。通方程。例例1、已知直线、已知直线l过点过点M(-1,2)且倾斜角且倾斜角a=45o(1)求直线求直线l的参数方程；的参数方程；(2)设设l与抛物线与抛物线y=x2交于交于A,B两点，求线段两点，

10、求线段AB的长的长; (3)求点求点M(-1，2)到到A,B两点的距离之积两点的距离之积;M变形变形、已知直线、已知直线l:x+y-1=0与抛物线与抛物线y=x2交于交于A,B两点，两点，求线段求线段AB的长和点的长和点M(-1，2）到）到A,B两点的距离之积两点的距离之积M探究探究：直线：直线 与曲线交于与曲线交于M1，M2两两点，对应的参数分别为点，对应的参数分别为t1,t2。(1)曲线的弦曲线的弦M1M2让长是多少？让长是多少？(2)线段线段M1M2的中点的中点M对应的参数对应的参数t的值是多少？的值是多少？变式变式、已知直线、已知直线l过点过点M(1,1)且倾斜角且倾斜角a= .(1)求直线求直线l的参数方程；的参数方程；(2)设设l与圆与圆x2+y2=4交于相交于交于相交于A,B两点，求点两点，求点M到到A,B两点的距离之积两点的距离之积;