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1、Longlan_全微分全微分1苍松课资*2、全微分在数值计算中的应用、全微分在数值计算中的应用 应用 一元函数一元函数 y = f (x) 的微分的微分近似计算估计误差1、全微分的定义、全微分的定义 2苍松课资一、全微分的定义一、全微分的定义 定义定义: 如果函数如果函数 z = f ( x, y )在定义域在定义域 D 的内点的内点( x , y )可表示成可表示成其中其中 A , B 不依赖于不依赖于 x , y , 仅与仅与 x , y 有关，有关，称为函数称为函数在点在点 (x, y) 的的全微分全微分, 记作：记作：若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,则称函数则称函数
2、 f ( x, y ) 在点在点( x, y) 可微可微，处全增量处全增量则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微.3苍松课资(2) 偏导数连续偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: :(1) 函数可微函数可微函数函数 z = f (x, y) 在点在点 (x, y) 可微可微由微分定义由微分定义 : :得得函数在该点连续函数在该点连续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即即4苍松课资定理定理1(必要条件必要条件)若函数若函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y) 可微可微 则该函数在该点偏导数则该函数在该点偏导数同样可证同样可证证证
3、: 由全增量公式由全增量公式必存在必存在,且有且有得到对得到对 x 的偏增量的偏增量因此有因此有 5苍松课资反例反例: 函数易知 但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:6苍松课资定理定理2 (充分条件充分条件)证：证：（略）若函数若函数 z = f (x, y)的偏导数的偏导数在点在点(x, y)连续，连续，则函数在该点则函数在该点可微分可微分.7苍松课资推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为于是8苍松课资例1. 计算函数计算函数在点 (2,1) 处的
4、全微分. 解解:例例2. 计算函数的全微分. 解解: 9苍松课资可知当*二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 10苍松课资半径由 20cm 增大解解: 已知即受压后圆柱体体积减少了 例3. 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 求此圆柱体11苍松课资例4.计算计算的近似值. 解解: 设,则取则12苍松课资分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计利用令z 的绝对误差界约为z 的相对误差
5、界约为则13苍松课资特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数14苍松课资例5. 利用公式利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为计算三角形面积.现测得15苍松课资例6. .在直流电路中在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,解解: 由欧姆定律可知( 欧)所以 R 的相对误差约为0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧 )= 0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆16苍松课资3. 微分应用微分应用 近似计算 估计误差绝对误差相对误差17苍松课资4. 设设解解: 利用轮换对称性 , 可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例2 )注意注意: x , y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 18苍松课资
