《医用高等数学课件：随机变量及其概率分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《医用高等数学课件：随机变量及其概率分布（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、医用高等数学医用高等医用高等数学数学”医用高等数学第三节第三节 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布一、随机变量及其分布函数一、随机变量及其分布函数二、离散型随机变量及其分布列二、离散型随机变量及其分布列三、连续型随机变量及其概率密度函数三、连续型随机变量及其概率密度函数医用高等数学一、随机变量及其分布函数一、随机变量及其分布函数1. 1. 随机变量的概念随机变量的概念 把在随机试验中受到种种偶然因素的影响而随机地把在随机试验中受到种种偶然因素的影响而随机地取不同数值的变量称为取不同数值的变量称为随机变量随机变量 (random variable) (random variable)，常用
2、希腊字母常用希腊字母或拉丁字母或拉丁字母X X, , Y Y, , Z Z 等来表示等来表示. . 任何一个任何一个随机事件随机事件都可以用随机变量的不同取值来都可以用随机变量的不同取值来表示表示. .反之，任意一个随机变量反之，任意一个随机变量 ，它取特定值或处于，它取特定值或处于某特定范围里，都是随机事件，它们都有概率。某特定范围里，都是随机事件，它们都有概率。2. 2. 概率分布函数概率分布函数医用高等数学 定义定义6.66.6 设 为一随机变量，对任意的令 称 为随机变量 的分布函数分布函数 (distribution function). 分布函数 有如下性质： (1) 是单调不降的
3、非负函数 ; (2) ，且 (3) 是右连续的，即 医用高等数学依据分布函数，就能方便地求解随机变量 取不同值或不同范围值的概率. 例如 只取有限或可列无限个数值的随机变量称为离散型离散型随机变量随机变量；可取某一区间上的任意实数，称之为非离散型随机变量. 在非离散型随机变量中，主要讨论称为连续连续医用高等数学型的随机变量型的随机变量.二、离散型随机变量及其分布列二、离散型随机变量及其分布列1. 1. 离散型随机变量的分布列和分布函数离散型随机变量的分布列和分布函数 定义定义 6.7 若随机变量 所能取的值是 并以概率 取值为 , 即 则称 为离散型随机变量离散型随机变量 (discrete
4、random variable), 式 为 的概率分布 (probability distribution). 医用高等数学若 的概率分布用下表形式给出，则称此表为分布分布列列 (law of probability).分布列中 满足下面两个关系式： 对于离散型随机变量，其分布函数为 医用高等数学其中求和是对所有满足不等式 的指标 进行的. 分布函数 是一个阶梯函数. 例例6-29 有不严重的腹泻时可服用盐酸黄连素来止泻，首剂有效率为0.6; 若无效就再用一剂，有效率为0.8; 如果还无效，可再用第三剂，有效率为0.9. 如果还无效，医生会另择它药或采取其它措施. 记 = “服用该药的次数”，
5、 试写出 的分布列和分布函数. 解解 以 表示第 次给药收效， 已知 医用高等数学则 于是 的分布列为 1230.60.320.06逐段求 的分布函数： 当 时， 当 当 时， 时， 医用高等数学当 时， 于是分布函数如下 与独立重复试验相联系的离散型随机变量, 常见的有两点分布，二项分布, 几何分布以及泊松分布. 2. 两点分布两点分布 定义定义 6.8 如果随机变量 的分布列如下表，则称 服从以 p为参数的两点分布(two points distribution).医用高等数学101-pp 任何一个只有两种可能结果的随机现象都可以用服从两点分布的随机变量来描述. 例如产品的合格与不合格，治
6、疗疾病的有效与无效，化验结果是阳性与阴性，一次实验成功与否，婴儿的性别，对一个问题的回答是Yes与No，等等. 两点分布也可如下表示 3. 二项分布二项分布定义定义 6.9 如果随机变量 的概率分布为 医用高等数学则称 服从参数为 的二项分布二项分布(binomial distribution)， 记为 二项分布可以看成是 个独立的两点分布之和. 例例 6-30 注射一种免疫苗可能有0.1%的人会出现不适反应，有10个人接种. 试求： (1) 有1人，2个人出现不适反应的概率;(2) 求至少一人产生反应的概率. 解解 每个人是否会出现反应是相互独立的，因此观察10人的反应就是10重伯努利试验.
7、 医用高等数学记 表示接种的10人中产生反应的人数，则 服从二项分布B(10, 0.001). 所求概率分别为：由于 还不到0.01， 这样的结果在实际是不容易出现 的，因此，如果这10人中确实有人出现了反应，就有理由 怀疑该疫苗的不适反应率 远大于0.001. 4. 泊松分布泊松分布 定义定义 6.10 如果随机变量 的概率分布为 医用高等数学则称 服从参数 的泊松分布泊松分布( Poisson distribution)，记为 ，其中 当独立重复试验的次数 趋于无穷大时，二项分布就趋 于泊松分布 。定理定理6.6 设随机变量 服从二项分布，即 这里 与 有关. 若 ，则 医用高等数学 例例
8、6-31 根据以往的统计资料，某地新生儿染色体异常率为1%，问100名新生儿中有染色体异常的不少于2名概率是多少？解解 设 为“100名新生儿中染色体异常的人数”， 0.01，利用二项分布公式，有 医用高等数学由于 =100很大，而 =0.01很小，因此，可以利用泊松分布作为二项分布的近似. 其中 =1000.01=1，故有 这里用泊松分布近似地代替二项分布，误差不算很大. 例例 6-32 设一个人在一年里的感冒次数近似地服从参数为5的泊松分布. 一种抗感冒的新药(以大剂量的vitamin C为主要成分)新近上市. 据说, 持续服用, 75%的服用者, 每年的感冒次数降为参数为3的泊松分布.
9、另外的25%的服用者, 医用高等数学本药没有作用. 有一个人在一年里持续服用此药, 在这一年里他感冒了两次. 此药对此人有效的概率是多少? 解解 记 为一年里此人的感冒次数. E=“此药对此人有效”. 由已给条件知 和并且,于是 医用高等数学则所求概率为 泊松分布是一种重要的离散型分布，在生物学、医学、公共卫生事业等方面较为常见. 例如，容器内的细菌数，生多胞胎的例数，稀有疾病的发病人数，放射性分裂过程中落到某区域的质点数，单位时间来到医院看病的人数，护士值班台被呼叫次数，一定时间内实验材料的消耗数量, 大都服从泊松分布. 甚至在意想不到的场合也能见到泊医用高等数学松分布, 见例6-49. 至
10、于不放回抽样, 不是独立重复试验的场合, 其中的成功次数, 作为随机变量, 是服从超几何分布(hypergeometric distribution)的, 如例6.8所示. 三、连续型随机变量及其概率密度函数三、连续型随机变量及其概率密度函数1. 1. 连续型随机变量的密度函数和分布函数连续型随机变量的密度函数和分布函数 定义定义 6.11 设随机变量 的分布函数为 , 如果存在 非负函数 使对任意实数 , 都有 医用高等数学则称 为连续型随机变量连续型随机变量(continuous random variable) ， 为 的概率密度函数概率密度函数(probability density
11、function) 简称 概率密度或密度函数. 由定义，概率密度函数具有如下性质：一般地， 医用高等数学即对于连续型随机变量对于连续型随机变量 ，求，求 出现在某一区间里的概率出现在某一区间里的概率 时可不计较是否包含区间端点时可不计较是否包含区间端点. 例例 6-33 设连续型随机变量 概率密度函数为 求： (1) 系数A； (2) 的分布函数 解解 由连续型随机变量密度函数的性质有:(1) 1= , 因此， A=1/2. (2) 的分布函数按定义为 医用高等数学当 当 时， 时， 分布函数为 2均匀分布均匀分布定义定义 6.126.12 若随机变量 的概率密度函数为 医用高等数学则称 在
12、上服从均匀分布均匀分布(uniform distribution)，记为 若 在 上服从均匀分布，对于满足 的 任意区间 ，均有 例例 6-34 假定从早晨7:00起, 公交车每15分钟来一辆. 一个乘客在7:00至7:30的任何时刻都可能到达车站. 求他搭上车时: (1) 他等待不到5分钟; (2) 他等待超过10分钟的概率. 医用高等数学解解 （1）令 表示乘客在7:00以后抵达车站时的时刻，则 . 很明显, 当且仅当他在 7:10 至 7:15 或在 7:25 至 7:30来到车站, 他的等待时间不会超过5分钟, 因此, （2）他的到站时刻在7:00至7:05或在7:15至7:20, 则
13、待车时间不会少于10分钟 由此知道, 这位乘客等待了5到10分钟才搭上车的概率为1/3.医用高等数学 3. 指数分布指数分布 定义定义 6.13 如果随机变量 的概率密度函数为 则称 服从参数为 指数分布指数分布(exponent distribution). 指数分布的概率分布函数为 例例 6-35 某些生化制品中的有效成份如活性酶，其含 医用高等数学量会随时间而衰减. 当有效成份的含量降至实验室要求的有效剂量以下时，该制品便被视为失效. 制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为 . 多数情况下，可以认为 服从指数分布. 设它的概率 密度函数为 的单位为月) （1）
14、若从一批产品中抽出样品，测得有50%的样品有效期大于34个月,求参数 的值. （2）若一件产品出厂12个月后还有效，再过12个月医用高等数学后还有效，再过12个月后它还有效的概率有多大？ （3）若说明书上标定的有效期 内有70%的产品未失 效，此有效期 为多长时间？ 医用高等数学主主 要要 内内 容容1、概率的加法公式、概率的加法公式 2、条件概率、条件概率 3、概率的乘法公式、概率的乘法公式 4、事件的独立性、事件的独立性 P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)P(AB)若若A A1 1, , A A2 2, , , , 两两互不相容，则两两互不相容，则医用高等数学如果事件如果事件A A与与B B相互独立，则相互独立，则P P( (ABAB)=)=P P( (A A) )P P( (B B) )5 5、全概率公式、全概率公式6 6、贝叶斯（、贝叶斯（BayesBayes）公式）公式7 7、独立重复试验和伯努利概型、独立重复试验和伯努利概型作业：作业： 思考与练习思考与练习 1. 2. 3. 4.1. 2. 3. 4.
