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1、(最新整理)培优专题全等三角形2021/7/261 培优专题培优专题 全等三角形全等三角形2021/7/2621 1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？可以得到它的全等形？2 2：全等三角形有哪些性质？：全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。（1 1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2 2）全等三角形的周长相等、面积相等。
2、）全等三角形的周长相等、面积相等。（3 3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线高线分别相等。分别相等。2021/7/263二、知识回顾二、知识回顾：1、（SSS定理）如图：ABC与DEF中 语言概述：语言概述：EFEFBCBCDFDFACACDEDEABABSSSSSSABCDEF（ ）三边对应相等，两三角形全等。三边对应相等，两三角形全等。2021/7/2642、（SAS定理）如图：ABC与DEF中 语言概述：语言概述：B BEFEFBCBCDEDEABABSASSASABCDEF（ ）两边及夹角对应相等，两三角形全等。两边及夹角对应
3、相等，两三角形全等。E E知识回顾知识回顾：2021/7/2653、（ASA定理）如图：ABC与DEF中 语言概述：语言概述：ABAB E E B B D D A AASAASAABCDEF（ ）两角及夹边对应相等，两三角形全等。两角及夹边对应相等，两三角形全等。DEDE知识回顾知识回顾：2021/7/2664、（AAS定理）如图：ABC与DEF中 语言概述：语言概述： B BEFEFBCBC D D A AAASAASABCDEF（ ）两角及其中一角的对边对应相等，两三角形两角及其中一角的对边对应相等，两三角形全等。全等。 E E知识回顾知识回顾：2021/7/267知识回顾知识回顾：5、（
4、HL定理）如图：RtABC与RtDEF中 , A= D=90 语言概述：语言概述：ABABEFEFBCBCHLHL Rt ABC Rt DEF（ ）斜边及一条直角边对应相等的两个直斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。角三角形全等。DEDE2021/7/268一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：1.1.定义（重合）法；定义（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HLHL. .包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解解题题中中常常用
5、用的的4 4种种方方法法知识回顾知识回顾：2021/7/269边边边：边边边：三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等（“SSSSSS”) )边角边边角边: :两边和它们的夹角对应相等两个三角形全两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（等（“SASSAS”) )角边角角边角: :两角和它们的夹边对应相等的两个三角形两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（全等（“ASAASA”) )角角边角角边: :两角和其中一角的对边对应相等的两个三两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（角形全等（“AASAAS”) )斜边斜边. .直角边：直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个斜边和
6、一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（直角三角形全等（“HLHL”) )总结：总结：2021/7/2610证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（1 1）已知两边）已知两边- 找第三边找第三边 ( (SSSSSS)找夹角找夹角（SAS)(2)(2)已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角找是否有直角找是否有直角 (HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角 ( (AASAAS) )找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角
7、，找一边(HL)(3)(3)已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)三、方法指引三、方法指引：2021/7/2611四、全等三角形的性质ABCDEFAB= ，AC= ,BC= ，A= ，B= ，C= ；全等三角形的对应边 全等三角形的对应角 全等三角形的周长 、面积 。对应边上的对应 、 、 分别相等。2021/7/2612五.全等三角形的性质与判定定理的运用举例1、如图1，已知ABEDCE，AE=2cm，BE=1.5cm，A=25B=48 那么DE= cm，EC= cm， C= 度；D= 度； （第1小题）2021/7/26132、如图如
8、图2 2，已知，已知，ABCABCDEFDEF，ABABDEDE，要说明，要说明ABCDEFABCDEF，（1 1）若以）若以“SAS”“SAS”为依据，还须添为依据，还须添加的一个条件为加的一个条件为 （ ） ；（2 2）若以）若以“ASA”“ASA”为依据，还须添为依据，还须添加的一个条件为加的一个条件为 （ ） ；（3 3）若以）若以“AAS”“AAS”为依据，还须添为依据，还须添加的一个条件为加的一个条件为 （ ） ；（第2小题） 2021/7/26143、如图4，已知CABDBA，要使ABCBAD，只需增加的一个条件是 （ ）（只需填写一个你认为适合的条件） 如图4 2021/7/2
9、6154、分别根据下列已知条件，再补充一个条件使得下图中的ABD和ACE全等；（1）AB=AC,AB=AC,AAA,A, ；（2 2）AB=AC,AB=AC,BBC C ；（3）AD=AE, ，DB=CE.如图如图5 5 2021/7/26165 5、如图，、如图，ACACBDBD，BCBCADAD，说明，说明ABCABC和和BADBAD全等的理由全等的理由证明：在证明：在ABCABC与与BADBAD中，中， ABCBADABCBAD（ ） 如图6 2021/7/26176、如图、如图, CE=DE，EA=EB，CA=DB，求证：求证：ABC BAD.证明证明CE=DE， EA=EB = 在在
10、ABC和和BAD.中，中，ABCABCBADBAD. .（ ）2021/7/26181.1.已知，已知，ABCABC和和ECDECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B B，C C，D D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=ADBE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C旋转一定角度旋转一定角度（大于零度而小于六十度），（大于零度而小于六十度），以上的结论成立吗？以上的结论成立吗？证明证明： ABC和和ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA= DCE=60 BCA+ ACE= DCE+ ACE即即 BCE= DCA在
11、在ACD和和BCE中中 AC=BC BCE= DCA DC=EC ACDBCE (SAS) BE=AD六、中考连接六、中考连接2021/7/26192.2.如图，已知如图，已知E E在在ABAB上，上，1=21=2， 3=4 3=4，那么那么ACAC等于等于ADAD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1= 2 3= 4 EB=EB EBCEBD (AAS) BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1= 2 BC=BD ABCABD (SAS) AC=AD2021/7/26203.3.如图，已知，如图，已知，ABDEABDE
12、，AB=DEAB=DE，AF=DCAF=DC。请问图中。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：答：ABCDEF证明： AB DE A= D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A= D AB=DE ABCDEF （SAS）2021/7/26214.4.如图，已知，如图，已知，EGAFEGAF，请你从下面三个条件中，再，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）正确的命题。（只写出
13、一种情况）AB=AC DE=DF AB=AC DE=DF BE=CFBE=CF已知：已知： EGAF EGAF 求证：求证：GFEDCBA2021/7/2622七、拓展训练1.1.如图如图, ,已知已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证求证:BCEF:BCEFBCAFED2021/7/26232.2.如图如图, ,已知已知ACACBDBD，EAEA、EBEB分别平分分别平分CABCAB和和DBADBA，CDCD过点过点E E，则，则ABAB与与AC+BDAC+BD相等吗？请说明理由。相等吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和
14、与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。（割）（割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）2021/7/26243.3.如图：在四边形如图：在四边形ABCDABCD中，点中，点E E在边在边CDCD上，连接上，连接AEAE、BEBE并延长并延长AEAE交交BCBC的延长线于点的
15、延长线于点F F，给出下，给出下列列5 5个关系式：个关系式：ADBCADBC，DE=EC1=2DE=EC1=2，3=43=4，AD+BC=ABAD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果的命题：（书写形式：如果那么那么）（1 1） ；（2 2） ；2021/7/26254.4.如图，在如图，在RABCRABC中，中，ACB=450ACB=450，BAC=900BAC=900，AB=ACAB=AC，点，点D D是是ABAB的中点，的中点，
16、AFCDAFCD于于H H交交BCBC于于F F，BEACBEAC交交AFAF的延长线于的延长线于E E，求证：，求证：BCBC垂直且平分垂直且平分DE.DE.2021/7/26265.5.已知：如图：在已知：如图：在ABCABC中，中，BEBE、CFCF分别是分别是ACAC、ABAB两边上的高，在两边上的高，在BEBE上截取上截取BD=ACBD=AC，在，在CFCF的延长线的延长线上截取上截取CG=ABCG=AB，连结，连结ADAD、AGAG。求证：求证： ADG ADG 为等腰直角三角形。为等腰直角三角形。2021/7/26276.已知：如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F
17、，DB=DC，求证：EB=FC2021/7/2628八、总结提高八、总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)1)要正确区分要正确区分“对应边对应边”与与“对边对边”，“对应对应角角”与与 “对角对角”的不同含义；的不同含义；（2 2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；母要写在对应的位置上；（3 3）要记住）要记住“有三个角对应相等有三个角对应相等”或或“有两边有两边及其中一边的对角对应相等及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一的两个三角形不一定全等；定全等；（4 4）时刻注意图形中的隐含条件，如）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角公共角” 、“公共边公共边”、“对顶角对顶角”2021/7/2629谢谢！谢谢！2021/7/26302021/7/2631
