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1、解直角三角形应用解直角三角形应用 -测高问题测高问题2009年年11月月6日日 杨海红杨海红在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上方的角叫做方的角叫做仰角仰角。视线在水平线下方的角叫做。视线在水平线下方的角叫做俯角俯角。强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。在假期里，同学们约好一起去爬山，他们走进大门在假期里，同学们约好一起去爬山，他们走进大门后后远远远远望望见见山山顶顶的的C C处处都都觉觉得得它它好好远远好好高高，能能爬爬上上去去不不容容易易，出出发发时时大大家家都都充充满满信信心心，但但是是有有的
2、的同同学学在在爬爬的的过过程程中中由由于于体体力力不不支支，在在半半山山腰腰B B处处就就停停下下来来，有有的的同同学学则克服困难，坚持着爬到山顶则克服困难，坚持着爬到山顶C C处，处，例题例题 如如果果此此山山的的高高度度为为500500米米，在在A A处处测测得得C C处处的的仰仰角角为为4545，如如果果要要从从顶顶点点C C处处到到大大门门A A处处建建立立一一条条空空中中索索道道，那那么么这这条条索索道道需需要要多多少少米米？请请你你帮帮助助算算一一算算。如如果果半半山山腰腰B B处处的的垂垂直直距距离离是是200200米米，A A处处到到垂垂足足E E处处的的距距离离是是200 2
3、00 米米，那那么么B B处处的的俯俯角角是是多少？多少？M练习：练习： 如图如图4,河对岸有水塔河对岸有水塔AB.在在C处处测得塔顶测得塔顶A的仰角为的仰角为30,向塔前进向塔前进12m到到达达D,在在D处测得处测得A的仰角为的仰角为45,求塔高求塔高.DCBA453012m图图4图图4解题步骤小结解题步骤小结 1 1、首先要弄清题意，结合实际问题中的示、首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论。意图分清题目中的已知条件和所求结论。 2 2、找出与问题有关的直角三角形，或通过作、找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题辅助线构造有
4、关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题。转化为解直角三角形的问题。 3 3、合理选择直角三角形的元素之间的关、合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案。系求出答案。 问问题题1 1：在在旧旧城城改改造造中中，要要拆拆除除一一烟烟囱囱ABAB，在在地地面面上上事事先先划划定定以以B B为为圆圆心心，半半径径与与ABAB等等长长的的圆圆形形危危险险区区，现现在在从从离离B B点点2121米米远远的的建建筑筑物物CDCD顶顶端端C C测测得得A A点点的的仰仰角角为为4545，到到B B点点的的俯俯角角为为3030，问问离离B B点点3030米米远远的的保保护文物是否在危险区内？护文物
5、是否在危险区内？（ 约等于约等于1.7321.732）问问题题2：如如图图一一个个摄摄像像仪仪器器架架在在过过街街天天桥桥上上，检检查查马马路路行行驶驶的的车车辆辆是是否否超超速速，已已知知摄摄像像仪仪器器A到到公公路路L的的垂垂直直距距离离AD为为21米米，A到到公公路路点点C的的俯俯角角为为30，到到公公路路点点B的的俯俯角角为为60，一一辆辆汽汽车车在在公公路路L上上沿沿CB方方向匀速行驶，测得它从点向匀速行驶，测得它从点C到点到点B所用的时间为所用的时间为0.4秒。秒。（1)1)计算此车从点计算此车从点C到到B的速度的速度v为每秒多少米为每秒多少米? ?（结果精确到个（结果精确到个位，
6、位， 约等于约等于1.7321.732） (2)(2)如果此路段限定时速不超过如果此路段限定时速不超过6060千米，判断此车是否超速？千米，判断此车是否超速？并说明理由。并说明理由。 同学们开动脑筋想一想，同学们开动脑筋想一想，还可以涉及到哪些问题？还可以涉及到哪些问题？ 赛一赛：赛一赛：以以小小组组为为单单位位，根根据据下下列列条条件件编编写写一一道道有有实实际际意意义义的的问问题题，看看看那一个小组编写有创意，有意义。并且合乎实际情况。看那一个小组编写有创意，有意义。并且合乎实际情况。条件：一个仰角条件：一个仰角45，一个俯角，一个俯角30。结论可以由自己确定。结论可以由自己确定。课后小结
7、：课后小结： 本本节节课课我我们们用用解解直直角角三三角角形形的的有有关关知知识识解解决决有有关关俯俯角角、仰仰角的实际问题。角的实际问题。(1)(1)你怎么理解俯角、仰角？你怎么理解俯角、仰角？(2)(2)在在分分析析处处理理这这类类实实际际问问题题时时，你你应应该该采采取取怎怎样样的的步步骤骤呢呢？(3)(3)除除了了以以上上知知识识你你还还有有哪哪些些收收获获？有有哪哪些些不不解解？谈谈谈谈你你的的看法。看法。解直角三角形应用解直角三角形应用 -坡度问题坡度问题 2009年年11月月9日日45453 30 0D DC CB BA A100 m100 m 课前课前练习练习1 1：A A 和
8、和 B B 两两名名测测量量员员站在同一站在同一个个水水平地面上平地面上观测悬观测悬崖崖顶。顶。由由 A A 测测得得悬悬崖崖顶顶的仰角的仰角是是 3 30 0 ，而由而由 B B 测测得得悬悬崖頂崖頂顶顶的仰角是的仰角是 4545 ，若若 A A、B B 及崖底及崖底 D D 成一成一直线直线及及 A A 和和 B B 相距相距 100m100m，求求悬悬崖的高度崖的高度。（精确到。（精确到0.10.1米）米）练习练习2: 从从20米高的甲楼顶米高的甲楼顶 A 处望乙楼处望乙楼顶顶C处的仰角为处的仰角为30，望乙楼底，望乙楼底D处的俯的俯角角为45，求乙楼的高度。（精确到，求乙楼的高度。（精
9、确到0.1 米）米）AC水平线水平线DB甲甲乙乙20m30 45建建筑筑物物塔塔A AB BC CD D20m20m3 30 04 45 5A AB BC CD D20 m20 m3 30 04 45 5练习练习3 3：由由一座建一座建筑筑物物的底部的底部A A测测得一座得一座塔的塔的顶顶部部D D的仰角的仰角是是3 30 0。 由由该该塔塔的底部的底部C C测测得得该该建建筑筑物的物的顶顶部部B B的仰的仰角是角是4 45 5。 如果如果塔塔CDCD的高度是的高度是20m20m，求求(1)(1)A A和和C C之之间间的距的距离离；(2)(2)该该建建筑筑物的高度物的高度。 新概念：坡度、坡
10、比新概念：坡度、坡比ABhL如图：坡面的垂直高度如图：坡面的垂直高度h和和水平宽度水平宽度L的比叫坡度的比叫坡度（或叫坡比）（或叫坡比）用字母表示为用字母表示为 ，坡面与水平面的夹角记作坡面与水平面的夹角记作（叫坡角）叫坡角） 则则tan = 练习：练习：（ 1 1） 一一 段段 坡坡 面面 的的 坡坡 角角 为为 6060， 则则 坡坡 度度i=_;i=_;（2 2）已知一段坡面上，铅直高度为）已知一段坡面上，铅直高度为 ， 坡面长为坡面长为 ， 则坡度则坡度i i_,_,坡角坡角_。你会算吗？你会算吗？1、坡角、坡角=45坡比坡比i= 3、坡比为、坡比为，坡角，坡角的余弦值为的余弦值为1
11、1302、坡比为、坡比为,坡角坡角=如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡斜坡ABAB的坡度为的坡度为1 1： ，坡面，坡面ABAB的水平的水平宽度为宽度为 米，基面米，基面ADAD宽宽2 2米，米，求路基高求路基高AEAE、坡角坡角B B和基底和基底BCBC的宽的宽. .C2例例1ABDEF例例2 2：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽梯形，坝顶宽6m6m，坝坝高高23m23m，斜坡斜坡ABAB的坡度的坡度i=13i
12、=13，斜坡斜坡CDCD的坡的坡度度I=12.5I=12.5，求斜求斜坡坝底宽坡坝底宽ADAD和斜坡和斜坡ABAB的长的长练习练习1 1：如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BCBC宽为宽为6m6m，坝高坝高23m23m，斜坡斜坡ABAB的坡度的坡度=1: =1: ，斜边斜边CDCD的坡度为的坡度为=1:1=1:1，求斜坡求斜坡ABAB的长，坡角的长，坡角和坝底和坝底ADAD宽。宽。ADBCEF练练习习2:2:修修建建一一条条铁铁路路要要经经过过一一座座高高山山，需需在在山山腰腰B B处处开开凿凿一一条条隧隧道道BCBC。经经测测量量，西西山山坡坡的的坡坡度度i i
13、5:35:3，由由山山顶顶A A观观测测到到点点C C的的俯俯角角为为6060，ACAC的的长长为为60m60m，如如图图所所示，试求隧道示，试求隧道BCBC的长的长. .A AB BC Ci = 5：3练习练习3:利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.60.6米的一块米的一块( (图图6-356-35阴影部分是挖去部分阴影部分是挖去部分) )，已知渠道，已知渠道内坡度为内坡度为11.511.5，渠道底面宽，渠道底面宽BCBC为为0.50.5米，求：米，求：横断面横断面( (等腰梯形等腰梯形)ABCD)ABCD的面积；的面积；修一条长为修一条长为100
14、100米的渠道要挖米的渠道要挖去的土方数去的土方数 v练习练习4.(2008 山东山东 聊城聊城)如图，在平地上种如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为离）为4m如果在坡度为如果在坡度为0.5的山坡上种的山坡上种植树，也要求株距为植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间，那么相邻两树间的坡面距离约为（的坡面距离约为（ ）vA4.5mB4.6m C6mD8mABC45练习练习5：在山脚：在山脚C处测得处测得山顶山顶A的仰角为的仰角为45. .问题如下：（问题如下：（1）沿着水平地面向前）沿着水平地面向前300m到到达达D点，在点，在D点测得山
15、顶点测得山顶A的仰角为的仰角为60 ，求，求山高山高AB. .（2）沿着坡角为）沿着坡角为30 的斜坡前进的斜坡前进300m到达到达D点，在点，在D点测得山顶点测得山顶A的仰角为的仰角为60 ，求山高，求山高AB. .D60x300m课堂小结课堂小结: : 1 1弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题数学问题 2 2认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，认真分析题意、
16、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题 3 3选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错且不易出错4 4按照题中的精确度进行计算，并按照题目按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位中要求的精确度确定答案以及注明单位解直角三角形应用解直角三角形应用 -航海问题航海问题2009年年11月月10日日方方向向角角北东西南A A5858 2828 B B北偏东北偏东5858南偏西南偏西2828例题：某船自西向东航行，在例题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在
17、北偏东出测得某岛在北偏东60的方向上，前进的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向上，问（的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？A北南西东北南西东某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的的方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？30458千米A
18、BCD某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的的方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？解： 练习练习1：如图所示，某船以每小时：如图所示，某船以每小时36海里的速度海里的速度向正东航行，在向正东航行，在A点测得某岛点测得某岛C在北偏东在北偏东60方向方向上，航行半小时后到上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东点，测得该岛在北偏东30方向上，已知该岛周围方向上，已知该
19、岛周围16海里内有暗礁海里内有暗礁（1）试说明）试说明B点是点是否在暗礁区域外否在暗礁区域外（2）若继续向东）若继续向东航行，有无触礁危航行，有无触礁危险？请说明理由险？请说明理由 北北东东ABCD解：（解：（1）AB=360.5=18，ADB=60，DBC=30，ACB=30又又CAB=30，BC=AB=1816，B点在暗礁区域外点在暗礁区域外（2）过）过C点作点作CH AF，垂足为，垂足为H，在，在RtCBH中，中，BCH=30，令令BH=x，则，则CH=x，在，在RtACH中，中，CAH=30，AH=CH，18x=-x，x=9，CH=916，船继续向东航行有触礁的危险船继续向东航行有触礁
20、的危险答：答：B点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危险险练习练习2：如图所示，气象台测得台风中心在某港口：如图所示，气象台测得台风中心在某港口A的正东方向的正东方向400公里处公里处,向西北方向向西北方向BD移动，距移动，距台风中心台风中心300公里的范围内将受其影响，问港口公里的范围内将受其影响，问港口A是否会受到这次台风的影响？是否会受到这次台风的影响？ABD东东北北45 C 练习练习3：正午：正午10点整，一渔轮在小岛点整，一渔轮在小岛O的北偏东的北偏东30方向，距离等于方向，距离等于10海里的海里的A处，正以每小时处，正以每小时10海里海里的
21、速度向南偏东的速度向南偏东60方向航行，那么渔轮到达小岛方向航行，那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间（精确到的正东方向是什么时间（精确到1分）？分）？OA3060 南南东东BC北北西西练习练习4、一渔船上的渔民在一渔船上的渔民在A处看见灯塔在处看见灯塔在北偏东北偏东60方向，这艘渔船以方向，这艘渔船以28海里海里/时的速时的速度向正东航行，半小时到度向正东航行，半小时到B处处.在在B处看见灯处看见灯塔塔M在北偏东在北偏东15方向，求此时灯塔方向，求此时灯塔M与渔与渔船的距离船的距离 ？练习练习5:如图，一船在海面如图，一船在海面C处望见一灯塔处望见一灯塔A，在它的在它的正北方向正北方向2海
22、里处，另一灯塔海里处，另一灯塔B在它的北偏西在它的北偏西60的方的方向，这船向正西方向航行，已知向，这船向正西方向航行，已知A、B两灯塔的距离两灯塔的距离为为 海里，问在这条船的航线上是否存在一点海里，问在这条船的航线上是否存在一点使两个灯塔使两个灯塔A、B同时分别在该点的东北、西北方向同时分别在该点的东北、西北方向上？上？2sqrt(6)练习练习6 已知，如图，已知，如图，C城市在城市在B城市的正北方向，两城市城市的正北方向，两城市相距相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段段BC），），经测量，森林保护区经测量，森林保护区A在在B城市
23、的北偏东城市的北偏东40的的方向上，又在方向上，又在C城市的南偏东城市的南偏东56方向上，已知森林保护方向上，已知森林保护区区A的范围是以的范围是以A为圆心，半径为为圆心，半径为50千米的圆，问：计划千米的圆，问：计划修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什么？修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什么？练习练习7 已知，如图，已知，如图，C城市在城市在B城市的正北方向，两城市城市的正北方向，两城市相距相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段段BC），），经测量，森林保护区经测量，森林保护区A在在B城市的北偏东城市的北偏东40的的方向上，
24、又在方向上，又在C城市的南偏东城市的南偏东56方向上，已知森林保护方向上，已知森林保护区区A的范围是以的范围是以A为圆心，半径为为圆心，半径为50千米的圆，问：计划千米的圆，问：计划修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什么？修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什么？1.解直角三角形解直角三角形, ,就是在直角三角形中就是在直角三角形中, ,知道除直角外的其他知道除直角外的其他 五个元素中的两个五个元素中的两个( (其中至少有一个是边其中至少有一个是边),),求出其它元素的求出其它元素的 过程过程. .2.与之相关的应用题有与之相关的应用题有: :求山高或建筑物的高求山高或建筑物的高; ;测
25、量河的宽度测量河的宽度 或物体的长度或物体的长度; ;航行航海问题等航行航海问题等. .解决这类问题的关键就是解决这类问题的关键就是 把实际问题转化为数学问题把实际问题转化为数学问题, ,结合示意图结合示意图, ,运用解直角三角运用解直角三角 形的知识形的知识. .3.当遇到当遇到30,45,6030,45,60等特殊角时等特殊角时, ,常常添加合适的辅助线分割常常添加合适的辅助线分割 出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题. .4.应用解直角三角形知识解应用题时应用解直角三角形知识解应用题时, ,可按以下思维过程进行可按以下思维过程进行: : 寻找直角三角形寻找直角三角形, ,若找不到若找不到, ,可构造可构造; ; 找到的直角三角形是否可解找到的直角三角形是否可解, ,若不可直接求解若不可直接求解, ,利用题中利用题中 的数量关系的数量关系, ,设设x x求解求解. .【课堂点睛课堂点睛】 :
