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1、一一. 机械振动：机械振动：物体在一定位置（平衡位置）物体在一定位置（平衡位置）附近作重复往返运动称为机械振动。附近作重复往返运动称为机械振动。第二节第二节 简谐振动简谐振动第一节第一节 振动的一般概念振动的一般概念振动振动2021/6/161二二.描述简谐振动的三个重要物理量描述简谐振动的三个重要物理量2. 振动的周期振动的周期频率频率圆频率圆频率2021/6/1623. 位相和初位相位相和初位相2021/6/163速度的位相比位移超前速度的位相比位移超前2021/6/164简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征加速度的位相比位移超前或落后加速度的位相比位移超前或落后 ( (或与或与位移反
2、相位移反相) )0x, v, a t2021/6/165四、简谐振动的矢量图表示法（四、简谐振动的矢量图表示法（旋转矢量法旋转矢量法）&1、2象限象限 v0 。 2021/6/166振动振动2比振动比振动1超前超前2021/6/1672021/6/1682021/6/169例例4.一一质质点点在在x轴轴上上作作简简谐谐振振动动，振振辐辐A=4 cm，周周期期T= 2 s，其其平平衡衡位位置置取取作作坐坐标标原原点点若若t = 0时时刻刻质质点点第第一一次次通通过过x = -2 cm处处，且且向向x轴轴负负方方向向运运动动，则则质质点点第第二二次次通通过过x = -2 cm处的时刻为处的时刻为
3、(A) 1 s (B) (2/3) s (C) (4/3) s (D) 2 s 2021/6/1610仍做仍做简谐振动简谐振动;圆频率仍为圆频率仍为2021/6/1611结论结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率角频率, ,振动的周期分别为：振动的周期分别为：当当 时时1.1.单摆单摆二、微振动的简谐近似二、微振动的简谐近似摆球对摆球对C C点的力矩点的力矩2021/6/1612复摆复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。当当 时时2021/6/1
4、613三三. 已知简谐振动的初始条件已知简谐振动的初始条件(x0 、v0)，求求A和和 （最好最好求出求出A A后，再作旋转矢量图，由后，再作旋转矢量图，由x x0 0 、v v0 0画出旋转矢量的位置而求出初位相）画出旋转矢量的位置而求出初位相）动能动能:2021/6/1614势能势能: :简谐振动能量简谐振动能量:EpotEEkE=(1/2)kAE=(1/2)kA2 2xto2021/6/1615讨论讨论 1 1：由初始条件确定常数：由初始条件确定常数A A2 2、 若弹簧振子竖直悬挂或在光滑斜面上振若弹簧振子竖直悬挂或在光滑斜面上振动，其动，其振动频率仍保持不变；只要选择合适振动频率仍保
5、持不变；只要选择合适的重力势能零点，其各能量表达式也保持不的重力势能零点，其各能量表达式也保持不变，此时势能应理解为重力势能与弹性势能变，此时势能应理解为重力势能与弹性势能的和。的和。第五节第五节 同方向的简谐振动的合成同方向的简谐振动的合成一、一、 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成2021/6/1616结论结论: :同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是同频率的简谐振动。同频率的简谐振动。X 旋转矢量法旋转矢量法方法方法2021/6/1617重要结论：重要结论：振动减弱振动减弱X振动加强振动加强X 若若两两旋转矢量重合旋转矢量重合
6、,则则: = 1= 2 若若两两旋转矢量反向旋转矢量反向,则则 与与振幅大的分振动的初相相同振幅大的分振动的初相相同2021/6/1618 二、二、 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成利用三角函数关系式：利用三角函数关系式：合成振动表达式合成振动表达式：xx xt tx x2 2t tx x1 1t t 两个同方向简谐两个同方向简谐振动在合成时，由于振动在合成时，由于频率的微小差别而造频率的微小差别而造成的合振动时而加强，成的合振动时而加强，时而减弱的现象叫时而减弱的现象叫拍。拍。2021/6/1619X 单位时间内振动加强或减弱的次数叫单位时间内振动加强或减弱的
7、次数叫拍频拍频拍拍现象应用现象应用: :给钢琴调音给钢琴调音; ;结合多普勒效应结合多普勒效应测车速测车速2021/6/1620例例1：两个谐振动分别为：两个谐振动分别为 ， 、当、当 时，合时，合振幅最大；当振幅最大；当 时，合振幅最小，且时，合振幅最小，且写出它们的合振动方程。写出它们的合振动方程。思考题思考题1 1: : 一质点作简谐振动一质点作简谐振动, ,其运动速度其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，求其初位相。律用余弦函数描述，求其初位相。o oV(m/s)V(m/s)t(s)vm2021/6/1621x(cm)x(c
8、m)思考题思考题2 2: : 图中（图中（1 1）和（）和（2 2）表示两个同方）表示两个同方向，同频率的简谐振动的振动曲线。则向，同频率的简谐振动的振动曲线。则（1 1）和（）和（2 2）合成振动的振幅为）合成振动的振幅为，初位，初位相为相为 ，周期为，周期为；试在图中画出合；试在图中画出合成振动的振动曲线。成振动的振动曲线。t(s)-0.5-0.5-1-12 21 10 0(1)(1)(2)(2)5 52021/6/1622 波波 动动 学学 基基 础础2 2、机械波产生的条件：弹性介质和波源。机械波产生的条件：弹性介质和波源。第一节第一节 机械波的形成和传播机械波的形成和传播一、机械波的
9、产生一、机械波的产生1 1、机械波：振动状态在弹性面媒质中的、机械波：振动状态在弹性面媒质中的传播过程。传播过程。&波动（或行波波动（或行波) )是振动状态的传播，是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。是能量的传播，而不是质点的传播。&后面质点的振动规律与前面质点的振后面质点的振动规律与前面质点的振动规律相同，只是位相上有一个落后。动规律相同，只是位相上有一个落后。2021/6/1623二、二、纵波和横波：纵波和横波：横波：横波：振动方向与传播方向垂直振动方向与传播方向垂直, ,如电磁波如电磁波纵波纵波: :振动方向与传播方向相同，如声波振动方向与传播方向相同，如声波三、三、波线、
10、波面、波前波线、波面、波前波（射）线：波（射）线：表示波的传播方向的射线称表示波的传播方向的射线称之为波（射）线之为波（射）线。波面（或相面）波面（或相面）: :某时刻介质内振动相位某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。相同的点组成的面称为波面。波前波前( (波振面）：波振面）：某时刻处在最前面的波面。某时刻处在最前面的波面。2021/6/1624波面波面波线波线在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直&球面波球面波波振面波振面&平面波平面波四.四.描述波动的几个物理量描述波动的几个物理量五.五.( (波长、波的传播速度、波的周期和频波长、波的传播速度、
11、波的周期和频率率) )波线波线波面波面波振面波振面2021/6/162512345601 1、波长、波长 ：同一波线上振动状态完全相同的两个同一波线上振动状态完全相同的两个相邻点之间的距离（对应的位相差为相邻点之间的距离（对应的位相差为 ）2 2、波的周期、波的周期T T：波前进一个波长的距离所需要的波前进一个波长的距离所需要的时间（等于振动的周期，由波源决定）时间（等于振动的周期，由波源决定）3 3、波速、波速 ：在波动过程中，某一振动状在波动过程中，某一振动状态在单位时间内传播的距离称为波速态在单位时间内传播的距离称为波速 ，也，也称之相速。称之相速。2021/6/1626&机械波的传播速
12、度完全取决于介质机械波的传播速度完全取决于介质。（决（决于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和介质的密度。）性模量和介质的密度。）第二节第二节 平平 面面 简简 谐谐 波波 的的 波波 动动 方方 程程一、平面简谐波的波动方程的推导一、平面简谐波的波动方程的推导1、右行波右行波的波动方程的波动方程（1）已知）已知O点振动表达式：点振动表达式：（O点不一定是波源）点不一定是波源）2021/6/1627&将将 t t 理解为已知点振动了的时间，求理解为已知点振动了的时间，求出任一点实际振动的时间，以此代替已知出任一点实际振动的时间，以此代替已知点振动方
13、程中的点振动方程中的 t t，就可得到任一点的振就可得到任一点的振动方程，即为波动方程。动方程，即为波动方程。&照抄已知点的振动方程，再将任一点照抄已知点的振动方程，再将任一点振动超前于或落后于已知点振动的位相振动超前于或落后于已知点振动的位相补上，就得任一点的振动方程，即为波补上，就得任一点的振动方程，即为波动方程。（超前就动方程。（超前就“ ” ，落后就，落后就 “ ” 。）。）或或2021/6/1628（2）如图，已知）如图，已知 P 点的振动方程：点的振动方程：2021/6/1629如图，已知如图，已知 P P 点的振动方程：点的振动方程：2、左行波、左行波的波动方程：的波动方程：20
14、21/6/1630平面简谐波波动方程的一般形式平面简谐波波动方程的一般形式或或x前为前为“+”号，表明波向号，表明波向x轴轴负负向传，向传， x前为前为“-”号，表明波向号，表明波向x轴轴正正向传。向传。2021/6/1631思考题思考题: 一平面简谐波在媒质中以速度一平面简谐波在媒质中以速度u=20m/s自左向右传播。已知波线上某自左向右传播。已知波线上某点点A的振动表式的振动表式 ，D点在点在A点右方点右方9米处。米处。 若取若取x轴方向向左，并以轴方向向左，并以A为坐标原点，为坐标原点，试写出波动方程并写出试写出波动方程并写出D 点的振动方程。点的振动方程。结论：结论：对于给定的波动，其
15、对于给定的波动，其波动方程波动方程与坐与坐标原点及坐标轴方向的选取标原点及坐标轴方向的选取有关有关；但对于给；但对于给定点的定点的振动方程振动方程，却与坐标原点及坐标轴方，却与坐标原点及坐标轴方向的选取向的选取无关无关思考：思考：若以若以D为坐标原点，再写以上方程。为坐标原点，再写以上方程。2021/6/16321、t 一定时的波形图一定时的波形图 t时刻时刻 t+ 时刻时刻二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义讨论各质点在给定时刻的振动方向讨论各质点在给定时刻的振动方向波线上两质点之间的位相差波线上两质点之间的位相差x1x22021/6/16332、x一定时的振动曲线一定时的振动曲线t
16、讨论质点在某一时刻的振动方向讨论质点在某一时刻的振动方向3 3、质点的振动速度、质点的振动速度三三.平面波波动方程的微分形式平面波波动方程的微分形式2021/6/1634例例1：沿：沿X轴正方向传播的平面简谐波、在轴正方向传播的平面简谐波、在 t=0 时时刻的波形如图，问：（刻的波形如图，问：（1）原点）原点O的初相及的初相及P点的点的初相各为多大？（初相各为多大？（2）已知）已知A及及 ，写出波动方程。，写出波动方程。0p解题思路：解题思路： 2、若上图为、若上图为t=2s时刻的波形图，重新讨论上面各问题。时刻的波形图，重新讨论上面各问题。思考思考:1、从矢量图上直接求、从矢量图上直接求O、
17、P两点之间的位相差。两点之间的位相差。2021/6/1635例例2：一平面简谐波某时刻的波形图如下，：一平面简谐波某时刻的波形图如下，则则OP之间的距离为多少厘米。之间的距离为多少厘米。0p220cm解题思路：解题思路：2021/6/1636解题思路解题思路:思考题思考题 一圆频率为一圆频率为 的简谐振动沿的简谐振动沿x x轴的正方向轴的正方向传播传播,t=0,t=0时刻的波形如图所示时刻的波形如图所示, ,则画出则画出t=0t=0时刻时刻, x, x轴上各点的振动速度轴上各点的振动速度v v和和x x坐标的关系图坐标的关系图. .01 12 2t=0t=0A A 结论结论: :在在t t时刻
18、时刻, ,V V与与X X关系曲线与关系曲线与t+T/4t+T/4时时刻的波形图相似刻的波形图相似 ( (思考思考) )2021/6/1637设有一行波：设有一行波： 质元的速度质元的速度: : 质量为质量为 的媒质元其动能为：的媒质元其动能为：第三节第三节 波波 的的 能能 量量一、一、媒质中单位体积中的能量（波的能量密度）媒质中单位体积中的能量（波的能量密度）动能密度动能密度: : 1. 1. 动能密度动能密度 2. 2. 势能密度势能密度 2021/6/1638杨氏弹性模量杨氏弹性模量E E S为棒之横截面积为棒之横截面积 张应力张应力 张应变张应变倔强系数倔强系数弹性势能：弹性势能：O
19、xdxSXXyy+dyO弹性势能密度：弹性势能密度：2021/6/1639 弹性势能密度是与媒质元的相对形变弹性势能密度是与媒质元的相对形变量的平方成正比，也就是与波形图上的斜量的平方成正比，也就是与波形图上的斜率平方成正比。率平方成正比。其势能密度为：其势能密度为： 任意时刻，体元中动能与势能相等，即任意时刻，体元中动能与势能相等，即动能与势能同时达到最大或最小。动能与势能同时达到最大或最小。其能量密度为：其能量密度为：平均能量密度为：平均能量密度为：2021/6/1640能量极能量极大大能量极大能量极大 能量极小能量极小 能量极小能量极小二、波的二、波的能流和能流密度能流和能流密度能流能流
20、 电流电流 能量能量 电量电量 能流密度能流密度 电流电流 密度密度 能流能流 单位时间内通过某一截面的单位时间内通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流。能量称为波通过该截面的能流。2021/6/1641#S S也可以不和波速垂直，此时式中的也可以不和波速垂直，此时式中的S S应改应改 为为S S垂直垂直。#上式也适用于球面波上式也适用于球面波#平均能流平均能流2、能流密度或波的强度、能流密度或波的强度 I 通过垂直于波速通过垂直于波速方向的单位面积的平均能流方向的单位面积的平均能流波强与振幅的平方成正比波强与振幅的平方成正比2021/6/1642解题思路：解题思路：例：如图，某一点波源发射
21、功率为例：如图，某一点波源发射功率为4040瓦，求该球瓦，求该球面波上通过的平均能流及能流密度。（介质无吸面波上通过的平均能流及能流密度。（介质无吸收）收）r r波源波源（1 1）在均匀不吸收能量的媒质中传）在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。播的平面波在行进方向上振幅不变。 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅证明：因为证明：因为 所以在单位时间内通过所以在单位时间内通过 和和面的能量应该相等面的能量应该相等2021/6/1643设距波源单位距离处质点的振幅为设距波源单位距离处质点的振幅为A A，则可以，则可以证明证明: :距波源距波源 r r处质点的振幅为处质点的
22、振幅为 ( (思考思考) )（2 2）球面波振幅与它）球面波振幅与它离波源的距离成反比离波源的距离成反比第四节第四节 惠更斯原理惠更斯原理 波的叠加和干涉波的叠加和干涉一、一、惠更斯原理：惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是波阵面上的每一点，都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。波的包络面就是新的波阵面。(1690(1690年年) )二、用惠更斯原理解释波的传播行为二、用惠更斯原理解释波的传播行为2021/6/1644S S2 2S S1 12021/6/1645二、二、波的叠加原理（独立性原理）：波的叠加原理（独立性原理）：若
23、有几列波同时在介质中传播，则它们各若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。独传播时在该处引起的位移的矢量和。2021/6/1646传播到传播到 P P 点引起的振动为：点引起的振动为： 三、三、波的干涉波的干涉2021/6/16471 1、相干条、相干条件：件：两波源两波源应满足：振应满足：振动方向相同，动方向相同，频率相同，频率相同，位相差恒定。位相差恒定。2021/6/16482 2、极值条件、极值条件&当两相
24、干波源为同相波源（即当两相干波源为同相波源（即 ) )时时相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉称称 为波程差为波程差&若若S1S2r1r22021/6/1649第五节第五节 驻驻 波波一、一、 驻波的产生：驻波的产生：振幅相同振幅相同的两列的两列相干波相干波，在同一直线上沿，在同一直线上沿相反相反方向方向传播，叠加后所形成的波叫驻波。传播，叠加后所形成的波叫驻波。（驻波是驻波是一种特殊的干涉现象一种特殊的干涉现象）横驻波演示横驻波演示所谓所谓波腹波腹位置就是位置就是干涉极大值干涉极大值的位置；的位置；所谓所谓波节波节位置就是位置就是干涉极小值干涉极小值的位置。的位置。波腹波腹波节波节2021/6/
25、1650利用三角函数关系：利用三角函数关系：求出求出驻波的表达式驻波的表达式：二、二、 驻驻 波方波方 程程正向正向:负向负向:2021/6/1651振振 幅幅 项项讨论讨论1. 振幅振幅2.2.波腹和波节的位置波腹和波节的位置2021/6/1652求出的求出的 x x 即为波腹的位置。即为波腹的位置。（2 2）波节：波节：求出的求出的 x x 即为波节的位置。即为波节的位置。（1 1）波腹：波腹：令令令令v方法一（方法一（若已知驻波方程若已知驻波方程）2021/6/1653结论结论： 半个波长半个波长。相邻两个波腹之间的距离为相邻两个波腹之间的距离为 v方法二方法二( (求出求出X X处质点
26、两分振动的位相差处质点两分振动的位相差） （1）波腹位置）波腹位置（为干涉极大值位置）（为干涉极大值位置）求出的求出的X X即为波腹处即为波腹处. .2021/6/1654（2 2）波节位置）波节位置( (为干涉为干涉极小值位置）极小值位置）求出的求出的X X即为波节处即为波节处. .相邻两个波节之间的距离也为相邻两个波节之间的距离也为半个波长半个波长. yxo应用应用: :可用测量波腹或波节间的距离，来确定波长可用测量波腹或波节间的距离，来确定波长2021/6/1655结论：结论：相邻两个波节之间的相邻两个波节之间的各点是同位相的；一个波节各点是同位相的；一个波节两侧的点是反相的。两侧的点是
27、反相的。驻波位相驻波位相动画动画3. 3. 位位 相相xA(X)oyxoA BC思考题：思考题：右上图，某时刻若右上图，某时刻若已知已知A点的位相为点的位相为 /4,则求则求该时刻该时刻B点和点和C点的位相。点的位相。2021/6/1656例：如图，若例：如图，若o、 处分别有两个相干波源，其处分别有两个相干波源，其振动方程分别为：振动方程分别为：yox求波腹和波节的位置。求波腹和波节的位置。解题思路：解题思路：在在范围内形成驻波。范围内形成驻波。驻波驻波右行波右行波左行波左行波对其中的任一点对其中的任一点 x x2021/6/1657驻波的能量驻波的能量在在相邻的波腹和波节间相邻的波腹和波节
28、间不断地不断地进行动能与势能的相互转换，而不向外传播。进行动能与势能的相互转换，而不向外传播。三三. 驻驻 波波 的的 能量能量AB C波波节节波波腹腹位移最大时位移最大时平衡位置时平衡位置时动能主要集中在波腹动能主要集中在波腹附近附近。势能主要集中在波节势能主要集中在波节附近附近。2021/6/1658&当波当波从波疏从波疏媒质垂直入媒质垂直入射射到波密到波密媒质界面上反射媒质界面上反射时，时，在反射点在反射点，形成形成波节波节（固定端固定端）。即反射波在即反射波在分界处较入射波产生了分界处较入射波产生了 的相位跃变的相位跃变（即有半波损即有半波损失失）。）。&当波当波从波密从波密媒质垂直入
29、媒质垂直入射到射到波疏波疏媒质界面上反射媒质界面上反射时，时，在反射点在反射点，形成，形成波腹波腹（自由端自由端）。）。即即无半波损无半波损失失）。四四. . 半半 波波 损损 失失界面界面波波密密媒媒质质波波疏疏媒媒质质界面界面波波密密媒质媒质波波疏疏媒质媒质2021/6/1659解题思路：解题思路：xoL疏疏密密例：如图，已知原点例：如图，已知原点O处质点的处质点的振动方程为振动方程为求反射波方程求反射波方程 (设反射波无设反射波无能量损失）。能量损失）。x2021/6/1660& 能形成驻波的两列相干波，其振幅相同，传播能形成驻波的两列相干波，其振幅相同，传播方向相反，若已知其中一列波的
30、波动方程为方向相反，若已知其中一列波的波动方程为则另一列波的波动方程必可设为则另一列波的波动方程必可设为若若XL处是波节处是波节若若XL处是波腹处是波腹2021/6/1661例：在弹性媒质中有一沿例：在弹性媒质中有一沿X轴正向传播的平面波，轴正向传播的平面波，其波动方程为：其波动方程为： 若在若在X5.00m处有一媒质分解面，且在分解面处有一媒质分解面，且在分解面处位相突变处位相突变 ，设反射波的强度不变，试写出，设反射波的强度不变，试写出反射波的波动方程。反射波的波动方程。2021/6/1662例例. . 图图中中画画出出一一向向右右传传播播的的简简谐谐波波在在t t时时刻刻的的波波形形图图
31、，BCBC为为波波密密介介质质的的反反射射面面，波波由由P P点点反反射射，则则反反射射波波在在t t时时刻刻的的波波形形图图为为 2021/6/1663五五 振动的简正模式振动的简正模式. . 两端两端固定固定的弦线形成的弦线形成驻驻波时，弦长和波长应波时，弦长和波长应满足满足 决定的各种振动方式称为弦线振动的决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式简正模式. .由此频率由此频率本征频率；本征频率；基频基频；谐频；谐频2021/6/16642. 2. 一端一端固定固定一端一端自由自由的弦振动的简正模式的弦振动的简正模式2021/6/1665第六节第六节 多多 普普 勒勒 效效 应应波源或观察
32、者相对于介质运动时，观察者所波源或观察者相对于介质运动时，观察者所接收到的频率接收到的频率 与波源的振动频率与波源的振动频率 不同的不同的现象现象, ,称为多普勒效应称为多普勒效应. .: :波源波源( (相对于介质）速度；相对于介质）速度；：观察者：观察者( (相对于介质）速度相对于介质）速度#以以波源指向观察者的方向为正方向波源指向观察者的方向为正方向SO1、波源不动，即、波源不动，即2021/6/16662 2、观察者不动，即、观察者不动，即3 3、总结式：、总结式：应用：测车速；测血流量等。应用：测车速；测血流量等。冲击波或激波：当冲击波或激波：当2021/6/1667当当2021/6/1668 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
