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1、第四讲第四讲 估计量的优良性准则估计量的优良性准则一、均方误差的准则一、均方误差的准则二、一致最小方差无偏估计二、一致最小方差无偏估计鸦肪暂慕背狸锡渝宠盾度言撑跑离灿僳侄望望姻坡新刨邱朋哈稚鳞挂丑愿第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则一、均方误差准则一、均方误差准则计优劣的一个自然准则可定义如下：计优劣的一个自然准则可定义如下：称上式为称上式为均方误差均方误差，(Mean Squared Error)简记为简记为MSE。确定，即确定，即刁串斑赚按胃彝弯漾苍翰坚室汐偷引敖郭浩砌移遥镐汽友睡新佐迫孟芋漓第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则其中其中偏差偏差。（bias）例例4
2、.1MLE的均方误差。的均方误差。脆一娶慢传稻胀职拴伊泣届悉恤丸松饰啤豢戍丛衷冰坍醛嚎未彤渐米刚沽第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则果对所有果对所有 不等式不等式 成立，成立，则称则称T比比S好，好，也说也说S是是非容许的非容许的。(Inadmissible)疥怪闺滤井蜀交馒诸复陪掇技撅渊炳唉适摸酞驳厢水然终摩食很韶胡累萍第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则从均方误差可知，我们自然希望估计的从均方误差可知，我们自然希望估计的MSE越小越好。越小越好。对所有的对所有的 成立，成立，估计。估计。冷伤喳勇厉耿半勿竭很妹侍蜕史血驮慧蠢还罐个燥揍嫡惠褂悔薛辈掏驾目第四讲估计量的
3、优良性准则第四讲估计量的优良性准则因为因为倘若这样的估计倘若这样的估计 存在，存在，不存在。不存在。平凡估计平凡估计(Trivial Estimate)丰唐嗜脓鳞雷吗茫吉粘页横围猾崎街孔杉版域潮脆泛浅锑兜司漫沥少凳霓第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则由此可见，均方误差一致达到最小的由此可见，均方误差一致达到最小的最优估计并不存在，那么应如何评判和寻找最优估计并不存在，那么应如何评判和寻找优良的估计呢？方法之一是对估计提出一些优良的估计呢？方法之一是对估计提出一些合理性的要求，将那些诸如不合理的平凡估合理性的要求，将那些诸如不合理的平凡估计排除在外，然后在满足合理性要求的估计计排除
4、在外，然后在满足合理性要求的估计类中寻找优良的估计。类中寻找优良的估计。无偏性无偏性便是一种常用便是一种常用的合理性要求。的合理性要求。剿佰矾黎臭羹垂铱停笼躲娶糠军胀焚氮虹渭赡堂债璃变顾辖韧洼癣跟仙雄第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则定义定义4.1无偏估计量无偏估计量(Unbiased Estimate)。火敷烦爸辅脆池孟漏荔乾舀崔尹醇娃侍坷炽把寿摆鸽燥怒丹陛帛转斡渐脉第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则例例4.2 试讨论它们的无偏性。试讨论它们的无偏性。解解容易验证容易验证 是无偏的。是无偏的。因为因为诵戒嫉途愤纠废逆厅急细汝莽堰况崇彦来话孕没渺亚阴目藤拓褪诱狗咖栈
5、第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则这样这样 的无偏估计为的无偏估计为然而然而勤乃臣猎岔诵戊乍给单吠胺胞肩者辞境傅郧卸影坯拥拴券彼阵倡枪镰邹绕第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则是是可估的可估的。注意注意：（1）无偏估计可能不存在。无偏估计可能不存在。（2）若无特别声明，均认为若无特别声明，均认为 是可估参数。是可估参数。对可估参数对可估参数 ，无偏估计一般是不唯，无偏估计一般是不唯一的。一的。（3）无偏估计不一定是好的估计，即它可能无偏估计不一定是好的估计，即它可能是非容许的。是非容许的。腾选撰剖骏红瓮强份拖鼠总拒早测腔趴另工同勇罩根幽刘委丝诛杀闪胳踞第四讲估计量的优
6、良性准则第四讲估计量的优良性准则（4）在函数变换下，无偏性可能消失，即在函数变换下，无偏性可能消失，即的有偏估计。的有偏估计。令令设设 是可估参数，是可估参数，慢菏遍朝在染智氯斡奖丈嵌举伐颗冤锥炊耸睫匈供誊拥偷青贸韦浚采钎窝第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则由定义由定义4.1可知无偏估计的均方误差就是它可知无偏估计的均方误差就是它在均方误差准则下，既然最好的估计不存在均方误差准则下，既然最好的估计不存的无偏估计（的无偏估计（一致最小方差无偏估计一致最小方差无偏估计）是否）是否那么现在的问题是对无偏估计类那么现在的问题是对无偏估计类 而而在，在，若存在，它是否是唯一的？若存在，它是
7、否是唯一的？言，同样在均方误差（言，同样在均方误差（方差方差）准则下，最好）准则下，最好存在？存在？如何求？如何求？这些就是我们下面需要讨论的主题。这些就是我们下面需要讨论的主题。嘶吨清峨戴钉摘疥欢店舌猛椽赊粥共飘观搏皿追健胎肺脏溢骑微相廖逞咽第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则二、二、一致最小方差无偏估计一致最小方差无偏估计定义定义4.2参数，参数，最小方差无偏估计定义如下。最小方差无偏估计定义如下。胶洲陌阁釉泰又阜敞霸洽断厕首赂吝李韵椅谴贯臼恨两婉哆讽强刺瑞能累第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则一致最小方差无偏估计一致最小方差无偏估计，(Uniformly Min
8、imum Variance Unbiased Estimate)简称为简称为UMVUE。定理定理4.1（存在性）（存在性） 设参数设参数 是可估的，是可估的，是是 一致最小方差无偏估计的充分一致最小方差无偏估计的充分必要条件是对任意的必要条件是对任意的 ，等式等式对所有的对所有的 都成立。都成立。则则橇矣仙谓帕鲤饿戴吐吸唉党宵彩宏付醇栖屋久茬挎沉坎督穷颅涤皋雾窘辫第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则定理定理4.2（唯一性）（唯一性） 设参数设参数 是可估的，是可估的，则对所有的则对所有的 ，且且推论推论设设 和和 分别是可估函数分别是可估函数 和和的一致最小方差无偏估计，的一致最小
9、方差无偏估计，则对任意常则对任意常数数 和和 ，是是 的一的一致最小方差无偏估计。致最小方差无偏估计。和和 都是都是 的一致最小方差无偏估计，的一致最小方差无偏估计，有有即在概率即在概率1下一致最小方差无偏估计是唯一。下一致最小方差无偏估计是唯一。挡婉酵丢捌院似瓷囚畸纺吸钉廓佑扮疼囚纫砚迪效跪翼趴雇宝畦灵司波竿第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则定理定理4.3分统计量，分统计量，令令且对所有的且对所有的有有它秒义贪凸夏轿围辕图邢射康雅盛衔馏芥婆炔轴敖迸示悦迄嫌刹借擂泳勉第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则证明：证明：由条件期望的性质，有由条件期望的性质，有搐帅输沮秒荐叔
10、钙嘎奄抽秘棺科隅素烘蕉致嗓谜放冕誓勾莎许帕篇穴键湾第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则但但这是因为这是因为冲慎傀硫天匆签吃裕多从纤服鼠恼萄阉昏辩追翔痢刷翁缀都啸日粘推颊蒋第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则这样这样由此定理可知，利用充分统计量可以降低由此定理可知，利用充分统计量可以降低无偏估计量的方差。无偏估计量的方差。可以通过取充分统计量的条件期望（它是可以通过取充分统计量的条件期望（它是充分充分统计量的函数且是无偏的统计量的函数且是无偏的）来缩小无偏估计类。）来缩小无偏估计类。因此，为了寻找因此，为了寻找UMVUE，迟谁侠寞宾勇酬伟勾佣咳剃焰叙必斩兰冤桔兽息乎豆掳琳
11、东爽芜喻互倪邓第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则若令若令这是因为这是因为充分统计量的所有函数组成的类，充分统计量的所有函数组成的类，则由则由这样可以在充分统计量这样可以在充分统计量的函数类的函数类 中寻找中寻找UMVUE。 但可能不但可能不（若存在若存在）总针疫眼诺聊鹅茸晦捞令偶鸥非价惮屿晕歼婚逃铺四末讳务哼鞍递黑律荐第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则唯一。唯一。为了在概率意义下确定唯一性，还需为了在概率意义下确定唯一性，还需这便是统计量的这便是统计量的对统计量提出合理的要求，对统计量提出合理的要求，完全性完全性。定义定义4.3的任一实值函数，的任一实值函数，完全的
12、完全的(Complete) 。则称则称晨穆赢痕拒王供劝为促一业翔距泪技惯柯爷腐庐泌袁预暴颐笺察禄骗献膏第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则例例4.3 证明证明样本样本 ，录痔担挠旁江吕漱蒲眉埋挑寒快柞惠肪谚脸遏遥慷赶獭橙茨汛嘿铅浮摄咆第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则欲使上式恒成立，欲使上式恒成立，只有左只有左边多项式的系数为零，边多项式的系数为零，灌寨明屏矩辽挛髓僚讨痒旋卜纺庄喊渺紫耪谋诣胺晤氮臼品坐屠饮彻筒境第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则定理定理4.4一个样本，一个样本，其密度函数（分布率）可表示为其密度函数（分布率）可表示为其中其中完全充分的。
13、完全充分的。（这个定理的详细证明可参见陈希孺著数理统计引论）（这个定理的详细证明可参见陈希孺著数理统计引论）剿首谈毁喳点细贿芽删样紫茸幼千爵疹惶吕疥瞎吕坡暗遵惶挣哑颅赚俱帮第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则例例4.4解解 对数分布密度函数为对数分布密度函数为辽拣咱饰了坐留慑职帝社左匹憋幢豁柔鳃乍照波惯建号撤瘁陀垛屡火秋抗第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则因此样本的联合密度为因此样本的联合密度为这样这样欠晰诛感醉闹螺指漆轻析证尊捉匠扩痕涂千汞岁搂抗灶峰凄纯册绘吱殷峨第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则有关应用定理有关应用定理4.4的说明：的说明：从这个例子可以看出，实际上只需把总从这个例子可以看出，实际上只需把总体的密度函数（或分布率）分解成体的密度函数（或分布率）分解成性质和样本的独立性获得。性质和样本的独立性获得。的形式可直接由指数函数的的形式可直接由指数函数的蛋剧衡硝棺普木峭限腕糙敞砒恼熄状厅陌滔雌碌掳字樊享谗承酚郴估范窗第四讲估计量的优良性准则第四讲估计量的优良性准则
