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1、振动和波动2021/6/41机械振动知识要点机械振动知识要点2021/6/421.掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意义及确定方法义及确定方法 决定于系统本身的性质！决定于系统本身的性质！A和和 由初始条件由初始条件x0, v0决定！决定！v0的正负号的正负号(sin ) 值值2021/6/432. 掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐振动，能根据已知条件列出运动的微分方程，振动，能根据已知条件列出运动的微分方程，并求出简谐振动的周期并求出简谐振动的周期(1). 动力学判据动力学判据: (3). 运动学判据运动学判据:
2、 (2). 能量判据：能量判据： 振动系统机械能守恒振动系统机械能守恒2021/6/443. 掌握简谐振动的能量特征掌握简谐振动的能量特征总的机械能：总的机械能： 2021/6/454. 掌握简谐振动的合成规律掌握简谐振动的合成规律:同方向、同频率同方向、同频率简谐振动的合成简谐振动的合成( ( 同相同相 ) )( ( 反相反相 ) )2021/6/46本章基本题型：本章基本题型：1、已知振动方程，求特征参量、已知振动方程，求特征参量2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振
3、动4、简谐振动的合成、简谐振动的合成:动力学判据动力学判据；能量判据；能量判据；运动学判据运动学判据 解析法、解析法、旋转矢量法旋转矢量法（振幅、周期、频率、初相位）（振幅、周期、频率、初相位）2021/6/47例例 一质量为一质量为m = 10 g的物体作简谐振动，振幅为的物体作简谐振动，振幅为A = 10 cm ,周期周期T = 2.0 s。若。若t = 0时，位移时，位移x0= - 5.0 cm，且，且物体向负物体向负x方向运动，方向运动，试求：试求：（1）t = 0.5 s时物体的位移；时物体的位移；（2）t = 0.5 s时物体的受力情况；时物体的受力情况；（3）从计时开始，第一次到
4、达）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间；所需时间；（4）连续两次到达）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。处的时间间隔。【解解】（1 1）由已知可得）由已知可得简谐振振动的振幅的振幅角角频率率振振动表达式表达式为 (SI)2021/6/48x0.1O-0.05 由旋转矢量法可得由旋转矢量法可得 振动方程振动方程 t=0.5s时物体的位移时物体的位移? （2） t = 0.5 s时物体受到的恢复力时物体受到的恢复力? 由（由（1）得）得 N/m(SI)2021/6/49（3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间；（4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时
5、间间隔。x0.1O-0.050.05第一次到达第一次到达x=5.0cm=5.0cm时的相位为时的相位为 故故 第一次达到此处所需时间为第一次达到此处所需时间为 连续两次到达连续两次到达x = 5.0 cm处的相位差为处的相位差为 2021/6/410例例2、如图所示的振动曲线。求：、如图所示的振动曲线。求：（1）简谐振动的运动方程）简谐振动的运动方程（2）由状态）由状态a运动到状态运动到状态b，再由，再由b运动到运动到c的时间的时间 分别是多少分别是多少（3）状态）状态d的速度和加速度的速度和加速度【解解】方法方法1 解析法解析法原点：原点：c点：点：2021/6/411方法方法2 旋转矢量法
6、旋转矢量法（1）确定旋转矢量确定旋转矢量振动方程为振动方程为-A-A/2AA/2xO(SI)2021/6/412（2）由由状状态态a运运动动到到状状态态b，再再由由b运运动到动到c的时间分别是多少的时间分别是多少（3）状态）状态d的速度和加速度的速度和加速度-A-A/2AA/2xa2021/6/413例例3 一一匀匀质质细细杆杆质质量量为为m，长长为为l，上上端端可可绕绕悬悬挂挂轴轴无无摩摩擦擦的的在在竖竖直直平平面面内内转转动动，下下端端与与一一劲劲度度系系数数为为k的的轻轻弹弹簧簧相相联联，当当细细杆杆处处于于铅铅直直位位置置时时，弹弹簧簧不不发发生生形形变变。求细杆作微小振动是否是简谐振
7、动。求细杆作微小振动是否是简谐振动。O【解解】方法一方法一. 分析受力法分析受力法mgf很小很小时 细杆微小振动是简谐振动细杆微小振动是简谐振动取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向2021/6/414方法二方法二. 分析能量法分析能量法由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统机械能为系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统机械能为J为杆绕为杆绕O轴的转动惯量，轴的转动惯量，x为弹簧伸长量，杆作微小振动时，为弹簧伸长量，杆作微小振动时
8、，代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：2021/6/415式中，式中，在杆作微小振动时，在杆作微小振动时，代入后，可以得到：代入后，可以得到：杆的微小振动是简谐运动杆的微小振动是简谐运动2021/6/416例例 如如图图所所示示，两两轮轮的的轴轴相相互互平平行行，相相距距为为2d，两两轮轮的的转转速速相相同同而而转转向向相相反反。现现将将质质量量为为m的的一一块块匀匀质质木木板板放放在在两两轮轮上上，木木板板与与两两轮轮之之间间的的摩摩擦擦系系数数均均为为u。若若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。木板的质心偏离对
9、称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。O2dx解：解： 以以木木板板的的中中心心为为坐坐标标原原点点，向向右右的的方方向向为为正正，设设木木板板的的质质心心偏偏离离原原点点x，木木板板对对两两轮轮的的作作用用力力分别为分别为N1，N2根据木板所受力矩平衡条件根据木板所受力矩平衡条件木板在水平方向所受到的合力木板在水平方向所受到的合力水平方向水平方向振动周期振动周期2021/6/417 例例. 图中定滑轮半径为图中定滑轮半径为 R, 转动惯量为转动惯量为 J ， 轻弹簧劲度系数为轻弹簧劲度系数为 k ，物体物体质量为质量为 , 现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空现
10、将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力，使证明系统作简谐振动，并求其作谐振动的周期。气阻力，使证明系统作简谐振动，并求其作谐振动的周期。mkRJOXxT1mg解：以解：以 m 为研究对象。为研究对象。在平衡位置在平衡位置 O 时：合外力时：合外力在任意位置在任意位置 x 时：合外力时：合外力以下由转动系统解出以下由转动系统解出 T1：fT1R将将 （1），（），（3）代入（）代入（2）中，合外力）中，合外力2021/6/418而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度代入（代入（4）中得）中得合外力与位移成正比且方向相反，系统的动力学方程为合外力
11、与位移成正比且方向相反，系统的动力学方程为角频率为角频率为周期周期2021/6/419例例4:4:劲劲度度系系数数为为k的的轻轻弹弹簧簧挂挂在在质质量量为为m，半半径径为为R的的匀匀质质圆圆柱柱体体的的对对称称轴轴上上，使使圆圆柱柱体体作作无无滑滑动动的的滚滚动动，证证明明：圆圆柱体的质心作谐振动。柱体的质心作谐振动。水平面水平面证明：证明：建坐标如图，建坐标如图，弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零点，质心在点，质心在xc时系统的机械能为时系统的机械能为（注意上式中的（注意上式中的 是刚体转动的角速度）是刚体转动的角速度）分析振动系统机械能守恒分析振动
12、系统机械能守恒!2021/6/420两边对两边对t t求导数，得求导数，得将将代入上式代入上式得得与动力学方程比较知，物理量与动力学方程比较知，物理量xc的的运动形式是简谐振动运动形式是简谐振动圆频率圆频率2021/6/421机械波知识要点机械波知识要点2021/6/4221. 熟练掌握简谐波的描述熟练掌握简谐波的描述平面简谐波的波函数：平面简谐波的波函数：五大要素五大要素2021/6/4232. 记住能量密度、能流以及能流密度公式记住能量密度、能流以及能流密度公式平均能量密度：平均能量密度：平均能流：平均能流：平均能流密度平均能流密度波的强度：波的强度：3. 记住惠更斯原理的内容记住惠更斯原
13、理的内容媒质中波阵面上的各点都可以看做子波波源，其后任媒质中波阵面上的各点都可以看做子波波源，其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面2021/6/4244. 熟练掌握简谐波的干涉条件，干涉加强、熟练掌握简谐波的干涉条件，干涉加强、减弱的条件减弱的条件波的相干条件：波的相干条件：干涉加强或减弱的条件：干涉加强或减弱的条件：振动方向相同；振动方向相同；相位差恒定相位差恒定频率相同；频率相同；2021/6/4255. 理解驻波的形成，并掌握驻波的特点理解驻波的形成，并掌握驻波的特点两列频率、振幅和振动方向都相同而两列频率、振幅和振动方向都相同而传播方向相反传播方向
14、相反的的简谐波叠加形成驻波，其表达式为简谐波叠加形成驻波，其表达式为波节：波节：波腹：波腹：2021/6/426驻波的特点：驻波的特点：1. 相邻波腹（节）之间的距离为相邻波腹（节）之间的距离为 /22. 一波节两侧质元具有相反的相位一波节两侧质元具有相反的相位3. 两相邻波节间的质元具有相同的相位两相邻波节间的质元具有相同的相位4. 驻波无能量传递驻波无能量传递同号相同；同号相同；异号相反！异号相反！2021/6/4276. 掌握半波损失的概念掌握半波损失的概念1.波从波从波疏媒质到波密波疏媒质到波密媒质，从波密媒质反射媒质，从波密媒质反射回来，在反射处发生了回来，在反射处发生了 的相位突变
15、的相位突变2.在在自由端无自由端无相位突变，无相位突变，无半波损失半波损失4.折射无半波损失折射无半波损失3.在在固定端有固定端有 相位突变，有相位突变，有半波损失半波损失2021/6/428本章基本题型：本章基本题型：1. 已知波动方程，求有关的物理量已知波动方程，求有关的物理量(1) 求波长、周期、波速和初相位求波长、周期、波速和初相位2. 由已知条件建立波动方程由已知条件建立波动方程(2) 求波动曲线上某一点的振动方程求波动曲线上某一点的振动方程(3) 画出某时刻的波形曲线画出某时刻的波形曲线(1) 已知波动曲线上某一点已知波动曲线上某一点的振动状态的振动状态(2) 已知某一时刻的波形曲
16、线已知某一时刻的波形曲线3. 波的传播及叠加波的传播及叠加(2). 驻波驻波(1). 波的干涉波的干涉(3). 半波损失半波损失2021/6/429例例 一波长为一波长为 的平面简谐波，已知的平面简谐波，已知 A 点的振动方程为点的振动方程为 y=Acos(t+) 试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式yO AxuyO AxuyxOAlu解答提示解答提示（1)(2)(3)（1）（2）（3）（4）xOAuy(4)2021/6/430 1. 有一以速度u沿x轴正向传播的平面简谐波， 其质点振动的振幅和角频率分别为A和, 设某一瞬间的波形如图所示，并
17、以此瞬间 为计时起点，分别以o和p点为坐标原点， 写出波动表达式。u2021/6/431yAM-A解解: (1) 以以O点为坐标原点，设点为坐标原点，设O点振动方程为点振动方程为 Ou以以O点为坐标原点的波动表达式为点为坐标原点的波动表达式为 P以以P点为坐标原点的波动表达式为点为坐标原点的波动表达式为 xOPy2021/6/432 2. 如图所示，S1、S2为同一介质中沿其连 线方向发射平面简谐波的波源，两者相距作同方向、同频率、同振幅的简谐振动，设S1经过平衡位置向负方向运动时, S2恰处在正向最远端，且介质不吸收波的能量。求：S1S2x/m1.S1和和 S2外侧合成波的强度外侧合成波的强
18、度2.S1和和S2之间因干涉而静止点的位置，设两列之间因干涉而静止点的位置，设两列波的振幅都是波的振幅都是A0，强度都是，强度都是I0 。2021/6/433xAM-AS1S2两列波在干涉两列波在干涉点的相位差点的相位差解解:(1) 在在S1左侧的左侧的P点，两列波的波程差点，两列波的波程差满足干涉条件，所以在满足干涉条件，所以在S1左侧所有点合成振幅左侧所有点合成振幅A=0,合合成波强度为零成波强度为零S1S2x/m2021/6/434(2) 在在S2右侧的右侧的P点，两列波的波程差点，两列波的波程差满足干涉加强条件，所以在满足干涉加强条件，所以在S2右侧所有点合成振幅右侧所有点合成振幅A=
19、2A,合成波强度为合成波强度为4I0(3) 在在S1、S2之间，两列波沿相反方向到达干涉点，设之间，两列波沿相反方向到达干涉点，设 任意干涉点到任意干涉点到S1的距离为的距离为x，则，则r1=x，r2=5/4-x，在干涉静止点：在干涉静止点：S1S2x/m2021/6/435 3. 一平面简谐波沿x正方向传播如图所示，振幅为 A，频率为v, 速率为u. 求 (1) t=0时，入射波在原点o处引起质元由平衡位 置向位移为正的方向运动，写出波表达式 (2) 经分界面反射的波的振幅和入射波振幅相等 写出反射波的表达式，并求在x轴上因入射 波和反射波叠加而静止的各点位置。O Pux波疏波疏波密波密20
20、21/6/436解解: (1) 由已知条件可写出入射波在由已知条件可写出入射波在O点的振动表达式点的振动表达式入射波的表达式为入射波的表达式为(2) 设反射波的表达式为设反射波的表达式为在在P点，入射波的相位为点，入射波的相位为反射波的相位为反射波的相位为Oux波疏波疏波密波密P2021/6/437由由得得所以反射波的表达式为所以反射波的表达式为波节位置波节位置因此合成波的表达式因此合成波的表达式2021/6/438BBOd=5/4xp例例: 如如图所示，波源位于所示，波源位于 O 处，由波源向左右两，由波源向左右两边发出振幅出振幅为 A，角，角频率率为 ，波速，波速为 u 的的简谐波。若波密
21、介波。若波密介质的反射面的反射面 BB 与点与点 O 的距离的距离为 d=5/4, 试讨论合成波的性合成波的性质。解：解：设 O 为坐坐标原点，向右原点，向右为正方向。正方向。自自 O 点向右的波：点向右的波：自自 O 点向左的波：点向左的波：反射点反射点 p 处入射波引起的振入射波引起的振动：反射波在反射波在 p 点的振点的振动（有半波（有半波损失）：失）：2021/6/439BBOd=5/4xp反射波的波函数2021/6/440例例. 如如图图所所示示，原原点点O是是波波源源，振振动动方方向向垂垂直直于于纸纸面面，波波长长是是 ，AB为为波波的的反反射射平平面面，反反射射时时无无半半波波损
22、损失失。O点点位位于于A点点的的正正上上方方，AO = h，OX轴轴平平行行于于AB，求求OX轴轴上上干干涉涉加加强强点点的的坐坐标标（限于（限于x 0)hOAxBP解：沿解：沿ox轴传播的波与从轴传播的波与从AB面面上上P点反射来的波在坐标点反射来的波在坐标x处相处相遇，两波的波程差为：遇，两波的波程差为：2021/6/441 作业作业 1.10 两个相互垂直的不同频率的简谐运动的合成两个相互垂直的不同频率的简谐运动的合成合成轨迹为合成轨迹为稳定的闭合曲线稳定的闭合曲线李萨如图李萨如图 yxA1A20-A2- A1 例如左图：例如左图：应用：应用：测定未知频率测定未知频率2021/6/442已知：已知：x =A cos t,求求 y=？ 例如左图：例如左图：A-AA-AxyO2021/6/443部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
