《D63二阶常系数非齐次线性微分方程实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D63二阶常系数非齐次线性微分方程实用教案（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1. 求方程求方程(fngchng)的通解(tngji).方程(fngchng)的通解为课堂练习2. 求方程的通解.方程的通解为第1页/共23页第一页，共24页。四、二阶线性微分方程四、二阶线性微分方程(wifnfnchn)举例举例当重力(zhngl)与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例4. 质量为m的物体自由(zyu)悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,
2、 方向相反. 建立位移满足的微分方程.第2页/共23页第二页，共24页。据牛顿(ni dn)第二定律得则得有阻尼(zn)自由振动方程:阻力(zl)位移满足定解问题:第3页/共23页第三页，共24页。方程(fngchng):特征方程:特征(tzhng)根:利用(lyng)初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况(n=0)第4页/共23页第四页，共24页。解的特征解的特征(tzhng):简谐振动(zhndng) A: 振幅(zhnf), : 初相,周期: 固有频率 (仅由系统特性确定)第5页/共23页第五页，共24页。方程(fngchng):特征方程:特征(tzh
3、ng)根:小阻尼(zn): n k临界阻尼: n = k 解的特征解的特征解的特征第6页/共23页第六页，共24页。二阶常系数(xsh)非齐次线性微分方程 第六节第六节一、一、二、 第六章 （略）第10页/共23页第十页，共24页。一、线性非齐次方程解的结构一、线性非齐次方程解的结构(jigu)是二阶非齐次方程(fngchng)的一个(y )特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 1.则是非齐次方程的通解 .证证: 将代入方程左端, 得第11页/共23页第十一页，共24页。是非(shfi)齐次方程的解,又Y 中含有(hn yu)两个独立任意(rny)常数,例如例如, 方程有特解对应
4、齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .第12页/共23页第十二页，共24页。二阶常系数(xsh)线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理(dngl) , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法(fngf)根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法第13页/共23页第十三页，共24页。一、一、 为实数(shsh) ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程(fngchng) , 得 为 m 次多项式 .(1) 若 不是(b shi)特征方程的根, 则取从而得到特解形式为Q (x) 为 m 次待定系数多项式第
5、14页/共23页第十四页，共24页。(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式(xngsh)为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式(xngsh)为小结小结(xioji)对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解第15页/共23页第十五页，共24页。例例1.的一个(y )特解.解解: 本题本题(bnt)而特征方程为不是(b shi)特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为第16页/共23页第十六页，共24页。例例2.的通解(tngji). 解解: 本题本题(bnt)特征方程
6、为其根为对应齐次方程(fngchng)的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为第17页/共23页第十七页，共24页。 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为（略）3. 上述结论也可推广到高阶方程(fngchng)的情形.常系数常系数(xsh)二阶线性非齐次微分方程的特二阶线性非齐次微分方程的特解解:第18页/共23页第十八页，共24页。1. 求方程求方程(fngchng) y a2 y ex的通解(tngji). （P365, 1(2)） 课堂练习3. 写出方程写出方程(fngchng)的特解形式. 2. 求特解： y4y5 y|x0 1 y|x0
7、 0 . ( P366, 3(2) )( P365, 2(1) )第19页/共23页第十九页，共24页。第20页/共23页第二十页，共24页。第21页/共23页第二十一页，共24页。作作业业P358：1(2)(4); 2(2).P365: 1(5)(6); 2(2).习题课2 第九节 第22页/共23页第二十二页，共24页。感谢您的欣赏(xnshng)！第23页/共23页第二十三页，共24页。内容(nirng)总结1. 求方程。1. 求方程。第2页/共23页。随时间 t 的增大物体。1) 无振荡现象。即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.。最多只与 t 轴交于一点。2) 无振荡现象。Y (x) 是相应齐次方程的通解,。根据解的结构定理 , 其通解为。 为实数 ,。是 m 次多项式,。3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形(qng xing).。3. 写出方程。P358：1(2)(4)。2(2).。第22页/共23页。感谢您的欣赏。第23页/共23页第二十四页，共24页。
