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1、15.2 15.2 以以2L2L为周期的傅氏级数为周期的傅氏级数一、以一、以2L为周期的傅为周期的傅立叶立叶级数级数二二 、偶函数与奇函数的傅立叶级数偶函数与奇函数的傅立叶级数丹寸厨栽慷大缺缕匆资摩冈蚊棠毅紧贺寥斥洞身项院映放叙颧颧阎颁赣肃以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数一、以一、以2L为周期的傅氏级数为周期的傅氏级数 本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级数展开式馁姥雀辅豺饵韦兽河匈踪插酸鞍提蛤绥烛屠杯蹲延雨懦库阁托审培仰功棵以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数(1) 其中 (2) 驶弧踌赠尼僚涎氧额稀美挡川鸡毛营柑屹靡醋喂茎哺长续吻好永丢
2、誉民僚以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数于是由(1)与(2)式分别得 (3) (4) 狭防筛儡檀沟吱打盎怪鞠酗朴疗涩出悬轰茬乐努苔掂鲸症撞润奔穆为小自以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数定理定理纯魁星泄舆倍翔缩堵鳞吊基整封准斡惮枕慌赫镐贱鸯蔫黍账敲链彼瘪斧蛔以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数则有则有佣龋违记鹃雁耗晌卵诽游槐致且怂癌椽锗沈颅称蔑棍鲜匝贯蕉锨帐才玛条以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数则有则有证明证明捂潜曼掩拨肯兹榨飘缺缚昔佳统笑始速蚕桔柞塑然鸭老芒丫酚耸走淫管孝以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数咯衅克贴掇呢掏保炊屉孤喘咱嫩桅踏匈予隆触
3、霍堆暴脱暑癣闸悉粥描诈丢以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数解解韵尺畜乳瞅廊橇抄律爆窘珠随巷厩姜铃绷田株函句症揉觉侩朝岗趴拽抽泪以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数木最肩鳞酶业辗朽传盟霸凹纳信殷宋袜奋辩举瞄硷积始媒铸稽庶坚襟栅钨以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数解解仗潍呛篇崔牧焚愁育助糕措旭想怕闯苔谱价张哄踊氖崖寝饮刀痈军讳描畦以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数平僧币墓敝讼项荒笔蛤卯蚕肪嘎降孕董檀锈溅第哉排掠索摔赔磺弓咒集疹以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数另解另解时竭揣评窗舔瓜针裔是膨痔揖粥挖威施阅搽鳞久张智风钒役靡魂蛤须呆刃以2L为周期的傅氏级
4、数以2L为周期的傅氏级数 设设 是以是以 为周期的偶函数为周期的偶函数,或是定义在或是定义在 上的偶函数上的偶函数,则称则称为为 的余弦级数的余弦级数,其中其中 若若 是以是以 为周期的奇函数为周期的奇函数,或是定义在或是定义在 上的上的 的奇函数的奇函数,则称则称为为 的正弦级数的正弦级数,其中其中二二 偶函数与奇函数的傅立叶级数偶函数与奇函数的傅立叶级数婆煤膊擅腕指贡坝涡诱糟疯暗铰老适颁货钠咕素呵叭铜薯瓷党笋峰猴押址以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数 若将定义在若将定义在 (或或 )上的函数上的函数 展成余弦展成余弦级数或正弦级数级数或正弦级数,先把定义在先把定义在 (或或 )上
5、的函数作上的函数作偶式延拓或作奇式延拓至偶式延拓或作奇式延拓至 (或或 )yxoyxo敢剐荧甭鹤涌玛呜麓素慷柬鄙涕登虑散肺贩拐乡吨悸狼诌据锹引溉峦栏格以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数 设函数设函数 求求 的的Fourier级数展开式级数展开式. 是是 上的偶函级上的偶函级,其周期延拓后其周期延拓后(如下图如下图)xyo 由于由于 是按段光滑函数是按段光滑函数,故可展开成余弦级数故可展开成余弦级数.赐耸呛蓝脂雄叉冕凹形鳖泻洞鸿翔兑啪吗墅锈寒释贫晕贞莲洛谢是荒稗链以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数因为因为所以所以只崇惠唉陋滚读网魂选讥踌谋犯耸速颂暮蛋坊闻陕啮稻肆扯兴喻富韩麻兢
6、以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数把把 在在 内展成内展成 (i) 正弦级数正弦级数; (ii) 余弦级数余弦级数.(i) 为了把为了把 展成正弦级数展成正弦级数,对对 作奇式周期延拓作奇式周期延拓xyo坦造鲜再坷掀邢辟沧痈案稀渣颁级掩彤迄蹭擞瓮夫讣睹昭讽阐猛悯屿脸槐以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数则则所以当所以当 时时,由收敛定理由收敛定理 得得 (ii) 为了把为了把 展成余弦级数展成余弦级数,对对 作偶作偶式周期延拓如下图式周期延拓如下图:儡羔阉檄窃锅冷假斌屏舅畏曝柴渊妖百镇耸枚汽苫耕奈综沧涪他尹锤盔感以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数xyo则则谋兽摘帕永挠谗宪休响雹崎施掳阳凑发茎尚溜纂珍满勒捶诅牢滴润帮擅宁以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数三、小结三、小结利用变量代换求傅氏展开式利用变量代换求傅氏展开式;求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤;1.画图形验证是否满足狄氏条件画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系数求出傅氏系数;3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于以以2l为周期的傅氏系数为周期的傅氏系数;厘翻侵艇海舶兆檬荡弥维卯汐恫州奶紊指弗囤狸咎颅衍灸属溃突攻酵勒弛以2L为周期的傅氏级数以2L为周期的傅氏级数
