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1、龙山初中龙山初中 问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任
2、意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴观察并回答观察并回答 （1）两条直径）两条直径AB、CD，CD平分平分AB吗？吗？（2）若把直径）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，向下平移，变成非直径的弦，弦弦AB是否一定被直径是否一定被直径CD平分？平分？思考：当非直径的弦思考：当非直径的弦AB与直径与直径CD有什么位置关系时，弦有什么位置关系时，弦AB有可能被直径有可能被直径CD平分？平分？如图，如图，AB是
3、是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E沿着直径沿着直径CD折一折，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为折一折，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？什么？OABCDE活活 动动 三三 线段：线段： AE=BE AC=BC AD=BD.弧：弧：OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧转化为数学符号转化为数学符号： AE=BE,由由 CD是直径，是直径，AB是弦是弦CDAB可推得可推得 AC=BC, AD=BD.定理理解：定理理解：已知已知直径垂直弦直径垂直弦结论结论直径平分弦
4、、平分弦所对的弧直径平分弦、平分弦所对的弧OABCDE垂径垂径定理推论：定理推论：平分平分弦（不是直弦（不是直径）的径）的直直径垂直径垂直弦弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧 AE=BE,由由 CD是直径，是直径，AB是弦是弦CDAB可推得可推得 AC=BC, AD=BD.定理理解：定理理解：已知已知直直径平分弦径平分弦结论结论直直径垂直弦径垂直弦、平分弦所对的弧、平分弦所对的弧判断下列图形，能否使用判断下列图形，能否使用垂径定理垂径定理？定理辨析定理辨析例例1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的
5、半径例题与练习例题与练习解：解：答：答： O的半径为的半径为5cm.在RtAOE中在在 O中中变式：变式：图中两圆为同心圆图中两圆为同心圆变式变式3：隐去（变式：隐去（变式1）中的大圆，得）中的大圆，得右图连接右图连接OA，OB，设，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？变式变式4：隐去（变式：隐去（变式1）中的大）中的大圆，得右图，连接圆，得右图，连接OC，OD，设，设OC=OD，AC、BD有什么关系有什么关系？为什么？为什么？变式变式1 1：ACAC与与BDBD有什么关系？有什么关系？变式变式2 2：ACBD依然成立吗依然成立吗 问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道
6、赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中
7、，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，ODA
8、B于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.由垂径定理得由垂径定理得：拓展练习拓展练习1 1，如如图，O O的半径的半径为5 5，弦，弦ABAB的的长为8 8，点，点M M在在线段段ABAB（包括端点（包括端点A A、B B）上移）上移动，则OMOM的的取取值范范围是是_2，如图直径为，如图直径为52cm的圆柱体油槽的横截面，装的圆柱体油槽的横截面，装入油后，油深入油后，油深CD为为16cm，那么油面宽度，那么油面宽度AB_cm.483，如图，已知，如图，已知AB是是 O的直径，弦的直径，弦CD AB于点于点E，BE4cm，CD16cm，求，求 O的的半径半径.OC=104，已知：如图，已知：如图，PAC= ，在射线，在射线AC上顺次上顺次截取截取AD=3cm，DB=10cm，以，以DB为直径作为直径作 O交射线交射线AP于于E、F两点，求圆心两点，求圆心O到到AP的距离的距离及及EF的长。的长。O到到AP的距离为的距离为4cmEF=6cm说出你这节课的收获和体验，让大家说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！与你一起分享！
